分離變量法求解二維平面薄板相關(guān)問題的研究

屈恩相，齊 輝，楊 杰，王 麗，鄧 琳，喬 雪，郭麗婷

(1.齊齊哈爾大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，黑龍江 齊齊哈爾 161006；2.哈爾濱工程大學(xué) 航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001；3.上海電機(jī)學(xué)院 機(jī)械學(xué)院，上海 201306)

板作為工程結(jié)構(gòu)常用的構(gòu)件之一，常常作為分析問題的研究對象。比如建筑工程中的樓板、懸挑板、橋面板；海洋工程結(jié)構(gòu)中的外板、甲板；水利工程中的水閘閘門等等。研究板結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能及破壞機(jī)理對于工程安全穩(wěn)定具有重要意義。實(shí)際上，板的應(yīng)力、應(yīng)變、位移的計算問題屬于彈性力學(xué)的空間問題。在數(shù)學(xué)上處理板所滿足的微分方程和邊界條件精確解的問題存在很大困難。分離變量法的應(yīng)用研究已經(jīng)非常廣泛[1-2]，不僅僅應(yīng)用在求解數(shù)學(xué)問題的微分方程[3-4]，也廣泛對的應(yīng)用在力學(xué)學(xué)科上。比如涉及到力學(xué)中的彈性地基薄板振動[5-8]、電磁場方程的分析[9-11]、量子力學(xué)[12]、波動方程[13]、航天器最優(yōu)轉(zhuǎn)彎問題[14]、非理想反激變換器模型推導(dǎo)[15]、非線性動力學(xué)[16-18]等問題上分離變量法都得到了很好地應(yīng)用，這些都為理論研究提供很好的借鑒。圍繞二維平面薄板所滿足給定邊界條件的偏微分方程的求解展開研究，采用數(shù)學(xué)物理方程中的分離變量法對薄板所滿足的偏微分方程進(jìn)行變量分離，將偏微分方程轉(zhuǎn)化常微分方程，從而有效的解決該問題。由文獻(xiàn)[19-23]可知，分離變量法的求解過程可以總結(jié)如下。

(1)構(gòu)造所求的解形式以W(x,y)=X(x)Y(y)為類似的形式代入偏微分方程中，將相對應(yīng)變量進(jìn)行分離，得到兩個常微分方程。

(2)根據(jù)已知的W(x,y)邊界條件，導(dǎo)出X(x)所滿足的邊界條件，從而得到該變量符合的常微分方程的特征值問題。

(3)求解該特征問題所決定的特征值λm及相應(yīng)的特征函數(shù)Xm(x)。

(4)決定所對應(yīng)的Ym(y)形式。

1 板的定義及介紹

圖1 平板模型圖

板在彈性力學(xué)中是這樣規(guī)定的：兩個平行平面和垂直平行面的柱面或者棱柱面所圍成的物體，當(dāng)高度遠(yuǎn)小于底面尺寸時為平板(簡稱板)，平板模型圖如圖1所示。兩平行面稱為板面，垂直于板面的柱面或者棱柱面稱為板邊，兩平行面之間的距離稱為板厚，平分板厚的平面稱為中面。按照板的厚度和受力可以分為薄板、膜板、厚板，平板的分類如表1所示。采用分離變量法分析的是薄板的二維平面小撓度問題。

表1 平板的分類

2 二維平面薄板邊界條件

二維平面薄板的邊界主要存在固定邊界、簡支邊界、自由邊界三種不同的情況如圖2所示。

圖2 二維平面薄板邊界存在形式

其中OA為固定邊界、AB和BC為自由邊界、OC為簡支邊界，不同邊所滿足的邊界條件可以整理成如表2所示。

表2 平面薄板邊界條件及表示

3 求解矩形薄板振動問題

二維平面直角坐標(biāo)系所建立矩形薄板的模型如圖3所示，其中矩形薄板四條邊界為自由邊界。

圖3 矩形薄板振動問題的二維平面圖

邊界條件可以表示為

角點(diǎn)條件表示為

彈性矩形薄板橫向振動方程可以表示如式(1)所示。

(1)

令W(x,y)=X(x)Y(y)代入式(1)，進(jìn)一步整理成如式(2)所示。

(2)

3.1 變量X(x)解的分離情況

將式(2)兩邊同時除以X(x)Y(y)，對y求導(dǎo)一次將相同變量結(jié)合在一起，并令其等于常數(shù)-α2可以得到，如式(3)所示。

(3)

將式(3)變量分離后可以進(jìn)一步整理成如式(4)所示。

X″(x)+α2X(x)=0

(4)

3.1.1 系數(shù)α取值的分類討論

第一種為系數(shù)α=0，可以得到X(x)=A1+A2x代入式(2)得如式(5)所示。

YⅣ(y)-γ4Y(y)=0

(5)

式(5)特征根有四種情況γ,-γ,iγ,Y(y)，解的形式可以表示如式(6)所示。

Y(y)=B1sinhγy+B2coshγy+

B3sinγy+B4cosγy

(6)

第二種為系數(shù)α≠0，X(x)=C1sinαx+C2cosαx代入式(2)可得如式(7)所示。

YⅣ(y)-2α2Y″(y)+(α4-γ4)Y(y)=0

(7)

Y(y)=D1sinhα1y+D2coshα1y+

D3sinα2y+D4cosα2y

(8)

Y(y)=D1sinhα1y+D2coshα1y+

D3sinhα3y+D4coshα3y

(9)

3.2 變量Y(y)解的分離情況

將式(2)兩邊同時除以X(x)Y(y)，對x求導(dǎo)一次將相同變量結(jié)合在一起，并令其等于常數(shù)-β2，又可以得到另一個變量整合形式如式(10)所示。

(10)

將式(10)變量分離后進(jìn)一步整理可以得到如式(11)所示。

Y″(y)+β2Y(y)=0

(11)

3.2.1 系數(shù)取值β的分類討論

第一種為系數(shù)β=0，可以得到Y(jié)(y)=E1+E2y代入式(2)得如式(12)所示。

XⅣ(x)-γ4X(x)=0

(12)

式(12)特征根有四種情況γ，-γ，iγ，-iγ。Y(y)解的形式可以表示成如式(13)所示。

X(x)=F1sinhγx+F2coshγx+

F3sinγx+F4cosγx

(13)

第二種為系數(shù)β≠0，Y(y)=G1sinβy+G2cosβy代入式(2)得如式(14)所示。

XⅣ(x)-2β2X″(x)+(β4-γ4)X(x)=0

(14)

方程特征根又分為兩種情況。第一種情況是γ>β時，方程的根有四個分別為β1，-β1，iβ2，-iβ2。

X(x)=H1sinhα1x+H2coshα1x+

H3sinα2x+H4cosα2x

(15)

X(x)=H1sinhβ1x+H2coshβ1x+

H3sinhβ3x+H4coshβ3x

(16)

通過對矩形薄板邊界自由振動問題為例，使用分離變量法分別對X(x)和Y(y)的解進(jìn)行變量分離并討論，能夠清晰分析出偏微分方程混合問題經(jīng)過變量分離，轉(zhuǎn)化為常微分方程的初值問題的應(yīng)用過程。

4 求解矩形薄板波動問題

圖4 矩形薄板波動問題的二維平面圖

如圖4所示分析的是邊界條件為固定邊界的二維平面薄板，采用分離變量法來研究該類問題波動方程解的形式。二維波動方程可以表示如式(17)所示，邊界條件可以表示如式(18)所示，初始條件如式(19)所示。

(17)

(18)

(19)

設(shè)u(x,y,t)=F(x,y)G(t)將其代入式(17)得如式(20)所示。

F(x,y)G″(t)=c2[FxxG(t)+FyyG(t)]

(20)

式(20)兩邊同時除以F(x,y)G(t)，并令等式右端為一常數(shù)-υ2整理得如式(21)所示。

(21)

式(21)進(jìn)一步化簡整理得如式(22)所示。

(22)

式(22)中關(guān)于G(t)的函數(shù)進(jìn)一步移項整理得如式(23)所示。

G″(t)+υ2c2G(t)=0

(23)

令λ=υc代入式(23)得如式(24)所示。

G″(t)+λ2G(t)=0

(24)

將式(22)中關(guān)于變量x和y的函數(shù)進(jìn)一步移項整理得如式(25)所示。

Fxx+Fyy+υ2F(x,y)=0

(25)

令F(x,y)=H(x)Q(y)，代入式(25)中，進(jìn)一步整理成如式(26)所示。

(26)

將式(26)移項整理得如式(27)所示。

(27)

(28)

式(28)中對變量x項進(jìn)行整理如式(29)所示。

(29)

式(29)的二階齊次線性微分方程的解如式(30)所示。

H(x)=Acoskx+Bsinkx

(30)

將式(28)中關(guān)于變量y項進(jìn)行整理如式(31)所示。

(31)

令p2=υ2-κ2代入到式(31)進(jìn)一步整理成如式(32)所示。

(32)

式(32)的解可以表示成如式(33)所示。

Q(y)=Ccospy+Dsinpy

(33)

將矩形薄板兩條豎直邊界x=0，x=a代入到式(30)整理得H(0)=Acos0+Bsin0=0；H(a)=Acosak+Bsinak=0即Bsinak=0分兩種情況討論，當(dāng)B=0時，函數(shù)H(x)沒有意義，所以不成立。當(dāng)sinak=0即ak=mπ，m∈N。

(34)

(35)

將式(35)進(jìn)行歸并整理成如式(36)所示。

(36)

將所有模態(tài)組合在一起，形成如式(37)所示。

(37)

起始條件u(x,y,t=0)=f(x,y)，將t=0代入到式(37)整理得如式(38)所示。

(38)

對式(38)運(yùn)用傅里葉逆變換可得如式(39)所示。

(39)

將式(37)代入式(19)可得如式(40)所示。

(40)

對式(40)運(yùn)用傅里葉逆轉(zhuǎn)換可得如式(41)所示。

(41)

根據(jù)邊界條件為齊次和初始條件為非齊次，運(yùn)用分離變量法對矩形薄板固定邊界波動問題進(jìn)行分析研究，將波動方程為偏微分方程變量分離轉(zhuǎn)化為含有單一變量的常微分方程并求解出該類問題解的形式，能夠總結(jié)出分離變量法可以用來求解二維平面薄板的波動問題。

5 求解矩形薄板熱傳導(dǎo)問題

一個長為a，寬為b的矩形薄板如圖5所示，上下兩面絕熱、四周邊界溫度已知。可以表示成：板的兩邊(x=0，x=a)始終保持零度，另外兩邊(y=0，y=a)的溫度分別為f(x)和g(x)。

圖5 矩形薄板熱傳導(dǎo)問題的二維平面圖

矩形區(qū)域上拉普拉斯方程邊值問題如(42)式所示。

(42)

令u(x,y)=X(x)Y(y)進(jìn)行變量分離，方程式(42)可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為如式(43)所示。

(43)

對式(43)中關(guān)于變量x和y進(jìn)行移項整理得如式(44)所示和式(45)所示。

X″(x)+α2X(x)=0

(44)

Y″(y)-α2Y(y)=0

(45)

根據(jù)邊界條件求解本征方程X(0)=0和X(a)=0的固有值如式(46)所示。

(46)

固有函數(shù)如式(47)所示。

(47)

式(46)代入如式(45)可得如式(48)所示。

(48)

式(48)中的解可以表示如式(49)所示。

(49)

原定解問題的解為如式(50)所示。

(50)

由邊界條件得如式(51)所示。

(51)

應(yīng)用傅里葉系數(shù)公式得如式(52)所示。

(52)

當(dāng)矩形區(qū)域的兩組對邊的邊界條件都是齊次時，方程只有零解，這從物理模型上分析也是顯然的。若兩組邊界條件都是非齊次，則無法直接應(yīng)用分離變量法。此時，可以根據(jù)疊加原理，將其分解為兩個各含有一組對邊是齊次邊界條件的邊值問題，再利用分離變量的方法分別求解。對于二維薄板熱傳導(dǎo)的拉普拉斯方程的邊值問題而言，應(yīng)根據(jù)求解區(qū)域的形狀適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系，使得在此坐標(biāo)系中邊界條件的表達(dá)式最為簡單，便于求解。只有當(dāng)求解區(qū)域很規(guī)則時，才可以應(yīng)用分離變量法求解拉普拉斯方程的邊值問題。

矩形薄板在不同邊界條件下對X″+α2X=0和Y″+β2Y=0的特征值與特征函數(shù)可以進(jìn)行總結(jié)。垂直邊界X=0，X=a在邊界X″+α2X=0的特征值及特征函數(shù)可以總結(jié)如表3；水平邊界Y=0，Y=b在邊界Y″+β2Y=0的特征值及特征函數(shù)可以總結(jié)如表4。

表3 垂直邊界條件特征情況

表4 水平邊界條件特征情況

6 結(jié)論

應(yīng)用分離變量法求解平面薄板的四邊自由振動模型、四邊固定的波動模型、四邊穩(wěn)恒狀態(tài)熱傳導(dǎo)模型，可以總結(jié)出一些結(jié)論。

(1)求解二維平面薄板定解問題時：當(dāng)泛定方程與邊界條件均為齊次時，無論初始條件為何種情況，可直接應(yīng)用分離變量法求解。

(2)當(dāng)邊界條件為齊次，泛定方程或初始條件為非齊次時，泛定方程為齊次并具有原定解條件的定解問題則可以分離變量法求解；泛定方程為非齊次的并具有齊次定解條件的定解問題，該問題用固有函數(shù)法求解。

(3)當(dāng)邊界條件為非齊次時，則必須引進(jìn)輔助函數(shù)把邊界條件化為齊次的，然后再應(yīng)用分離變量法來求解。