基于不同循環基本組織的鋪砌織物組織設計

郝梓淇 金耀

摘要： 為擴展織物組織的設計思路，提供更多富于變化、風格獨特的織物組織，受到瓷磚鋪砌的啟發，文章運用瓷磚鋪砌的思路提出一種新的鋪砌織物組織設計方法。該方法運用循環數不同的2種基本組織按周期鋪砌規則生成織物組織。首先采用圖數據結構表示瓷磚鋪砌結構;然后由小鋪砌塊為根節點層次遍歷圖結構構造一棵生成樹形成鋪砌結構，并根據組織的四方連續性要求裁剪鋪砌結構;最后按遍歷順序依次將基本組織填充至樹的節點。運用C++編程語言實現了該方法并進行了多種不同變化形式的仿真設計實驗。結果表明：該織物組織設計方法靈活便捷且變化形式多樣，所生成的織物組織結構多變，且具有周期對稱、錯落有致等傳統組織所不具有的特點。

關鍵詞： 瓷磚鋪砌;織物組織設計;基本循環;生成樹;數據結構

中圖分類號： TS105.11

文獻標志碼： A

文章編號： 1001-7003（2021）09-0133-06

引用頁碼： 091303

DOI： 10.3969/j.issn.1001-7003.2021.09.020（篇序）

Tilingbased fabric weave design with fundamental weaves of different repeats

HAO Ziqi， JIN Yao

（School of Information Science and Technology， Zhejiang SciTech University， Hangzhou 310018， China）

Abstract： To enrich the design ideas of fabric weaves，and provide more diversified and unique fabric weaves， a new tilingbased fabric weave deign method inspired by floor tilings is proposed. It adopts two fundamental fabric weaves with different repeats to generate new fabric weaves according to periodic tiling rule. The floortiling structure is represented as graph data structure firstly. Then， the tiling structure is built with the help of the spanning tree， which is constructed by the BFS traversal of the graph and is clipped according to the consecutive foursquare principal of fabric weaves. Finally， fundamental weaves are filled into the nodes of the tree in the traversal order. The proposed method is implemented with C++ programming language and several simulation experiments are performed with different parameter controls. The results show that the fabric weave design method is convenient， flexible， and can change variably in design. And the designed fabric weaves are rich in variable structures， and embodies features of periodic symmetry and wellarranged tilings， which are not shared by traditional weaves.

Key words： floor tilings; fabric weave design; fundamental weave; spanning tree; data structure

收稿日期： 20210321;

修回日期： 20210818

基金項目： 國家創新訓練項目（202110338021）;國家自然科學基金項目（61702458）;紹興市技術創新計劃（揭榜掛帥）項目（2020B41006）

作者簡介： 郝梓淇（2000），男，2018級智能科學與技術專業本科生。通信作者：金耀，副教授，jinyao@zstu.edu.cn。

機織物經緯紗線的交織方式與沉浮規律通常運用織物組織表示[1]。織物組織的變化形式不僅影響織物的結構性能，而且直接影響織物的外觀[2-3]，是研究和開發新產品的重要手段[4]。因而織物組織設計一直是紡織品設計中的一個常規而重要的研究課題。

為了豐富織物組織的變化形式，同時提高織物組織的設計效率，研究者利用經典的數學工具建立了各種組織表達與設計模型，并借助計算機技術實現高效的數字化設計，例如幾何模型[5-6]、矩陣模型[7]、圖像模型[8]、代數群模型[9]、分形模型[10]等。幾何模型通常利用幾何對稱性，例如旋轉、平移、反射等對局部組織進行變換重組，設計具有對稱結構特點的組織。矩陣與圖像模型，則運用矩陣與圖像表示織物組織，對已有的織物組織施加某種變換生成新的組織，這兩類設計方法的變形形式往往較為單調。代數群模型從代數觀點對織物組織進行建模，使織物組織間能夠像代數一樣進行靈活運算，但其應用研究的討論較少。分形模型則借助分形幾何原理，利用分形的自相似性特點，將單個組織循環作為幾何單元進行層次嵌套變化，能夠生成復雜多樣、風格特異的織物組織。這種分形織物組織設計方法隨后得到了迅速發展，在生成方法、變化形式等方面出現了各種各樣的變種，如基于IFS[11]、各層基礎組織互異[12]、基于同層仿射變換[13]、基于斜紋基本組織設計方法[14]，以及更為一般的擴展分形模型[15]等。

2020年，金耀等[16]借助鋪砌理論，從構造織物組織空間布局的角度提出了基于椅子鋪砌的設計方法。該方法利用1個鋪砌塊組織作為基礎組織，在預設的鋪砌結構下進行變換平鋪，所設計的織物組織風格新穎，既具備分形織物組織的一些特點，又具有結構獨有的局部對稱性。無論是分形組織還是椅子鋪砌織物組織，它們均由1個或多個同組織循環數的基礎組織經過平移鋪砌而成。本文受到瓷磚鋪砌構圖的啟發，嘗試用2種不同循環數的基礎組織，對平面空間進行錯落有致地鋪砌重構，變化更為靈活自由，可實現由簡單基礎組織形成復雜多變、風格新穎的鋪砌織物組織。

1瓷磚鋪砌

1.1鋪砌的概念

鋪砌已被人們廣泛運用于圖案設計[17]及日常生產與生活中，如圖1所示為各種不同鋪砌塊所形成的地磚鋪砌效果[18]，讓人賞心悅目。

如文獻[14-15]所述，通常可運用集合語言描述這種能夠無空隙且不重疊覆蓋平面空間的“鋪砌”，由多個鋪砌塊（基本幾何單元）所構成的集合，且滿足如下條件：1） 集合中每個鋪砌塊是一個閉集;2） 所有鋪砌塊的并集鋪滿二維歐式平面;3） 任意2個鋪砌塊內部的交集為空。

1.2基于不同單元的瓷磚鋪砌及生成方法

圖1中，瓷磚鋪砌的形式豐富多樣，其中不乏各種基于不規則幾何形狀的鋪砌形式。本文選定一種特殊的瓷磚鋪砌形式，即圖1右上角由2種不同尺寸的正方形作為鋪砌塊（分別稱為大鋪砌塊與小鋪砌塊，統稱“基本組織”）形成的周期鋪砌結構。該鋪砌與織物組織天然具有的矩形結構相吻合，因此適用于織物組織設計。本文則著重討論如何利用該鋪砌結構進行織物組織設計，所設計的組織稱為“瓷磚鋪砌織物組織”。

這種形式的瓷磚鋪砌可由2個大小方形鋪砌塊（圖2（a））拼合成圖2（b）所示的基本鋪砌單元，將其作為新的鋪砌塊，經過平移對稱變換鋪滿整個平面。為了增加組織的空間變化形式，本文以1個小鋪砌塊和4個大鋪砌塊按圖2（c）所示進行拼合，由此所形成的圖形作為基本鋪砌單元。該基本單元具有中心對稱性，在進行組織設計時，可對4個大鋪砌塊進行幾何變換，易于織物組織的變化設計。

但是嚴格來講，圖2（c）所示基本鋪砌單元不構成鋪砌塊，即不能無重疊地鋪滿平面空間。為此，本文放寬鋪砌條件，對其進行“局部可重疊”地鋪砌，當待鋪砌的基本鋪砌單元與平面上已有鋪砌塊重疊時，則隱藏該基本鋪砌單元的重疊鋪砌塊。為了方便基于該基本鋪砌單元存儲并生成該瓷磚鋪砌結構，本文利用鋪砌單元的中心對稱性，采用“圖”描述鋪砌結構G=〈V，E〉：頂點集V表示大鋪砌塊和小鋪砌塊集合，邊集E表示兩個鋪砌塊的相鄰關系，即若兩者相鄰則存在邊e∈E（圖3（a））。該瓷磚鋪砌結構具有規則的拓撲連接關系：1） 每個小鋪砌塊均連接4個大鋪砌塊，每個大鋪砌塊均連接4個小鋪砌塊與4個大鋪砌塊;2） 與每個鋪砌塊連接的其他鋪砌塊均分別位于該鋪砌塊4條邊的上下左右方位;3） 小鋪砌塊之間不直接相連。這種特殊的固定拓撲結構能夠簡化鋪砌結構及鋪砌織物組織的描述。

為了生成這種鋪砌結構，本文利用鋪砌結構所表示的圖的“生成樹”進行構造式生成：以位于中心的小鋪砌塊為生成樹的根節點，按廣度優先順序層次遍歷圖的節點。即對于當前節點（鋪砌塊），依次遍歷它的鄰域節點（鋪砌塊），若該鄰域節點未曾被訪問則將兩個節點加上邊（節點相鄰），否則不加邊（節點已被訪問），如此循環直到遍歷預設的層次數停止。圖3（b）所示是層次遍歷2層后得到的生成樹，其遍歷1層與遍歷2層得到的結果對應于圖4（a）（b）左側的鋪砌結構圖，由于其形狀不呈方形，因此可通過裁剪獲得矩形區域，作為鋪砌織物組織的框架，如圖4（a）（b）右側所示。

2基于瓷磚鋪砌的織物組織設計

2.1瓷磚鋪砌織物組織設計方法

類似于椅子鋪砌織物組織設計方法[16]，利用瓷磚鋪砌進行織物組織設計同樣遵循如下設計步驟：1） 構造鋪砌結構;2） 設計鋪砌塊組織;3） 生成鋪砌織物組織。所不同的是本文提出的基于瓷磚鋪砌的設計方法需提供2個鋪砌塊組織，并且給出了更多的設計參數。

在實際應用中，織物組織通常需具備四方連續性，使組織在平鋪過程中保持自然過渡。本文研究發現，對瓷磚鋪砌織物組織進行裁剪時，若其組織循環數滿足m2+n2的整數倍時（其中m、n分別是大小基本組織的循環數），則該鋪砌織物組織滿足四方連續性。該性質可簡要證明如下：大基本組織有m種緯向交織形式，分別設為A1，A2，…，Am，而小基本組織有n種緯向交織形式，分別設為B1，B2，…，Bn;根據瓷磚鋪砌的鋪砌結構規律，其第1條緯向交織形式依次由大小基本組織按某種順序排列，如A1B1A2B2，…，Am，其后的緯向交織形式可依次將隊首的兩個字母挪至隊尾生成;如第2條緯向交織形式為A2B2，…，AmA1B1，如此規律可獲得整個組織所有的緯向交織形式，即最小循環數的鋪砌織物組織，如圖5所示的紅色線框;因此，其循環數為m2+n2的倍數。圖5所示基本鋪砌單元中，m=3，n=2，則紅色線框的左側部分可為一個循環內的一條經紗，即其組織循環數最少為13。

此外，根據組織工藝要求，組織經循環數不能超過內經紋針數或是內經紋針數的約數。因此在實際應用中，可根據內經紋針數選取符合循環數約數要求的大小基本組織，或者擴大鋪砌織物組織的經循環數，使經循環數等于內經紋針數。

圖6展示了瓷磚鋪砌織物組織的設計過程。在該設計步驟中，前2步由用戶輸入設計意圖，根據織物組織的四方連續約束分別確定織物組織的空間結構與局部鋪砌形式，第3步由計算機程序自動完成。其中，鋪砌結構的構造由輸入的2個基本組織的循環數及生成樹的深度確定，組織的結構可由確定循環數的組織外形（矩形）與鋪砌結構裁剪而成。2個鋪砌塊組織可選用符合組織工藝要求的組織，如常見的平紋組織、斜紋組織、緞紋組織等三原組織或其他復雜組織。得益于基本組織的循環數不同可錯落排列，亦可選擇使生成鋪砌織物組織滿足組織工藝要求，但經紗或緯紗沒有交織點的“不合理”的組織。

2.2瓷磚鋪砌織物組織的變化設計

相比于椅子鋪砌織物組織[16]，本文所提出的瓷磚鋪砌織物組織設計方法由于采用了2種組織循環、類型不同的基本組織，進行錯落有致地空間鋪排，其設計自由度更大，變化形式更為多樣，并主要從基本組織的循環數、類型、幾何變換等方面對織物組織進行創新設計。

1） 基本組織的類型。對于確定鋪砌結構及固定循環數的2個基本組織，進行基本組織的類型變化將最大程度地改變鋪砌織物組織的外觀。

2） 基本組織的循環數。設大小基本組織的循環數分別是R與r，則兩者滿足關系：R>r>0。通過調整大小基本組織循環數值R與r，將對整體鋪砌結構帶來變化，從而形成不同的鋪砌織物組織效果。

3） 基本組織的幾何變換。本文所采用的瓷磚鋪砌結構，從局部來看，由4個大基本組織環繞1個小基本組織（圖2（c）），因此通過對4個大基本組織施加不同的旋轉變換，可生成不同的鋪砌織物組織。圖7（a）中，大鋪砌塊內的數字代表旋轉，數字0～3分別表示對大鋪砌塊組織執行90°旋轉的次數，即分別為：{R0，R1，R2，R3}。在構造生成樹時，僅需將樹的子節點依次編號即可，使小基本組織的四個鄰接大基本組織的數字編號互異，如圖7（b）所示。

3仿真實驗與討論

本文運用C++語言實現上述瓷磚鋪砌織物組織設計方法，并采用QT庫對所生成的織物組織意匠圖進行可視化仿真，進一步討論各種不同變化形式對織物組織設計效果的影響。

3.1基本組織形式的變化

改變基本組織的形式能夠最大程度地改變鋪砌織物組織的外觀，因而通過設計不同的鋪砌塊組織可獲得更多的瓷磚鋪砌織物組織。圖8為采用不同的鋪砌塊組織設計的鋪砌織物組織，其大小基本組織見于各組圖的左下角，對應的鋪砌結構同圖6（a）。由圖8可見，不同的鋪砌塊組織所生成的瓷磚鋪砌織物組織外觀效果差異較大，風格各不相同。

3.2基本組織循環數的變化

鋪砌織物組織由2種不同循環數的基本組織生成，可通過調整基本組織的循環數改變組織外觀。對于給定的2個基本組織，在保持大鋪砌塊組織不變，而僅改變小鋪砌塊組織的循環數時，所生成的鋪砌織物組織雖然在整體上仍具有一定的相似性，但其局部產生了擾動變化，形成了新的組織，如圖9所示。

3.3基本組織的空間旋轉變化

由于本文瓷磚鋪砌的基本鋪砌單元具有中心對稱性，即1個小鋪砌塊被4個大鋪砌塊圍繞。因此，通過對小鋪砌塊或者4個大鋪砌塊進行局部旋轉變換也將生成新的組織。但施加旋轉變換過后，4個大鋪砌塊中會有a個大鋪砌塊會發生變化，大基本組織有（a+1）m種緯向交織形式，此時所得到的織物組織將破壞四方連續性。類似2.1節的證明可知，當循環數為（a+1）m2+n2的整數倍時，該鋪砌織物組織滿足四方連續性。為此，本文根據大鋪砌塊發生旋轉變換的數目a，對施加旋轉變換后鋪砌織物組織的循環數進行擴增。如圖10所示，保持小鋪砌塊組織不變，而對大鋪砌塊組織采用不同的旋轉變換得到了不同的鋪砌織物組織。其中圖10（a）未經旋轉變換，圖10（b）對所有大基本組織旋轉了90°，而圖10（c）則采用了圖7（a）的互異旋轉變換。

3.4任意“基本組織”形式

與分形組織及椅子鋪砌織物組織不同，本文的瓷磚鋪砌織物組織對基本組織的限制較松，不嚴格要求基本組織要符合工藝要求，即經紗或緯紗必須交織至少1次。如圖11所示，由一些不符合實際工藝要求的基本組織相互配合進行鋪砌，將生成一些具有特殊效果的織物組織，所形成的鋪砌織物組織呈現各種別樣的小花型，如階梯狀、風車狀等花型效果。

4結論

由計算機仿真實驗表明，本文基于瓷磚鋪砌方法，利用2種不同基本組織生成織物組織的設計方法是可行的。該方法在織物組織四方連續性約束下利用圖數據結構運用生成樹的構造過程生成鋪砌結構，并將2種不同的基本組織在鋪砌結構的相應位置進行填充，最終形成鋪砌織物組織。該方法的組織變化形式多樣，所生成的織物組織獨具一格。該方法在椅子鋪砌織物組織的基礎上，進一步探索了鋪砌理論在組織設計的應用，開拓出不同的織物組織設計空間。未來將挖掘更多的可用于織物組織設計且風格新穎的鋪砌結構，并研究建立設計鋪砌織物組織的一般理論與方法。

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參考文獻：

[1]顧平. 關于織物組織設計的理念更新[J]. 絲綢， 2005（7）： 18-20.

GU Ping. Study on idea renewal in fabric weave design[J]. Journal of Silk， 2005（7）： 18-20.

[2]張袆， 王美玲， 何小祎， 等. 織物組織結構對裝飾用桌布性能的影響[J]. 紡織科技進展， 2020（11）： 22-25.

ZHANG Hui， WANG Meiling， HE Xiaoyi， et al. Effect of fabric structure on properties of decorative tablecloth[J]. Progress of Textile Science and Technology， 2020（11）： 22-25.

[3]劉沐黎， 袁理， 楊亞莉， 等. 色紡機織物組織結構對其呈色特性的影響[J]. 紡織學報， 2020， 41（9）： 45-53.

LIU Muli， YUAN Li， YANG Yali， et al. Effect of fabric structure on color rendering characteristics of color spun fabrics[J]. Journal of Textile Research， 2020， 41（9）： 45-53.

[4]陳敏， 羅炳金. 提花真絲領帶織物組織設計與實踐[J]. 紡織導報， 2018（7）： 65-68.

CHEN Min， LUO Bingjin. Weave design and practice of jacquard silk tie fabric[J]. Textile Guide， 2018（7）： 65-68.

[5]施國生， 胡覺亮. 對稱性原理在織物組織設計中的應用[J]. 浙江工程學院學報， 2000（3）： 155-157.

SHI Guosheng， HU Jueliang. Symmetrical principle applied to fabric weave design[J]. Journal of Zhejiang Institute of Science and Technology， 2000（3）： 155-157.

[6]趙良臣， 聞濤. 旋轉組織設計的數學原理[J]. 紡織學報， 2003， 24（6）： 33-34.

ZHAO Liangchen， WEN Tao. The mathematical principle of rotational weave design[J]. Journal of Textile Research， 2003， 24（6）： 33-34.

[7]施國生， 梁道雷. 多臂織物組織矩陣的自動設計[J]. 紡織學報， 2002， 23（6）： 60-61.

SHI Guosheng， LIANG Daolei. Automatic design of multiarm fabric weave matrix[J]. Journal of Textile Research， 2002， 23（6）： 60-61.

[8]施國生， 張瑜秋， 熊超. 圖像變換在多臂織物組織設計上的應用[J]. 紡織學報， 2006， 27（7）： 23-26.

SHI Guosheng， ZHANG Yuqiu， XIONG Chao. Application of image transformation technique on dobby fabric weave design[J]. Journal of Textile Research， 2006， 27（7）： 23-26.

[9]金耀， 張聿. 織物組織的群表達方法[J]. 紡織學報， 2010， 31（6）： 48-51.

JIN Yao， ZHANG Yu. Studies on fabric weave representation by group theory[J]. Journal of Textile Research， 2010， 31（6）： 48-51.

[10]張聿， 金耀， 孫家武， 等. 基于L系統的織物分形組織設計方法[J]. 紡織學報， 2007， 28（5）： 51-54.

ZHANG Yu， JIN Yao， SUN Jiawu， et al. Design method of fabric fractal weave based on Lsystem[J]. Journal of Textile Research， 2007， 28（5）： 51-54.

[11]張聿， 金耀， 岑科軍. 基于IFS的非規則分形組織設計方法[J]. 紡織學報， 2012， 33（12）： 30-34.

ZHANG Yu， JIN Yao， CEN Kejun. Method of designing irregular fractal weave based on IFS[J]. Journal of Textile Research， 2012， 33（12）： 30-34.

[12]馬鈴琳， 張聿. 各層基礎組織互異的分形組織設計方法[J]. 絲綢， 2013， 50（9）： 45-49.

MA Linglin， ZHANG Yu. Design method of fractal weave with diverse basic weaves in different layers[J]. Journal of Silk， 2013， 50（9）： 45-49.

[13]熊麗麗， 張聿. 基于斜紋基本組織的回紋分形組織設計方法[J]. 絲綢， 2015， 52（1）： 31-34.

XIONG Lili， ZHANG Yu. Design method of fret fractal weave based on twill weave[J]. Journal of Silk， 2015， 52（1）： 31-34.

[14]章平， 張聿. 同層仿射分形織物的設計方法[J]. 絲綢， 2014， 51（12）： 3538.

ZHANG Ping， ZHANG Yu. Design method of fractal fabrics of affinity in the same layer[J]. Journal of Silk， 2014， 51（12） 35-38.

[15]熊宇龍， 張華熊， 魯佳亮， 等. 基于擴展分形模型的織物組織設計方法[J]. 浙江理工大學學報（自然科學版）， 2018， 39（3）： 341-345.

XIONG Yulong， ZHANG Huaxiong， LU Jialiang， et al. Fabricweave design method based on extended fractal model[J]. Journal of Zhejiang SciTech University（Natural Sciences Edition）， 2018， 39（3）： 341-345.

[16]金耀， 蔡騰皓， 李彩曼， 等. 基于椅子鋪砌方法的織物組織設計[J]. 紡織學報， 2020， 41（9）： 54-58.

JIN Yao， CAI Tenghao， LI Caiman， et al. Application of chairtiling approach for fabric weave design[J]. Journal of Textile Research， 2020， 41（9）： 54-58.

[17]PEICHANG Ouyang， KWOK Waichung， ALAIN Nicolas， et al. Selfsimilar fractal drawings inspired by M. C. Eschers print square limit[J]. ACM Transactions on Graphics， 2021， 40（3）： 1-34.

[18]FATHAUER R. Tessellations： Mathematics， Art， and Recreation[M]. Natick： A K Peters/CRC Press， 2020： 89-100.