一個帶權函數拋物方程有界弱解的存在性

2021-09-22 04:08:54李仲慶

吉林大學學報(理學版) 2021年5期

李仲慶

(貴州財經大學數統學院, 貴陽 550025)

1 引言與主要結果

考慮如下拋物方程:

(1)

其中Ω是N中的有界域, ?Ω為其光滑邊界,N>2,ΩT=Ω×(0,T),ΓT=?Ω×(0,T).假設:

當權函數a(x,t)恒為1時, 問題(1)為經典的熱傳導方程[1].文獻[1-2]研究了熱方程的正則性; Murthy等[3]研究了帶權函數的Sobolev空間及帶權函數的Sobolev嵌入問題; Cirmi等[4]研究了帶權函數且梯度具自然增長條件的橢圓和拋物方程解的L∞估計; 文獻[5-7]考慮了方程低階項的正則化效應與解最大模估計的關系, 該方法可視為Giorgi迭代技術做L∞估計的輔助.

文獻[8]研究了問題(1)的靜態模型.與文獻[8]相比, 拋物方程需考慮形如

的估計.當q=2時, 文獻[9]給出了其拋物嵌入結果.但當1≤q<2時, 需給出新的拋物型嵌入估計, 使得一方面可利用Giorgi迭代引理估計水平集{(x,t)∈ΩT: |u(x,t)|>k}; 另一方面, 在L∞估計的過程中右端源項可確定水平集的冪次.本文在經典的Sobolev空間框架下, 討論帶權函數的拋物方程, 先對權函數進行擾動, 構造合理的正則化方程; 再選取合適的檢驗函數, 對弱解序列的水平集做估計, 利用Giorgi迭代技術[1]得到解的最大模估計; 最后結合擾動弱解序列的能量估計, 用弱收斂方法證明解的存在性. 本文主要結果如下:

定理1如果假設條件(H1),(H2)成立, 則問題(1)存在有界弱解

2 定理1的證明

2.1 擾動問題

受文獻[8]啟發, 對權函數a(x,t)做如下擾動：

則問題(1)對應的正則化方程為

(2)

an(x,t)≤a(x,t)+1,

an(x,t)→a(x,t), a.e.于ΩT,

且

(3)

2.2 L∞估計

命題1如果假設條件(H1),(H2)成立, 則存在不依賴于n的正常數C, 使得

證明: 記Gk(s)=(|s|-k)+sign(s),χA表示集合A上的特征函數.令k>‖u0‖L∞(Ω),τ∈[0,T], 選取Gk(un)χ(0,τ)為問題(2)的一個檢驗函數, 則有

記

由分部積分公式[10,12]及k的選取, 可得

(5)

因此L2可估計如下:

結合式(4)～(6), 對τ取上確界, 可將式(4)估計為

(8)

可得

(9)

用式(9)估計式(8)可得

(10)

國和亞洲的創新模式進行了比較，他指出硅谷的創新是顛覆性且具有創業精神的創新，是創業創新（Entrepreneurial Innovation）；而日本的創新是封閉的，是對已有事業的擴張，是受監管的企業創新（Managed Corporate Innovation）[4]。同時理查德·戴舍爾教授還指出了開放式創新成功的要素及今后日本要想取得成功所需的要素，如表2所示。因此，實際上在2010年以前，日本的創新基本屬于封閉式創新，是產學官合作基礎上的創新。

記水平集Ak={(x,t)∈ΩT: |un(x,t)|>k}, 用|Ak|表示集合Ak的Lebesgue測度. 先后用H?lder不等式和帶ε的Cauchy不等式, 對式(10)的右端做估計:

對式(10)和式(11)選取適當的ε, 有