如何解無(wú)理方程

雷添淇

解無(wú)理方程（即根號(hào)中含有未知數(shù)的方程）是初中數(shù)學(xué)中一種較為常見(jiàn)的問(wèn)題，其解法多樣，基本解題思路是將方程“有理化”，轉(zhuǎn)化為有理方程來(lái)求解. 下面舉例介紹三種常用方法.

一、平方法

例1 關(guān)于[x]的方程[x2+1=ax]（a為常數(shù)）的解的情況可能是（ ）.

A.沒(méi)有實(shí)數(shù)解? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 有兩個(gè)實(shí)數(shù)解

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)解或有兩個(gè)實(shí)數(shù)解? ? ? ? ? D.無(wú)法確定

分析：隨著a的取值不同，方程解的情況會(huì)發(fā)生變化.

解：方程兩邊同時(shí)平方得[x2+1=a2x2]，

移項(xiàng)、整理得[（a2-1）x2=1]，

∵[x2] ≥ 0，∴當(dāng)[a2-1≤0]時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解;當(dāng)[a2-1>0]時(shí)，[x2=1a2-1]，解得[x1=1a2-1]，[x2=-1a2-1]. 即原方程可能沒(méi)有實(shí)數(shù)解或有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.故選C.

點(diǎn)評(píng)：含字母系數(shù)的方程，需要根據(jù)字母的取值情況進(jìn)行分類討論.

二、輔助方程法

例2 解方程：[3x-2+x+3=3].

分析：本題常規(guī)思路是將左邊一個(gè)根式移項(xiàng)到右邊，然后兩邊平方，將方程轉(zhuǎn)化為有理方程.但這種解法較為麻煩，創(chuàng)新一下思路：因無(wú)理式[3x-2+x+3]的有理化因式為[3x-2-x+3]，方程的兩邊同乘[3x-2-x+3]，即可得到關(guān)于[3x-2]和[x+3]的方程組，以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

解：方程兩端同時(shí)乘[3x-2-x+3]得[2x-5=3（3x-2-x+3）]，

與原方程聯(lián)立，得方程組[3x-2+x+3=3，3x-2-x+3=2x-53，]

兩方程相加，化簡(jiǎn)得[3x-2=x+23]，

兩邊同時(shí)平方，整理得[（x-1）（x-22）=0]，解得[x1=1]，[x2=22].

檢驗(yàn)：當(dāng)x = 22時(shí)，原方程不成立，∴原方程的解是[x=1].

點(diǎn)評(píng)：此法也稱“輔助方程法”，是求解無(wú)理方程的典型方法之一，當(dāng)無(wú)理式較為復(fù)雜時(shí)，這種方法可簡(jiǎn)化運(yùn)算.

三、換元法

例3 解方程[2x2-4x+3x2-2x+6=15].

分析：通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)“[x2-2x]”在方程中重復(fù)出現(xiàn)，“[x2-2x+6]”又是題中相對(duì)復(fù)雜的部分，因此可用換元法進(jìn)行化簡(jiǎn).

解：設(shè)[x2-2x+6=y]（[y≥0]），則[x2-2x=y2-6]，

所以原方程可換元變形為[2（y2-6）+3y=15]，

化簡(jiǎn)整理得[2y2+3y-27=0]，

解得[y1=3]，[y2=-92]（舍）.

所以[x2-2x+6=9]，解得[x1=3]，[x2=-1].

經(jīng)檢驗(yàn)，[x1=3]和[x2=-1]是原方程的解.

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于重復(fù)出現(xiàn)或復(fù)雜的部分，可以采用“換元法”. 換元時(shí)需要注意所換變量的取值范圍（根式非負(fù)這一性質(zhì)）.

例4 解方程：[5x2+x-x5x2-1-2=0].

分析：通過(guò)觀察，發(fā)現(xiàn)“[5x2-1]”是題中相對(duì)復(fù)雜的部分，在將方程變形為[5x2-1+x-] x[5x2-1] - 1 = 0后可發(fā)現(xiàn)“[5x2-1]”重復(fù)出現(xiàn)，因此可用換元法進(jìn)行化簡(jiǎn).

解：令[5x2-1=y]，則原方程化為[y2-xy+x-1=0]，

解關(guān)于[y]的方程（先將[x]看成常數(shù)），因式分解得[（y-1）（y-x+1）=0]，

所以[y1=1]，[y2=x-1].

由[y1=1]得[5x2-1=1]，解得[x1=105]，[x2=-105]，

由[y2=x-1]得[5x2-1=x-1]，解得[x3=12]，[x4=-1]，

檢驗(yàn)：當(dāng)x3 = [12]時(shí)，y=x-1=-[ 12] <0，不符合題意;當(dāng)x4=-1時(shí)，y=x-1=-2<0，不符合題意.

所以原方程的解為[x1=105]，[x2=-105].

點(diǎn)評(píng)：解決問(wèn)題時(shí)，應(yīng)先抓住主要矛盾，忽略次要矛盾. 本題便是運(yùn)用這一思路，同時(shí)從消元的反面入手，把一元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元問(wèn)題，然后求解.