ZA型蝸桿副建模及動力學傳動誤差仿真分析

楊宏斌，李官運，李 靜，徐愛軍

（河南科技大學機電工程學院，河南 洛陽471003）

1 引言

蝸桿副具有傳動平穩、振動和噪聲小等優點廣泛應用于諸多行業。在蝸輪蝸桿的加工制造、仿真分析等方面，采用精準的蝸桿副三維模型顯得十分重要。在齒輪傳動的設計中，傳動誤差是重要的設計參考資料，通過動力學仿真軟件，可以分析在不同轉速、負載情況下的嚙合傳動誤差［1］。

對于蝸桿副的精確建模可以采用多種方法，文獻［2］采用繪制齒廓線進行掃描切除，建立蝸桿副的三維模型，通過VB編程實現蝸桿副的參數化建模。文獻［3-5］同樣采用參數化建模的方法建立蝸桿副模型，在動力學仿真分析方面，分別對輸出角速度和嚙合力的變化進行分析。文獻［6］建立蝸桿副的虛擬樣機模型，對存在安裝誤差條件下的蝸桿副進行傳動誤差分析。文獻［7］探究一種評估齒輪嚙合振動和噪聲的數值方法，采用齒輪傳動誤差來進行評價，通過實驗驗證動力學仿真軟件對傳動誤差分析的正確性。

文中根據成形加工原理和齒輪嚙合原理，對蝸桿副的數學模型進行推導，完成對蝸桿副三維模型的建立。在動力學仿真軟件RecurDyn中搭建蝸桿副的動力學模型，對蝸桿副在不同工況下的傳動誤差進行分析研究，為蝸輪蝸桿的設計和性能分析提供參考。

2 建立ZA型蝸桿副的數學模型

2.1 ZA蝸桿的數學模型

蝸桿的數學模型是根據加工原理，利用加工車刀的直線刃方程，繞著蝸桿軸線做螺旋線運動推導而來［8］。車刀加工蝸桿的螺旋運動情況如圖1所示，S1為蝸桿剛性固接的坐標系，Su為車刀固接的動態坐標系，θ為車刀螺旋運動的回轉角。

圖1 蝸桿加工的坐標系Fig.1 Coordinate System for Worm Machining

右旋蝸桿的數學方程為：

式中：α—車刀的齒形角，即蝸桿的齒形角；u—車刀刃口上點的位置參數；sp—設計參數，等于蝸桿齒槽在軸截面內的軸向寬度；rp—蝸桿的節圓半徑，p—螺旋參數，p=H/2π，H—導程。

2.2 ZA蝸輪的數學模型

根據齒輪嚙合原理，建立蝸桿副嚙合過程的坐標系如圖2所示。

圖2 蝸輪蝸桿嚙合坐標系Fig.2 Worm Gear Meshing Coordinate System

其中S為固定坐標系，SP為輔助的固定坐標系，S1、S2分別為蝸桿、蝸輪固接的動坐標系，蝸桿以定角速度繞z1軸回轉，蝸輪以定角速度繞z2軸回轉。

蝸桿副為共軛齒面，通過推導得到蝸桿副的嚙合方程，與蝸桿齒面方程聯立并進行坐標系轉換，可以得到ZA蝸輪的齒面方程為：

式中：x1、y1、z1—接觸點P在坐標系S中的坐標；x2、y2、z2—接觸點P在坐標系Sp中的坐標；φ1—蝸桿在坐標系S中的轉角；φ2—蝸輪在坐標系Sp中的轉角；A0—中心距；i12為傳動比。

3 建立ZA型蝸桿副的三維模型

通過上述對蝸桿副齒面數學方程的推導，在Matlab中對蝸桿副的齒面點進行編程求解，文中采用ZA型蝸桿副的基本參數，如表1所示。

表1 ZA蝸桿副的基本幾何參數Tab.1 Basic Geometric Parameters of ZA Worm Gear

將Matlab中得到的齒面點導入UG，在UG中實現齒面的構建，并對齒面進行縫合、剪切、布爾等操作，完成對蝸桿副實體模型的建立，如圖3所示。

圖3 ZA型蝸桿副的三維模型Fig.3 Three Dimensional Model of ZA Worm Pair

4 蝸桿副的動力學仿真分析

4.1 蝸桿副的動力學模型建立

文中采用的RecurDyn是韓國FunctionBay公司利用最新的多體動力學理論，基于相對坐標系建模和遞歸求解算法開發的動力學軟件，可以實現快速穩定求解機構碰撞問題。

將UG中蝸桿副的裝配模型以parasolid格式導入RecurDyn中，分別添加蝸桿和蝸輪與大地的旋轉副，建立蝸桿齒面與蝸輪齒面的擴展面接觸（Extended Surface to Surface Contact）。蝸桿上添加旋轉驅動，蝸輪上添加負載轉矩，完成對蝸桿副的動力學模型建立，如圖4所示。

圖4 ZA蝸桿副的動力學模型Fig.4 Dynamic Model of ZA Worm Pair

4.2 動力學仿真分析

根據RecurDyn的接觸算法［9］，對接觸參數進行設置，蝸桿采用碳鋼材料，彈性模量為2.06x105MPa，泊松比為0.3；蝸輪采用鑄造錫青銅材料，彈性模量為8.83x104MPa，泊松比為0.3。經計算的接觸剛度系數為3.63x105N/mm3/2，阻尼系數為50N·s/mm，非線性指數為1.5，最大穿透深度為0.1mm；動態摩擦系數為0.05，靜態摩擦系數為0.08。蝸桿采用step階躍函數進行驅動，在0到0.5s內加速到45rad/s，即step（time，0，0，0.5，45），蝸輪上施加一個為50N·m的轉矩負載，即step（time，0，0，0.5，50000），仿真時間為3s，仿真采樣步數為300步。

經上述參數設置，進行動力學仿真，蝸桿的驅動轉速為45rad/s，蝸桿副的傳動比為20.5，圖5可以看出0到0.5s是個加速過程，0.5s后蝸輪的角速度穩定在2.20rad/s上下，與理論值2.195rad/s非常接近，驗證模型建立的正確性。

圖5 蝸輪輸出角速度Fig.5 Worm Gear Output Angular Velocity

5 蝸桿副的傳動誤差分析

根據齒輪傳動誤差定義，當主動輪轉過一定角度時，從動輪的實際轉動角度與理論轉動角度的差值，表達式為：

式中：φ1、φ2—主動輪和從動輪的實際轉角主動輪和從動輪的初始位置；N1、N2—主動輪和從動輪的齒數。

在不同負載、轉速下，對蝸桿副傳動模型進行動力學仿真分析，將RecurDyn中的仿真數據導入到Matlab中，根據傳動誤差的公式，完成對蝸桿副的傳動誤差分析。

5.1 負載對傳動誤差的影響

將蝸桿的轉速恒定為45rad/s，分別對蝸輪施加50N·m、150N·m、250N·m三種情況進行仿真分析，得到定轉速變轉矩的動態傳動誤差曲線圖，分別如圖6（a）、（b）、（c）所示。

圖6 轉速為45rad/s不同負載傳動誤差圖Fig.6 Transmission Error Diagram for Different Loads at 45 rad/s

通過對上述三種情況進行對比分析可知，在0到0.5s初始加速階段，蝸桿副的傳動誤差依次增大，0.5s后蝸桿的轉速穩定，齒面傳動誤差呈周期性，在一定范圍內上下波動。蝸桿轉速穩定后，傳動誤差的均值隨著負載的增大而增大，且負載越大傳動誤差的波動范圍越大。根據傳動誤差的嚙合信息可以反映出，轉速恒定時，隨著負載的不斷增大，蝸桿副的嚙合振動和噪聲也在增大。

5.2 轉速對傳動誤差的影響

將蝸輪的轉矩恒定為150N·m，分別對蝸桿的驅動轉速為45rad/s、65rad/s、85rad/s三種情況進行仿真分析，得到定轉矩變轉速的動態傳動誤差曲線圖，分別如圖7（a）、（b）、（c）所示。

通過分析定轉矩變轉速的傳動誤差圖可知，在蝸輪施加恒定負載的情況下，隨著蝸桿轉速的增大，蝸桿副傳動誤差的均值和波動幅值基本一致。可以反映出蝸桿副嚙合傳動產生的振動和噪聲，受蝸桿轉速的增大影響較小。

6 結論

基于齒輪嚙合原理，對ZA型蝸桿副的齒面方程進行數學模型的推導，得到ZA型蝸桿副的數學表達式。

完成對ZA型蝸桿副三維模型的建立。根據蝸桿副的數學模型，在Matlab中進行編程得到齒面點，將點云數據導入到UG中，完成蝸輪蝸桿的模型建立。

在RecurDyn中建立蝸桿副的動力學模型，驗證了三維模型和動力學模型建立的正確性。通過對蝸桿副傳動誤差的分析，發現恒定轉速情況下，負載增大對傳動誤差的影響明顯增大；在恒定負載情況下，轉速增大對傳動誤差影響基本一致。通過對蝸桿副傳動誤差的仿真對比分析，為蝸桿副的設計提供評價依據，為齒輪嚙合的振動和噪聲研究提供參考。