Black-Scholes模型下美式期權定價的神經網絡算法

宋海明, 侯 頔

(吉林大學 數學學院, 長春 130012)

0 引 言

期權根據行權時限劃分, 可分為歐式期權和美式期權. 歐式期權只能在到期日實施, 美式期權可在到期日前的任意一個交易日實施. 因此關于美式期權定價的研究備受關注. 本文考慮Black-Scholes模型下的美式看跌期權定價問題, 給出一種新的神經網絡求解算法. 經典的Black-Scholes模型為

(1)

其中美式看跌期權價格P是依賴于時間t和標定資產價格S的函數,σ,q,r,T和K分別表示標定資產的波動率、 紅利、 無風險利率、 到期日和敲定價格,B(t)表示未知的最佳實施邊界,Z+=max{0,Z}.

美式期權定價模型(1)是一個自由邊界問題, 不存在顯式表達式, 因此關于其數值方法的研究備受關注, 目前已取得了許多成果[1-8], 其中最經典的是由Cox等[1]提出的二叉樹法, 該方法思路簡單、 易實現, 但收斂速度較慢, 且不易推廣到高維. Monte Carlo方法[2]因其不依賴維數的優勢, 廣泛應用于期權定價問題的求解中, 但該方法需要大量的采樣才能達到較高的精度, 在實際應用中難以實現.

傳統的數值方法通常是針對低維方程設計的, 當維度增加時數值格式設計較困難, 且計算量呈指數增長, 會導致維度災難.神經網絡作為一種機器學習技術, 易實施, 為高維問題的數值求解提供了可能.因此, 本文提出一種新的求解美式期權定價問題的神經網絡算法, 并通過與經典的二叉樹方法對比說明該算法的優越性.

1 深度神經網絡

圖1 深度神經網絡結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of architecture of deep neural network

本文針對美式期權定價問題, 設計一種全連接深度神經網絡算法(full connected deep neural networks, DNN), 其基本思想是: 利用含有多個未知參數的多層非線性復合函數, 逼近一個映射f:n→m.經典的DNN包含一個輸入層、 一個輸出層和多個隱藏層, 輸入層和輸出層的神經元個數由輸入和輸出值的維度確定.圖1為含兩個隱藏層的DNN結構, 其中“○”表示神經元, 其將輸入向量進行加權求和, 加上偏置項系數后, 再與一個非線性函數復合, 得到輸出值.特別地, 給定一個n維向量x作為輸入向量, 含有L層隱藏層的DNN可定義為

z(k+1)=σ(W(k)z(k)+b(k)),k=0,1,…,L-1,

(2)

y=W(L)z(L)+b(L),

(3)

其中z(0)=x為輸入值,W(k)∈dk+1×dk和b(k)∈dk+1分別為網絡的權重和偏置項,dk為第k層的神經元個數,σ表示激活函數.激活函數主要包括Sigmoid函數、 雙曲正弦函數和ReLU函數等.定義網絡結構后, 基于已知訓練集, 可利用優化方法得到未知參數θ={W(k),b(k)}.即根據數據集定義損失函數優化問題為

(4)

通常可采用隨機梯度下降法(SGD)和交替方向乘子法(ADMM)等對該優化問題進行求解.

針對期權定價模型(1), 本文將方程組殘差函數2-范數的平方和作為損失函數, 通過神經網絡求解該優化問題, 得到原方程的近似解.可以證明, 通過該方法求得的解是原方程的唯一解.

定理1若方程組(1)的解在神經網絡的逼近空間內, 且足夠光滑, 則利用損失優化問題:

(5)

證明： 若P(S,t)是定價模型(1)的解, 且在神經網絡逼近空間內, 則對應的損失函數為

2 網絡結構

(6)

其中vi(i=1,2,3,4,5)表示相應離散節點的l2范數.

由文獻[9]可知, 期權價格在(Kmin{r/q,1},T)處光滑性較差, 故本文利用幾何網格提高精度.對任意給定的區間[a,b], 約定其對應n個節點的幾何剖分為

(7)

下面給出vi(i=1,2,3,4,5)對應離散點列的取法：

2)v2.在v1搜索過程中, 對于每個固定的tn, 將其停止搜索時對應的后續點列(Sk,tn)(k=m,m+1,…,M)依次加入v2中.

3)v3.固定Smin, 依次選取點(Smin,tn)(n=1,2,…,N).

4)v4.固定T, 依次選取點(Sm,T)(m=1,2,…,M).

5)v5.固定Smax, 依次選取點(Smax,tn)(n=1,2,…,N).

由于v1與v2對應的點列會隨每次網絡參數的優化更新而變化, 故每次更新網絡參數后需都重新選取點列.在對神經網絡進行訓練時, 先選取N=20,M=40, 當損失函數誤差足夠小時, 增大M,N為N=50,M=100重新選取訓練點進行加細, 并再次進行訓練.

3 數值算例

下面對美式看跌期權定價問題(1)進行數值模擬, 以驗證神經網絡算法的正確性.在方程(1)中, 令σ=0.2,T=1,K=10.r和q按下列3種情形取值:

1)r=0.005,q=0.01; 2)r=0.01,q=0.01; 3)r=0.05,q=0.01.

選取5層全連接神經網絡, 單層神經元個數為50.激活函數選取Sigmoid函數.網絡的輸入變量為(S,t), 輸出為期權價格P(S,t).

為驗證利用神經網絡得到結果的準確性, 本文將其計算初始時刻的期權價格與二叉樹方法的結果進行對比, 數值結果如圖2所示.由圖2可見, 利用神經網絡計算的結果與二叉樹方法得到的結果吻合, 均大于支付函數, 說明本文提出的算法能較準確地得到美式期權價格.用本文方法得到期權價格的三維圖像如圖3所示.

圖2 不同方法初始時刻美式期權價格的對比Fig.2 Comparison of initial American option price by different methods

圖3 期權價格的三維圖像Fig.3 Three dimensional images of option price

綜上, 本文基于幾何網格選點法, 設計了一種針對美式期權定價問題的深度神經網絡算法, 并通過與傳統的二叉樹方法對比, 驗證了算法的可靠性.