結構化砂輪拓撲磨削魚鱗表面原理及仿真分析*

許劉宛，呂玉山，李興山，衣軍任，齊永超

(沈陽理工大學機械工程學院，沈陽 110159)

0 引言

近年來，針對仿生結構化減阻表面的研究成為國內外學者以及工程人員研究的熱點，其中魚鱗表面的研究是人們研究的重點，包括鯊魚盾鱗結構與宏觀魚鱗表面[1-2]。研究結果表明，仿鯊魚盾鱗溝槽表面以及宏觀魚鱗表面都具有減小流體阻力的效果，減阻效果最高達到了24.6%[3-8]。由于魚鱗表面具有減阻的功能，如何在工程實際應用中制造出魚鱗表面也成了一個人們關注的熱點問題。目前，鯊魚盾鱗結構和其他魚鱗表面的制造方法有微熱壓印法[6]、微塑鑄法[7]、軟刻技術[8]、超聲震動輔助銑削[9]、激光雕刻技術[10]等方法。但是，當零件材料為金屬以及難加工材料時，以上方法在大批量制備魚鱗表面時都有各自的局限性。因此如何在金屬及難加工材料零件表面大批量制備出魚鱗表面成為了一個值得研究的問題。

本文依據魚鱗表面的結構特征，設計出一種用于磨削魚鱗表面的結構化拓撲砂輪，并通過MATLAB進行砂輪磨削運動學仿真，驗證了方案的可行性，并得出了磨削參數對魚鱗表面磨削的影響規律。

1 魚鱗表面的特征分析及模型的建立

1.1 魚鱗表面的特征分析

通過對自然界中魚類表面的研究發現，魚鱗表面存在著不同形態、大小的溝槽、凹坑和凸包微結構[11]。但是從宏觀上分析，不管是鯊魚表面還是其他魚鱗表面形貌都具有相似的特性：鱗片相互堆疊形成由幾段弧線構成的魚鱗單元，魚鱗單元之間呈錯位排布。

如圖1所示，圖1a是鯊魚魚鱗表面與鯊魚盾鱗結構，鯊魚表面魚鱗單元尺寸范圍為100～150 μm。圖1b是普通魚鱗表面跟魚鱗鱗片圖片，普通魚鱗尺寸在2～5 mm范圍內。鱗片的厚度如圖1c所示，尺寸范圍為10～50 μm，由于魚鱗排布在魚皮表面是錯位堆疊，所以形成的魚鱗單元可以看作窄口深，寬口淺的凹坑單元。本文主要研究魚鱗表面宏觀結構的磨削加工方法，所以在分析魚鱗表面時只分析魚鱗單元宏觀輪廓以及單元的排布。

(a) 鯊魚魚鱗表面 (b) 普通魚鱗表面

(c) 普通魚鱗厚度 圖1 魚鱗表面及鱗片結構

1.2 魚鱗表面模型的建立

通過對魚鱗表面的分析，選擇最常見的魚鱗表面建立數學模型，魚鱗輪廓如圖2所示。

圖2 魚鱗表面單元輪廓示意圖

魚鱗單元是一個三維凹坑單元，圖2a所示為魚鱗表面單元輪廓示意圖，圖中L1、L2、L3、L4為魚鱗單元的輪廓曲線，輪廓內部為魚鱗表面H。圖2b所示為魚鱗單元水流方向截面圖,圖2c為魚鱗單元寬度截面圖。魚鱗單元沿水流方向呈線性變化關系，其中，A∈(L2,L3,L4)、B∈L1，D點為水流方向最低點。魚鱗單元每一個水流方向截面的最低點可由式(1)求出：

zd=ay2-b

(1)

根據對魚鱗單元的輪廓以及對截面的分析，可以建立魚鱗單元的數學模型：

zn=fw(xn,yn) (xn,yn)∈H

(2)

根據以上建立的模型，結合三維曲面重構理論，可以在魚鱗單元模型里取n個隨機點，并且可以確定任意一點的坐標Cn:(xn,yn,zn)。根據點的坐標值，可以建立這個點在單元坐標系中的位置向量Twn：

Twn=[xn,yn,zn]T

(3)

所以這n個點的位置向量可以構成一個3×n的點位置矩陣Tw。

Tw=[Tw1,Tw2……Twn]

(4)

由于建立魚鱗單元模型時選取了中心參考點Ow，所以在建立魚鱗單元排布模型時，只需要研究中心參考點Ow的排布。因為魚鱗表面上魚鱗單元是錯位排布的，所以如圖3魚鱗表面單元排布示意圖所示，Owij也是錯位排布的，其中i表示第i行，j表示每一行的第j列，所以中心參考點Owij的坐標為：

(5)

圖3 魚鱗表面單元排布示意圖

式中,Tx表示Xm方向相鄰魚鱗單元中心點差值,Ty表示Ym方向相鄰魚鱗單元中心點差值,δ錯位魚鱗單元在Xm方向上差值。

由式(5)可知，魚鱗表面單元的排布與變量Tx、Ty、δ有關，所以在研究魚鱗表面排布時，可以建立表達魚鱗排布的排布向量Tpw：

Tpw=[Tx,Ty,δ]T

(6)

2 魚鱗結構化砂輪設計

通過對魚鱗表面的特征分析以及建立的魚鱗表面數學模型，結合磨削運動以及單顆磨粒運動相關原理，從點集拓撲學的角度建立魚鱗結構化砂輪模型[12-14]。

2.1 魚鱗結構化砂輪設計理論分析

當砂輪磨削平面工件表面時，磨粒做外擺線運動。如圖4所示即為單個磨粒在平面磨削過程中磨粒的運動軌跡示意圖。磨粒的運動軌跡為：

(7)

其中，“+”用于逆磨，“-”用于順磨；rs為磨粒頂點回轉半徑；vw為砂輪進給速度；θ和φ分級為磨粒初始角度以及磨粒運動角度。

如圖4所示，當砂輪運動到O2時，磨粒運動到最低點，假設魚鱗表面單元內取的n個點都是磨粒簇單元內磨粒平面運動的最低點，且魚鱗表面單元內的點構成集合P，對應的磨粒簇單元內的點構成集合Q，則可以將集合P、Q看作兩個拓撲空間，則存在f:p→Q是一個映射關系。

圖4 單顆磨粒平面運動示意圖

2.2 魚鱗結構化砂輪設計

從魚鱗結構化砂輪理論依據出發，結合建立的魚鱗表面模型，對砂輪表面磨粒簇單元及排布進行拓樸設計。

在建立單元模型時，建立了點位置矩陣Tw來表示魚鱗單元內的n個點。在磨粒簇單元設計時，考慮砂輪線速度vs跟砂輪進給速度vw的影響，在磨削工件過程中，假設工件不動，砂輪做單方向進給，結合圓與橢圓的關系，將砂輪磨粒簇單元輪廓設計成如圖5所示的橢圓弧。由圖分析可知，在拓撲映射關系中Y方向不變，X方向發生改變。由于魚鱗單元是一個凹坑，則砂輪磨粒簇單元是凸出來的，則在這個映射關系中Z方向取負值，則可以建立從魚鱗單元到砂輪磨粒簇拓撲映射矩陣Csw：

(8)

則磨粒簇單元上磨粒頂點在展開平面的坐標為：

Ts=CswTw

(9)

圖5 磨粒簇輪廓展開圖

由于砂輪在磨削過程中做回轉運動，所以砂輪在磨削魚鱗表面時具有周期性。在魚鱗表面每行選取N個相鄰的魚鱗單元，映射到砂輪周向磨粒簇單元個數為N，魚鱗表面模型Ym方向上魚鱗單元的行數即為砂輪軸向磨粒簇單元排布的行數。依據魚鱗表面單元排布模型，可以建立如圖6所示的砂輪表面磨粒簇單元展開示意圖。

圖6 砂輪表面磨粒簇單元展開示意圖

在圖6中，a、b表示磨粒簇單元第一行第一列的初始位置。由圖分析可知，磨粒簇中心點在砂輪表面排布與特征參數Tps有關，通過磨削參數可以與魚鱗表面單元排布特征參數Tpw相對應。

Tps=[Txs,Tys,δs]T

(10)

Tps=CspTpw

(11)

磨粒簇單元中心點在砂輪表面展開平面內的坐標方程為：

(12)

在確定了磨粒簇單元中心點在砂輪表面展開平面上的坐標以后，結合磨粒簇單元內磨粒頂點坐標，則可以確定磨粒中心在砂輪上的三維坐標：

(13)

其中，rm為磨粒半徑。

2.3 魚鱗結構化砂輪磨削邊界條件

在設計砂輪時，考慮砂輪制造工藝，將砂輪設計成獨立的磨粒簇單元，則需要考慮在磨削過程中使磨粒簇單元磨出的魚鱗單元相互搭接所需滿足的磨削參數。圖7所示是砂輪平面磨削截面示意圖,由于磨粒在磨削時做外擺線運動，所以為了使磨粒簇切入點與上一個磨粒簇切出點相搭接，需要在砂輪圓周上空出相應的角度α，由圖7分析可知：

(14)

圖7 平面磨削截面示意圖

為了能磨削出魚鱗表面，在砂輪設計時，應考慮磨削參數對于磨削魚鱗表現的影響，所以砂輪設計以及磨削參數需滿足以下條件：

(15)

(16)

式中,L為截面內魚鱗單元凹坑的長度。

根據式(13)磨粒的坐標以及式(15)、式(16)邊界條件的討論，選擇砂輪基體直徑d為35 mm，砂輪周向磨粒簇單元個數N為2，軸向排布5行。磨粒簇單元寬度為4 mm，磨粒簇單元高度差最大值為20 μm，單元輪廓設計為圖5所示的橢圓弧，橢圓長軸為24 mm，選用140/170的CBN磨粒設計出了圖8所示的魚鱗結構化砂輪。

圖8 魚鱗結構化砂輪結構示意圖

3 仿真結果分析

為了驗證設計的魚鱗結構化砂輪能磨削出魚鱗表面，并且探討磨削運動參數對磨削結果的影響，通過MATLAB軟件進行磨削仿真。仿真使用圖8所示的魚鱗結構化砂輪，砂輪轉速為2500 r/min，改變磨削深度和砂輪進給速度，研究魚鱗表面的變化規律。仿真結果如圖9、圖10所示。

(a) ap=25 μm,vw=18 m/min

(b) ap=25 μm,vw=10 m/min

(c) ap=25 μm,vw=6 m/min圖9 不同砂輪進給速度磨削工件表面仿真形貌

圖9所示為只改變砂輪進給速度磨削出的魚鱗表面的不同的形貌，磨削深度ap為25 μm。圖9a為砂輪進給速度18 m/min，磨削出的魚鱗單元深度25 μm，寬度4 mm，長度為6.1 mm，單元之間處于相離狀態。圖9b砂輪進給速度10 m/min，磨削出的魚鱗單元深度25 μm，寬度4 mm，長度為3.9 mm，單元之間相互搭接。圖9c砂輪進給速度6 m/min，磨削出的魚鱗單元深度20 μm，寬度4 mm，長度為2 mm，單元之間處相互干涉，屬于相交。

圖10為保持砂輪轉速與進給速度不變，改變磨削深度，仿真磨削出魚鱗表面的不同形貌。圖10a為磨削深度20 μm時磨削出的魚鱗表面，魚鱗單元深度20 μm，寬度4 mm，長度為2.8 mm，單元之間相互獨立，屬于相離。圖10a與圖9b相同，單元深度25 μm，寬度4 mm，長度為3.9 mm，單元之間相互搭接。圖10c為磨削深度30 μm時磨削出的魚鱗表面，魚鱗單元深度25 μm，寬度4 mm，長度為3.9 mm，工件原始表面完全去除，磨粒簇單元之間運動有交集，屬于相交。

(a) ap=20 μm,vw=10 m/min

(b) ap=25 μm,vw=10 m/min

(c) ap=30 μm,vw=10 m/min圖10 不同磨削深度砂輪磨削工件表面形貌

綜合對圖9和圖10的分析可知，在不同的進給速度以及磨削深度條件下，砂輪都可以在工件表面磨削出魚鱗表面。當砂輪進給速度大，或砂輪磨削深度小時，工件原始表面大量殘留，魚鱗單元呈相離狀態。當砂輪進給小，或者磨削深度大時，工件原始表面完全去除，魚鱗單元呈相交狀態。

4 結論

通過分析魚鱗表面宏觀特征，依據磨削運動原理和點集拓撲學原理，設計出了魚鱗結構化砂輪，并通過MATLAB進行運動學仿真，最終得到結論如下：

(1)從拓撲學的角度分析魚鱗表面，并通過建立拓撲映射關系設計砂輪，仿真驗證了使用設計的砂輪可以磨削出魚鱗表面。

(2)在磨削過程中，當進給運動只有砂輪相對工件沿著徑向進給時，磨粒簇單元的輪廓形狀與磨削出的魚鱗表面單元在單方向變化。

(3)同一砂輪在轉速不變即砂輪線速度不變的情況下，單一改變砂輪進給速度或者磨削深度，則會形成相離、相接、相交三種形態的魚鱗表面，所以在進行砂輪設計時需要考慮磨削參數的影響。

本文從運動學仿真的角度研究了魚鱗表面磨削的相關問題，在后續工作中將進一步開展實驗調查研究。