與高階Schr?dinger型算子相關的變分算子的Lipschitz交換子

孟曉燕, 趙 凱

(1. 青島黃海學院 數學教學部, 山東 青島 266427; 2. 青島大學 數學與統計學院, 山東 青島 266071)

1 預備知識

設非負位勢V屬于反向H?lder類RHq(q>1), 即存在q0>1和常數C>0, 使得對任意n中的球B, 有

其中熱半群e-tL的核B滿足

(1)

式中C和c1均為常數.

定義1[16]設{ti}i∈是正的單調減趨于零的數列, 令ρ>2, 則與高階Schr?dinger型算子L生成的熱半群相關的變分算子定義為

這里上確界取遍所有正的單調減趨于零的數列{ti}i∈.

下面給出與高階Schr?dinger型算子相關的變分算子Vρ(e-tL)及Lipschitz函數b構成的交換子定義, 其中Lipschitz函數是滿足如下條件的函數:

此時稱f屬于Lipβ(n).

定義2設Vρ(e-tL)是與高階Schr?dinger型算子相關的變分算子,b∈Lipβ(n), 則變分算子Vρ(e-tL)和b構成的交換子定義為

(2)

為方便, 下面給出輔助函數γ(x)的定義和性質[17].定義

引理1[17]設V∈RHn/2(n), 則存在常數C和k0>1, 使得對所有的x,y∈n, 均有

(3)

特別地, 當|x-y|

引理2[16]對任意N∈, 存在正常數C,c2和c3, 使得對所有的x,y∈n和0

對于整數k, 記Bk={x∈n: |x-x0|<2k},Ck=BkBk-1, 且χk=χCk.文獻[1-2]給出了齊型Herz空間及Herz型Hardy空間的概念和主要結果.

定義3[2]令-∞<α<∞, 0

其中

1) suppa?B(x0,r),r>0;

2) ‖a‖Lq(n)≤;

則稱a(x)為一中心(α,q)-原子.

(4)

這里下確界取遍f的所有分解.

定義5[3]設α∈, 0

其中

‖Iβ(f)‖Lq2(n)≤C‖f‖Lq1(n),f∈Lq1(n),

(5)

2 主要結果

先證明如下關于變分算子交換子[Vρ(e-tL),b]的Lq有界性.

證明: 對任意f∈Lq1(n), 由其定義及引理2, 有

由式(5), 可得

證畢.

下面給出本文的主要結果.

對于J2, 下面分兩種情形討論.

1) 當0

2) 當1

1) 當|x-x0|≤γ(x0)時, 由其定義和引理2知,

由H?lder不等式和原子的大小條件得

從而

當1

2) 當|x-x0|>γ(x0)時, 由其定義和引理2, 并利用式(3)知,

同理可分為0

因此

證畢.

對于U2, 由式(6), 即變分算子交換子的Lq有界性, 有

再由

(9)

并注意到α>λ, 可得

從而有

于是有

證畢.