抓住問題本質 滲透核心素養
——《直線、平面的垂直關系高三一輪復習課》教學設計

王曉麗

(山東省青島第一中學 266000)

一、教學分析

垂直關系是立體幾何中兩大基本關系之一，讓學生通過本節課熟練掌握線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的相互轉化，是本節課的一個重要任務.依據《課程標準(2017)版》對學生邏輯推理素養及直觀想象素養的要求，培養學生能夠對與學過的知識有關聯的數學命題，通過對其條件與結論的分析，探索論證的思路，選擇合適的論證方法予以證明，并能用準確的數學語言表述論證過程.培養學生能夠在關聯的情境中，想象并構建相應的幾何圖形；能夠借助圖形提出數學問題，發現圖形與圖形、圖形與數量的關系，解決實際問題或數學問題.本課為一輪復習課，積極踐行新課程理念，通過一些問題的設置，幫助學生構建知識網絡，對線線垂直、線面垂直、面面垂直有一個完整的知識框架.并且通過本節課的學習，能夠體會重要的幾何模型在實際應用中的重要作用，體會“降維”思想在立體幾何中的應用.

二、教學目標

1.理解線面垂直的定義，總結線面垂直的判定方法和性質，形成系統的知識結構.能熟練運用數學定理解決問題，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，證明一些有關垂直關系的簡單命題.

2.在應用定理解決實際問題的過程中，進一步體會轉化的思想方法和“降維”思想，體會數學定理作為一種基本模型的應用價值，提高邏輯推理素養和直觀想象素養.

3.了解《九章算術》中的重要立體幾何模型，體會數學文化對當今數學發展的意義和價值.

三、重點、難點

1.教學重點：(1)理解線面垂直的定義，總結線面垂直的判定方法和性質，形成系統的知識結構.(2)能熟練運用數學定理解決問題，能從實際問題情境中找到符合定理模型的基本元素，證明一些有關垂直關系的簡單命題.

2.教學難點：樹立模型意識，能從實際問題中發現模型，應用定理，熟練的解決問題.

四、教學過程

1.引入

引例如圖1，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點．(1)證明：DE⊥面PBC;(2)你還能發現哪些線面垂直關系?寫出并證明你的結論;(3)你還能發現哪些面面垂直關系?寫出并證明你的結論.

設計意圖:引例是學生非常熟悉的一個四棱錐，里面的線面垂直，面面垂直關系也非常好找.引例中的幾何體也是例1圖形的基礎，通過引例為下面變式中垂直關系的進一步研究作好鋪墊．通過簡單的題目讓學生回憶起線面垂直、面面垂直的判定及性質定理，并在課前通過自己復習回顧，查閱課本，構建知識網絡.

2.合作探究

例1如圖2，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，E是PC的中點，作EF⊥PB，垂足為F，聯結DE，DF，BD，BE．

(1)求證:PB⊥平面DEF;

(2)試判斷:四面體BDEF中有幾個面是直角三角形，并指出其中的直角;

設計意圖:例1的2個小題分別是對線面垂直、線線垂直的判斷或證明，讓學生進一步掌握線面垂直的判定和性質定理模型及其應用．而且，變式的第2問中的這個四面體也是我們熟悉的模型，四個面都是直角三角形.這是必修2教材中的一個探究問題.這個模型中蘊含著一些重要的線面垂直，線線垂直，面面垂直的關系.通過此題，讓學生回扣課本，進一步體會定理的內涵，和三者之間的相互轉化關系.同時引導學生體會線面垂直在線線垂直和面面垂直中起到重要的橋梁作用.

變式1如圖3，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，且PA=PD，Q是AD的中點.

求證：PB⊥AD

設計意圖:以例1的四棱錐為基礎,讓頂點P進行移動，移動到AD的正上方，底面ABCD拉成菱形，得到一個新的四棱錐，讓學生在這個幾何體中繼續探究垂直關系.通過對圖形的變式，讓學生繼續深化證明線線垂直，線面垂直的方法，挖掘題目中可以利用的條件.

變式2如圖4，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，側棱PA⊥底面ABCD，在PC上找一點M，思考：當點M滿足什么條件時，平面MBD⊥平面PCD.

設計意圖：變式2是在變式1的基礎上讓P點繼續移動，移動到使得PA垂直于面ABCD,通過變式讓學生進一步體會如何找尋面面垂直，線面垂直的判定條件，深化判定定理和性質定理.

求證:平面PAD⊥平面PBD．

設計意圖：變式3是在變式2的基礎上，把底面變成平行四邊形，又對條件進行了變換，是想讓學生體會在變換條件的過程中，如何轉化條件，得到自己所證明的結論，加強對數學中轉化思想的運用.

在例1中有兩個幾何體我國古代的數學家很早就有研究，而且它們還擁有自己的名字:一個是底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐，它的名字叫“陽馬”;另一個是四個面都為直角三角形的四面體叫“鱉臑”．關于“陽馬”和“鱉臑”，《九章算術·商功》里是這樣描述的:“斜解立方，得兩塹堵．斜解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑．陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也.”

設計意圖：通過“陽馬”“鱉臑”的引入，了解我國古代對立體圖形的研究方向和方法，體會古代數學家對人類的貢獻．同時，也讓學生體會到其實我們做的很多立體幾何的題目都來源于長方體中，以長方體為載體，通過切割，嵌入，翻折等變化，得到一些新的圖形，但是有時如果站在全局的角度看待這些問題，分析其結構特征還原成基本模型，問題也會迎刃而解.

3.總結感悟

學生自己總結解決空間垂直問題的基本方法，分享自己的感悟，體會這節課所運用到的數學思想方法.

設計意圖：一輪復習課本身就是幫助學生梳理知識脈絡，除了做題之外，學生自己的總結反思也十分重要.所以一堂課下來，應該把時間留給學生，讓學生自己整理這堂課的收獲.這樣也能培養學生自我梳理知識的習慣.