地質災害治理設計中崩塌落石的運動特征分析

廖俊展

(北京市勘察設計研究院有限公司，北京 100038)

1 概述

危巖落石是我國山區一種多發地質災害[1,2]，其失穩破壞過程也稱為崩塌[3]，一般是指地質體在重力作用下，從高陡坡突然加速崩落或滾落(跳躍)，具有明顯的拉斷和傾覆現象。崩塌的地質體通常為大體積巖體或土體；崩塌落石則是斜坡和高陡坡上的個別危巖體在重力和其他外力作用下，突然向下滾落的現象[4]，其運動軌跡和動能的大小是防護網設計的關鍵因素，直接影響到防護網實施效果的成敗。因此，對崩塌落石運動特征的研究，可以為崩塌落石工程治理設計提供依據，具有重大意義[5]。

目前，關于崩塌落石的計算理論主要分為經驗分析法和運動學分析方法[1]。經驗分析法中具有代表性的為前蘇聯尼米羅依尼什維里教授在大量野外現場試驗基礎上提出的落石運動速度的方法，但該方法依據的現場試驗性較強，對于邊坡坡度變化、距離擬保護目標的遠近以及坡面植被情況等較難綜合考慮[4,6]。而運動學分析方法是對落石局部過程運動狀態的描述。該方法是以牛頓三大運動定律和碰撞理論為指導，對大量的模型試驗和現場試驗的研究結果進行分析，結合運動學公式對落石運動的軌跡進行表述，該方法比經驗分析方法更多地考慮邊坡的特性和落石的運動軌跡之間的相互關系[7]。因此，本文將基于運動學原理對落石運動軌跡進行計算分析，并將其與數值模擬的結果進行對比，以便于探討落石的落點分布、運動速度、彈跳高度及動能分布等問題，并對相關的治理設計提出建議。

2 崩塌落石的運動模式

落石的整個運動過程一般可分為墜落、碰撞、滑動和滾動四個階段。墜落一般認為是落石在自重作用下不受阻擋失穩的自由落體運動，在此，簡化為不考慮空氣阻力和升力的影響；碰撞彈跳是落石運動過程中最為復雜和不確定的，一般可簡化為剛體碰撞；滑動為落石沿著某一斜面運動；滾動可簡化為圓形剛體在某一斜面上的摩擦運動。

2.1 墜落

落石墜落可認為是自由落體運動。根據運動學原理，在任意高度h下落時，下落速度和下落時間為：

(1)

(2)

在上述時間內的位移為：

(3)

其中,g為重力加速度,m/s2；v為落石的自由落體速度,m/s；v0為落石初始速度,m/s；h為垂直位移,m；H為t時間內總位移,m。

2.2 碰撞彈跳

落石做碰撞彈跳運動時，可假定為做斜拋運動，即以一定的初速度和水平方向成一定角度拋出，運動軌跡為拋物線。根據運動學原理，可以把斜拋運動看成如圖1所示的合運動來簡化：水平方向上勻速直線運動，垂直方向上上拋運動，如圖1所示。

落石碰撞后會損失部分能量，我們可以用恢復系數法來描述碰撞后落石的運動，這樣可以避免碰撞過程中非線性變形以及摩擦問題的直接討論，便于在工程實踐中應用[8]。

根據碰撞理論，落石第i次碰撞后其初始速度為：

(4)

其中，Rt為沿x方向的恢復系數；Rn為沿y方向的恢復系數。可根據表1取值。

由運動學基本原理，落石與基巖碰撞后，速度方程為：

(5)

其中，A為坡面與水平面的夾角，(°)；B為落石開始彈跳時初速度方向與邊坡坡面的夾角，(°)；vx為落石任一時刻沿x方向的速度分量,m/s；vy為落石任一時刻沿y方向的速度分量,m/s；t為碰撞發生開始至任一計算點的時間,s。

落石碰撞后的運動軌跡方程為：

(6)

其中,x為x方向上的位移分量；y為y方向上的位移分量。

表1 恢復系數取值表[8]

2.3 滑動

落石在斜坡坡面上，其自重下滑分力大于摩擦力時，在任意垂直位移h，其速度v可用式(7)表示：

(7)

其中,v為落石滑動速度,m/s；f為摩擦系數，無量綱；其余符號同前。

2.4 滾動

當落石沿斜坡面發生滾動運動時，為了便于計算分析，如前所述，可將落石滾動簡化為圓形剛體在斜面上的摩擦運動，此時，對于任意位置L有：

(8)

2.5 動能的計算

落石最后具有的總動能可通過式(9)計算，以便為防護設計提供依據。

(9)

其中,E為落石具有的總動能，J；I為落石的轉動慣量，kg/m2；ω為落石的轉動角速度，rad/s。

3 算例

北京市密云區密關路一支線公路邊坡，基巖為黑云母石英片麻巖，該邊坡可分為二級坡，上段邊坡坡高約65 m，屬于高陡坡，坡面陡直；下段邊坡緊接道路，坡高約15 m，邊坡坡面角度約24°，道路距離危巖體水平距離約37 m。坡頂有一等效直徑約2 m的危巖體。具體示意圖見圖2。

3.1 基于運動學理論的計算

3.1.1 落石運動狀態

在上述坡面形態下，整個落石運動模式可簡化為墜落和碰撞彈跳。落石在自身重力下，不考慮風阻等影響，墜落運動按照自由落體運動考慮，隨后，落石與坡面發生碰撞彈跳。

3.1.2 參數選取

為了便于計算，將上述落石理想化為直徑為2 m的球體，巖石重度取值為25 kN/m3，落石的初速度為0，下落高度為65 m，法向恢復系數Rn取值0.32，切向恢復系數Rt取值0.78。根據式(1)～式(6)計算，結果見表2。

表2 計算結果一覽表

從表2中可以看出，落石在墜落階段歷時3.60 s，第一次碰撞前的速度為36.00 m/s。根據式(4)落石完成墜落后將完成第一次碰撞彈跳，采用恢復系數法計算得到沿x方向和y方向上的速度分別為9.50 m/s和10.40 m/s。再由式(5),式(6)計算得出第一次碰撞彈跳歷時約1.90 s，沿x方向的位移約39.80 m，水平總位移為39.00 m，在彈跳歷時的中間過程其彈跳高度最大，為5.40 m。

同理，根據上述公式可求得第三次碰撞彈跳完成后x方向上的初始速度為8.7 m/s，y方向上的初始速度為0.4 m/s，歷時0.12 s，彈跳高度接近0 m，等同于貼近地面的滾動。因此，落石歷經3次碰撞彈跳后停止。

3.1.3 計算結果分析

根據表2的計算結果，落石的運動軌跡超出了道路邊線，因此，需要加以防護。落石在完成墜落后，在第一次碰撞彈跳時出現了最大速度和最大彈跳高度，最大合速度為14.10 m/s，不考慮落石的轉動，落石具有的動能根據式(9)計算可得E=1 040 kJ。

3.2 數值模擬

本文運用Rockfall[9]軟件對落石運動軌跡進行數值模擬。

3.2.1 基本假定條件

1)落石的形狀為球體，且質量分布均勻；

2)落石之間的水平相互作用力可以忽略；

3)落石碰撞后不發生碎裂，保持完整；

4)落石及其相關坡面均為各向同性彈塑性體；

5)與分析落石相關的坡面為折線形式連接而成的；

6)空氣阻力作用可以忽略。

3.2.2 參數選取

基本參數選取同3.1節。

3.2.3 落石運動模擬結果

1)落石運動軌跡。

落石的運動軌跡見圖3，該圖為模擬落石墜落50次的模擬結果。從圖3中可以看出，落石首先以墜落的模式下落，然后偏離緊鄰道路的一號邊坡，表明落石以碰撞彈跳為主。當落石再次下落時，接觸路面，發生第二次碰撞彈跳，然后發生第三次碰撞彈跳，直至以滾動模式為主，模擬結果基本與運動學計算結果一致。

圖4為落石模擬的最終落點分布直方圖，從圖4中可以看出，落點主要分布在道路面及右側路附近(概率約75%)，這基本上與運動學計算結果相吻合。

2)落石的彈跳高度。

落石的彈跳高度曲線見圖5。從圖5中可以看出，當落石第一次墜落后接觸到一級坡時，以碰撞彈跳為主，彈跳高度約在5.2 m，然后發生第二次、第三次碰撞彈跳，彈跳高度銳減，模擬的彈跳模式與運動學計算結果趨勢一致，但在量值上有所差異，這可能與模擬軟件的計算有關，因為該軟件的計算基于數理統計基礎上的隨機模擬，而運動學計算則相對于固定。

3)落石的動能。

落石的動能分布曲線見圖6。從圖6中可以看出，在道路左側，落石的動能均值一般在1 200 kJ左右。這與運動學計算結果吻合較好。因此，在做被動網設計時，其設置位置一般放在道路左側或一號坡上第一次碰撞彈跳點之外較為合理。

根據以上計算分析，落石的動能基本上在1 000 kJ～1 250 kJ之間，因此建議在距離落石水平距離7.5 m處設置高度不小于6.0 m、攔截撞擊能為1 500 kJ的被動防護網。

3.2.4 工程實例及實施效果分析

在北京地區的山區公路危巖體的防治工程設計中，上述研究成果獲得了較為廣泛的應用，仍以上述算例為例簡要介紹其實施效果。

該支線道路為密云區兩相鄰景區的交通要道，不僅環境保護和景觀要求高，而且施工運輸條件非常差。道路一側為河流，另一側即為30 m～70 m高的人工切坡。經過多年人類活動、物理風化和化學風化作用，原人工切坡坡面基本穩定的巖石逐漸變化為欠穩定或不穩定的危巖，因此，需要采取措施消除上述危巖體對該公路的正常運營產生安全隱患。

根據本文的設計理念，依據勘查成果，并在以上計算分析的基礎上，選用了RXI-150型防護網，系統高度為6.0 m，長度根據防護位置及要求設定，本段為55 m。圖7為施工完成后的現場。

采用該治理設計方案，材料運輸相對方便，相對圬工工程也更加經濟，施工時對環境的破壞小(基本不破壞原有的灌木，局部影響處僅削掉側枝，保留樹干)；同時，不僅場地的適應性強(基本不需要整平)，可做到隨場地地形設置，而且施工速度快、一般工期僅為圬工的1/4～1/3。該工程從2017年施工至今，已成功攔截上部多次小規模落石災害。

4 結論

落石運動的影響因素很多，運動形式也非常復雜，要精確求解危巖的路徑方程難度很大。本文基于運動學原理，根據落石的運動模式簡化計算了落石的運動軌跡，并與數值模擬的計算結果加以對比，可得以下兩點結論：

1)落石運動路徑和預測的基礎為危巖崩落后的起始運動狀態，起始狀態可通過運動學原理計算求得。基于運動學原理的運動方程基本能夠描述理想情況下落石的運動軌跡。

2)Rockfall數值模擬的結果與理論計算較為吻合，兩者的計算結果可相互驗證，以便為防護設計提供依據。

基于運動學計算和數值模擬計算，不僅能夠計算落石沿坡面的完整運動路徑，而且也能夠預測落石在坡面的跳躍段位置和滾滑段位置。

根據上述計算、分析，在實際工程設計中，可選擇落石彈跳高度小、動能小、便于施工的位置，結合防治要求，靈活設置防護網。但本文也存在有不足之處。實際上，崩塌落石的運動軌跡受到多種因素的影響，比如：落石的形狀、落石運動過程中的碎裂以及其相互碰撞對落石運動軌跡的影響等本文均未考慮，這方面的工作應當深入研究，以便建立完整的崩塌落石評價體系。