具有未建模動態的互聯大系統事件觸發自適應模糊控制

趙光同 曹 亮 周 琪 李鴻一

非線性互聯大系統具有結構復雜、控制分散、子系統關聯性強、模型維數高等特點,廣泛應用于機器人、化工過程、智能電網和航空航天等領域.因此,針對此類系統的控制問題,吸引眾多學者的關注.由于神經網絡/模糊邏輯系統能夠擬合非線性系統中復雜未知的連續函數,為解決非線性互聯大系統的控制問題起到巨大作用.文獻[1-4]針對非線性互聯大系統,基于反步法技術,利用神經網絡/模糊邏輯系統逼近復雜系統中的非線性項,使設計的自適應控制器達到良好的控制效果.然而,上述成果僅考慮了系統狀態可測的情況.在實際工程中,系統狀態往往不可測量或測量成本過高,導致已有的大部分成果將失效.因此,學者們在文獻[5-9]中通過構造觀測器來估計系統中的未知狀態,提出了有效的輸出反饋控制方案.針對互聯大系統,文獻[8-9]設計了模糊觀測器準確觀測系統未知狀態,并構造自適應容錯控制器補償執行器故障帶來的影響.盡管互聯大系統的研究成果已較為豐富,但仍存在一些問題尚待解決,如系統存在未建模動態或執行器故障時,如何設計有效的控制器等問題.

在實際工程應用中,為了保證控制性能和安全等指標,往往需要系統輸出受限于一定范圍.對此,文獻[10-12]基于障礙李雅普諾夫函數來設計控制器,保證了系統輸出和跟蹤誤差受限.但是以上設計方法只能處理靜態受限的情況,難以實現快速的收斂.此外,由于實際非線性系統存在復雜性、不確定性和時變性等特點,難以獲得準確數學模型,不可避免地存在未建模動態問題[13].對此,文獻[14-18]給出相應的解決方法,其中文獻[14-15]基于小增益定理證明控制方案對未建模動態處理的有效性.文獻[16-17]通過構建輔助信號模型,抵消了未建模動態的影響.但目前針對非線性互聯大系統的未建模動態研究尚處于起步階段,需要進一步探討.

受復雜工作環境的影響,實際系統中普遍存在執行器故障問題.執行器故障不但會影響控制器的性能,甚至會導致系統完全失控,造成安全隱患[19-21].因此,如何設計分散自適應容錯控制器,保證系統在發生故障情況下能正常運行,引起許多學者的關注.為了補償故障對系統的影響,文獻[8-9,21]提出了有效的容錯控制方案.隨著網絡化控制的普及,如何減少控制器與執行器之間的通信帶寬,節約通信資源,變得尤其重要.而基于事件觸發機制設計的控制器,不但能實現此要求,而且可以保證控制效果不會降低,所以得到了廣泛研究[21-24].因此,文獻[21]設計了一種基于事件觸發機制的分散自適應容錯控制器,補償了執行器故障對互聯大系統的影響,并保證了系統持續工作的穩定性.雖然已有成果分別研究了非線性互聯大系統的未建模動態,執行器故障和輸出受限問題.但當它們共存于非線性互聯大系統時,如何處理耦合項、未建模動態和輸出受限,并補償執行器故障的影響,是一項具有挑戰性的工作.

因此,針對一類具有未建模動態及執行器故障的非嚴格反饋非線性互聯大系統,如何基于事件觸發機制,設計有效的分散自適應輸出反饋容錯控制方案是一個值得深入研究的問題.對此本文主要完成以下工作:1)構建模糊觀測器,估計系統不可測的狀態.通過引入一類李雅普諾夫函數,約束系統未建模動態,從而保證控制器的設計不受未建模動態的影響.2)基于事件觸發機制設計分散自適應容錯控制器,在減少通信帶寬的同時,補償執行器故障對系統的影響.3)基于一類時變新型的障礙李雅普諾夫函數,使得系統跟蹤誤差能快速收斂至原點附近較小區域內,從而滿足性能要求,保證系統輸出受限的約束.

本文的組織結構如下:第1 節介紹互聯大系統的模型和相關的假設及定理;第2 節提出觀測器和控制器的設計方案,并進行穩定性分析;第3 節通過數值仿真驗證該方法的有效性;第4 節對全文的工作進行總結.

1 問題描述及相關介紹

1.1 問題描述

本文考慮的非線性互聯大系統模型由N個子系統所構成,其中,第i個子系統的模型為:

其中,i=1,···,N.j=1,···,n－1.XXXi=[xi,1,···,xi,n]T∈Rn為子系統狀態,zi∈Rm為未建模動態.fi,j(Xi),qi(zi,yi) 是未知的光滑函數,Δi,j(yi,zzzi)代表未知的動態.y=[y1,···,yN]T∈RN為各個子系統的輸出,Hi,j(y) 是子系統的互聯項,是未知的光滑函數.bi,q是已知的控制增益.ui,q為第q個執行器的輸出,即執行器對系統的控制輸入.本文假設僅系統的輸出yi是可測的.基于文獻[21],執行器故障模型可表示為

1.2 指數相關的障礙李雅普諾夫函數

為了更好地保證系統跟蹤誤差受限,一種指數相關的障礙李雅普諾夫函數被提出[27],形式如下:

其中,k(t)=kae-rt+kb是時變函數,ka ＞kb＞0,r ＞0.與文獻[10-12]中設計的障礙李雅普諾夫函數不同,本文選取的障礙李雅普諾夫函數結合了指數型性能函數,該性能函數可以保證變量的收斂速度,進一步可以提高系統的暫態性能.

引理2[27].對于任意的k(t),當且僅當|s|＜k(t),以下不等式成立:

引理3[28].對于任何定義在緊集U上的連續函數f(x),存在模糊邏輯系統θTφ(x) 及任意大于0 的常數?,使得下列不等式成立:

其中,φ(x)=[φ1(x),···,φL(x)]T為模糊基函數,θ∈RL是理想權重向量.φi(x) 可以選取高斯函數:

其中,δi,?i分別代表高斯函數的中心和寬度.

2 觀測器及控制器的設計

2.1 模糊觀測器的設計

采用模糊邏輯系統來逼近未知非線性函數:

為了估計系統中不可測的狀態,設計如下的模糊觀測器:

2.2 自適應事件觸發控制器設計及穩定性證明

接下來,根據反步法原理,構建如下誤差變換:

其中,zi,j(i=1,···,N,j=2,···,n) 為誤差變量,νi,j-1為濾波器的輸出.

注2.在反步法設計中,對虛擬控制的求導容易出現 “計算爆炸” 問題,為降低計算量,利用濾波器估計虛擬控制器導數的思想被相應提出[29-32].

本文采用如下的二階濾波器:

其中,pi,j和ωi,j∈(0,1] 為需要設計的正數,且νi,j(0)=αi,j(0),=0,虛擬控制器αi,j為濾波器輸入.

由于濾波過程容易產生誤差,影響控制效果[33].對此引入補償信號qi,j進行處理,定義如下新的誤差變換:

基于反步遞推控制方法,對每一個子系統設計的虛擬控制器、補償信號導數及參數自適應律如下:

根據上述設計方案與分析,得到以下定理.

定理1.對于含有未建模動態,狀態不可測,執行器故障的非嚴格反饋非線性互聯大系統 (1),在滿足假設1～7 的情況下,通過設計觀測器 (11),濾波器 (22) 及補償信號 (25),(27),(29),(31),虛擬控制器 (24),(26),(28),事件觸發容錯控制器 (51)～(52),以及參數自適應律 (32)～(34),可以保證閉環系統的所有信號是半全局一致最終有界的,且避免了Zeno行為.

注 6.根據事件觸發條件可以看出,控制器觸發的時間間隔由控制器vi,q大小決定.這種觸發機制的優勢在于:當vi,q很大時,能增大控制器觸發的時間間隔;若vi,q很小時,觸發的時間間隔就很小,這就保證控制器輸出精準的控制量,保證系統精準的控制和性能;同時,參數τi,q能避免Zeno 現象出現.

3 仿真及結果

本文考慮有兩個子系統組成的非線性互聯系統,系統模型如下 (i=1,2) :

由圖1 可得,設計的觀測器能準確對系統狀態進行估計,提出的控制方案可以保證系統跟蹤誤差能夠收斂于原點較小的領域內,同時保證系統輸出受限滿足:yi,d－ki(t)≤yi≤ki(t)+yi,d.從圖2 可以看出,未建模動態是穩定有界的,軌跡曲線與輸出相似.從圖3 可以看出,虛擬控制器含有非常高頻率的分量,曲線劇烈抖動,顯然它的導數是非常復雜的.而濾波器能消除高頻分量,且有效地估計虛擬控制器.圖4 表明事件觸發機制能避免執行器持續更新,減少了通信的次數,且由圖可以看出,執行器發生故障對執行器總輸出不會有太大影響,說明設計的容錯控制器能有效補償故障影響.仿真結果表明了該控制方案的有效性.

圖1 子系統的輸出 y1,y2 和觀測狀態的響應曲線Fig.1 Trajectories of output y1,y2 and observer

圖2 子系統未建模動態 z1,z2 響應曲線Fig.2 Trajectories of unmodeled dynamics z1,z2

圖3 濾波器輸入及輸出的響應曲線Fig.3 Trajectories of filter＇s input and output

圖4 子系統第一個執行器輸出的響應曲線Fig.4 Trajectories of the first actuator＇s output

4 結論

本文主要解決了存在未建模動態和狀態不可測情況下,非嚴格反饋非線性互聯大系統的輸出受限和執行器故障等問題.通過設計狀態觀測器對系統狀態進行估計,引入李雅普諾夫函數來約束未建模動態.基于事件觸發機制和時變障礙李雅普諾夫函數設計自適應容錯控制器,不僅保證了系統在發生執行器故障時,系統輸出受限,還避免了Zeno 行為,并且閉環系統所有信號是半全局一致最終有界的.最后,通過仿真驗證了所提出控制策略的有效性.在未來工作中,研究如何將事件觸發機制應用于無人機系統的協同編隊問題.