隱藏吸引子混沌系統及其電路實現

薛帥寧 蒲曉虎 何奇

（重慶市氣象信息與技術保障中心 重慶市 401147）

隱藏吸引子有一個小的吸引盆，它與任何不穩定平衡點的小領域不重疊，其本身在一些非線性電路和動力學系統中發現，這引起了學者們的極大關注[1-2]。連續混沌系統產生的相圖的每個渦卷都一一對應一個指標為二的不穩定的鞍焦點，為了和隱藏吸引子作對比，Leonov把這些連續混沌系統產生的相圖特指為自激的吸引子[3-5]。然而，隱藏的吸引子是由穩定平衡點激勵的，因此與自激的吸引子具有完全不相似地動力學特性。一般而言，在生成隱藏吸引子的混沌系統中，共存無限的吸引子或共存多吸引子會被發現，證明系統具有超級多穩定性或多穩定性的動力學行為。隱藏吸引子混沌系統相比于自激的吸引子可能具有更豐富和復雜的行為，因此更適合混沌保密通信和混沌圖像加密應用。基于此，本文設計了一個新的具有隱藏吸引子的系統，該混沌系統的隱藏特性被詳細的分析，并從混沌吸引子、0-1測試和功率譜等方面證明該無點系統的混沌表達能力。接著，建立該無點系統的SPICE模擬電路，得出其數值分析與仿真結果相吻合，進而說明了該無點系統的正確性和存在性。

1 無平衡點的混沌系統及其基本動力學分析

1.1 新混沌系統的數學建模

新構造的混沌系統如下：

其中，a, b, c是系統的參數，x, y, z是系統的狀態變量。當參數a=60, b=2, c=2時，初值為（-1, -1, -1）時，系統的相圖如圖1所示。

1.2 新混沌系統的基本動力學分析

1.2.1 平衡點分析

由系統（1）得：

由式（2）的第三個方程，可以得到y=1或者y=-1，分別代入式（2）的第二個方程和第三個方程后相矛盾，因此系統（1）沒有平衡點。一般而言，一個系統如果沒有平衡點，則顯示該系統存在隱藏吸引子的可能性。

1.2.2 對稱性

無點系統存在對稱性，也就是說轉換（x, y, z)-(-x,-y, z)之后，無點系統將保持一致。該轉換可用下式來表征：

結果顯示無點系統滿足f(PZ)=Pf(z)這個表達式，反之，系統相同的在z軸的變化下，同時對系統所有的參數都保持相同在z軸對稱性下。

1.2.3 耗散性

進一步考察系統（1）的散度：

由式（4）可知，系統（1）的耗散僅與變量和參數的取值有關，當滿足第1.1小節中的參數和條件時，系統（1）的耗散曲線div（V）的負平均值解釋了系統（1）是耗散的，表明特定系統的所有軌道都歸于零，所有的軌跡最終都會固定在一個隱藏的吸引子上。

圖1：系統（1）的相圖

圖2：耗散度曲線

耗散度曲線如圖2所示。

1.2.4 0-1測試和功率譜

功率譜是離散的信號包括周期信號和擬周期信號，功率譜是連續的信號是非周期信號，混沌系統也屬于非周期信號。通過觀察如果系統的輸出信號在一定的頻率范圍內是連續功率譜，則判斷該系統會出現混沌現象。設參數a=60, b=2, c=2，由圖3（a）可知系統（1）的功率譜屬于連續譜，圖中的波峰并不明顯。圖3(b)是一個0-1測試圖，可以發現系統（1）是一個類似于（p，s）平面上布朗運動的無界軌跡，這表明該系統是一個混沌動力系統。

2 SPICE電路仿真

進一步為了說明系統存在混沌的能力，系統的SPICE仿真電路被實現，該電路包括三個模塊去實現無點系統（1）的狀態變量x，y和z。電源為Vcc=+30V，VEE=-30V被施加。電路中的電路節點vx、vy、vz分別表示無點系統中的狀態變量x，y和z。系統電路模擬圖如圖4所示，根據基爾霍夫電壓定律，得：

也即：

設置參數R1=R3=R4=R5=R6=R8=R10=R11=R12=1K，R2=2K，R9=60K，R7=1M，C1=1uF，把參數代入系統中可得：

同理可得：

圖3：0-1測試和功率譜

圖4：系統（1）的模擬圖

圖5：系統（1）的SPICE仿真圖

設置參數R18=R19=R20=R21=R22=R16=R13=R15=R19=R22=R20=R21=R22=1K，R14=2K，R17=R23=1M，C2=C3=1uF，可得：

仿真時間設置為1000s，最大仿真步長為0.01s。無點系統的SPICE仿真結果如圖5所展示，和圖1中的相圖相比較，可以得出結論：Matlab仿真的吸引子SPICE電路實驗相同，驗證了該三維電路的真實存在性。

3 結論

本文設計了一個新的無平衡點的三維混沌系統，具有簡單的系統結構，易于模擬電路搭建。經過理論分析和數值仿真，研究了該無點系統的動力學特性，如吸引子的存在性、0-1測試和功率譜，從而證明該系統的混沌產生特性。最后，通過SPICE電路實驗模擬仿真，進一步驗證了該混沌系統的真實存在性。