整體認(rèn)識一元二次方程中的三個系數(shù)

文／陸文娟

如果已知一個一元二次方程，就是知道了ax2+bx+c=0（a≠0）中的系數(shù)a、b、c，那么我們可以通過直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法把它的根求出來。反之，如果知道一元二次方程的根，就可以反過來求出待定字母a、b、c 的值。這說明一元二次方程的根與三個系數(shù)之間有著緊密的聯(lián)系。下面我們就來整體認(rèn)識一下這三個系數(shù)。

一、正確認(rèn)識二次項系數(shù)

關(guān)于x的一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0，其中a、b、c是常數(shù)，并且a≠0。這句話告訴我們，如果確定了某一個方程是一元二次方程，那么對應(yīng)的a≠0；反之，只有a≠0，才能保證所給的方程是一元二次方程。

例1已知關(guān)于x的方程（m-2）xm2-2+5mx-7=0是一元二次方程，求m的值。

【分析】粗心的同學(xué)一看到關(guān)于x的一元二次方程，馬上想到最高次數(shù)是2，進(jìn)而得到m2-2=2，求得m=±2。事實上，題目告訴我們關(guān)于x的方程是一元二次方程，所以首先要保證二次項系數(shù)不為0，即m-2≠0，得m≠2；其次才有m2-2=2，求得m=±2。結(jié)合上述兩條結(jié)論，本題正確的結(jié)果是m=-2。

二、全面認(rèn)識根的判別式

一個一元二次方程有沒有實數(shù)根，只要計算根的判別式，根據(jù)判別式的值是大于0、等于0 還是小于0，就可以判斷。顯然，三個系數(shù)a、b、c決定了根的判別式的值。但同學(xué)們千萬不要忘記，要計算根的判別式，其前提是給出的方程必須是一個一元二次方程。因此，我們要在a≠0的前提條件下，才能考慮計算Δ=b2-4ac的值。否則，就有可能出現(xiàn)差錯。

例2當(dāng)n為何值時，關(guān)于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0 有兩個不相等的實數(shù)根？

【分析】粗心的同學(xué)看到方程有兩個不相等的實數(shù)根，馬上計算根的判別式的值Δ=（2n）2-4（n-1）（n+3）＞0，求出n＜事實上，上面已經(jīng)說過，要計算根的判別式的值，其前提是要保證二次項系數(shù)不為0，即先保證它是一個一元二次方程，所以n-1≠0，得n≠1。本題的解題過程是，先保證n≠1，再滿足n＜這樣，正確結(jié)果為n＜且n≠1。

如果我們把上述問題的敘述稍加改變，就可以得到下面這樣一個問題：

當(dāng)n為何值時，關(guān)于y的方程（n-1）y2+2ny+n+3=0 有實數(shù)根。這時的問題又該如何求解呢？

【分析】由于問題中沒有說是一元二次方程，只說是方程，那么，我們應(yīng)該把視野放大，從整式方程的角度來看問題。如果n-1=0，即n=1，方程變成2y+4=0，顯然，這個方程有實數(shù)根。如果n-1≠0，得n≠1，即方程是一元二次方程，此時有根，那么根的判別式大于等于0，求出n的取值范圍是n≤。綜合上述兩種情況，得到最后的結(jié)果是n≤。

三、整體認(rèn)識韋達(dá)定理

上面我們介紹了一個整式方程是一元二次方程的前提是a≠0，在此前提下考慮根的判別式的值，進(jìn)而確定一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根、有兩個相等的實數(shù)根、沒有實數(shù)根等情況。那么，一元二次方程ax2+bx+c=0 根與系數(shù)的關(guān)系x1+x2=又該如何整體認(rèn)識呢？談到根與系數(shù)的關(guān)系，首先對應(yīng)的一元二次方程得有根，而一元二次方程有根的前提是根的判別式Δ=b2-4ac≥0，而要計算根的判別式的前提是方程必須是一元二次方程，即a≠0。由此我們就得出這樣的思考先后順序：首先是a≠0，其次是Δ=b2-4ac≥0，最后才是x1+x2=-。

例3已知關(guān)于x的方程（k2-1）x2+（k+1）x+1=0，其中k為實數(shù)，此方程的兩個實數(shù)根x1、x2滿足x1·x2=1，求k的值。

【分析】粗心的同學(xué)看到x1·x2=1，就會根據(jù)韋達(dá)定理列出關(guān)于k的等式x1·x2==，求出k=±，進(jìn)而下結(jié)論。上面的整體認(rèn)識告訴我們，首先要考慮二次項系數(shù)k2-1≠0，求出k≠±1；其次計算根的判別式Δ=b2-4ac≥0，求出-1≤k≤；最后考慮根與系數(shù)的關(guān)系x1·x2=，求出k。綜合以上三條結(jié)論，最后得出正確的結(jié)果是

乍一看一元二次方程的二次項系數(shù)、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，會覺得是三個不同的知識點(diǎn)，但上面的三個“認(rèn)識”告訴我們，它們都是研究一元二次方程系數(shù)的關(guān)鍵，看似獨(dú)立，實際卻緊密聯(lián)系，甚至還有先后的邏輯關(guān)系。事實告訴我們，很多數(shù)學(xué)知識之間都是有聯(lián)系的，學(xué)好數(shù)學(xué)知識的秘訣就是要先把每個知識點(diǎn)熟練掌握，再把相互關(guān)聯(lián)的知識點(diǎn)全面認(rèn)識，最后對所學(xué)章節(jié)的知識或同類知識進(jìn)行整體把握。我們只有逐步跨上了這樣三個從低到高的臺階，才能在知識的海洋中自由地暢游。