二自由度無(wú)人直升機(jī)的非線性自抗擾姿態(tài)控制

王怡怡 趙志良 ,2

由于無(wú)人機(jī)飛行器靈活性強(qiáng)、機(jī)動(dòng)速度快、地形適應(yīng)能力強(qiáng)等特點(diǎn),它在國(guó)防、城市管理、農(nóng)業(yè)、地質(zhì)、氣象、電力、搶險(xiǎn)救災(zāi)、視頻拍攝等行業(yè)顯現(xiàn)出越來(lái)越重要的作用.近年來(lái)隨著動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)合材料、傳感器等技術(shù)的進(jìn)步,無(wú)人機(jī)也得到了迅速的發(fā)展,針對(duì)無(wú)人機(jī)的控制技術(shù)也被廣泛深入研究[1-10].本文研究的是二自由度無(wú)人直升機(jī)的姿態(tài)控制問(wèn)題,即通過(guò)控制俯仰和偏航兩個(gè)方向角來(lái)控制無(wú)人機(jī)的飛行姿態(tài).二自由度無(wú)人直升機(jī)的姿態(tài)控制引起了學(xué)者與工程師的廣泛關(guān)注,產(chǎn)出了一批優(yōu)秀成果,例如二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的自適應(yīng)動(dòng)態(tài)規(guī)劃控制方法[1],反饋線性化控制[11],神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[12],滑模控制方法[13-14]等.在實(shí)際飛行控制中,無(wú)人機(jī)系統(tǒng)存在著大量的不確定性因素,已有不少文獻(xiàn)針對(duì)無(wú)人機(jī)控制中的不確定性因素展開(kāi)研究.例如針對(duì)參數(shù)不確定性和外擾,文獻(xiàn)[4]引入了自適應(yīng)反步技術(shù).文獻(xiàn)[5]將反步算法與慣性延遲控制器相結(jié)合來(lái)處理時(shí)變不確定和外擾.文獻(xiàn)[6]則利用超扭曲算法估計(jì)和補(bǔ)償外部干擾,相關(guān)的研究還可見(jiàn)文獻(xiàn)[7-8]等.

上述控制方法在不同方面體現(xiàn)出了各自的優(yōu)點(diǎn)和特點(diǎn),但大部分方法或者處理復(fù)雜不確定性因素的能力有限,或者設(shè)計(jì)復(fù)雜實(shí)現(xiàn)難度高,或者控制器的設(shè)計(jì)需要利用系統(tǒng)的精確模型.為進(jìn)一步提升二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的性能品質(zhì),本文發(fā)展了一個(gè)易于物理實(shí)現(xiàn)的高性能控制方法 — 基于非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的非線性自抗擾控制方法.

自抗擾控制(Active disturbance rejection control,ADRC)是80 年代末90 年代初韓京清研究員提出的新型控制技術(shù)[15].自抗擾控制的主要思想是利用擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(Extended state observer,ESO)在線觀測(cè)并補(bǔ)償不確定性因素.近年來(lái)自抗擾控制技術(shù)被廣泛應(yīng)用,如陀螺儀控制[16],流化床燃燒控制[17],引擎控制[18],航空航天[19-22]等.自抗擾控制理論方面也有豐富的研究成果.線性自抗擾控制的理論研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[23-29]等.非線性自抗擾控制的理論研究在專著[30]有較為詳細(xì)的論述.對(duì)于系統(tǒng)中不確定性因素估計(jì)并補(bǔ)償?shù)难芯窟€可參見(jiàn)文獻(xiàn)[31-36]以及專著[37]等.關(guān)于更一般的隨機(jī)干擾系統(tǒng)的自抗擾控制研究可參見(jiàn)文獻(xiàn)[38-39].

一般來(lái)說(shuō)ESO 的增益參數(shù)需根據(jù)控制精度的需求和 “總擾動(dòng)” 的變化快慢進(jìn)行調(diào)整.當(dāng) “總擾動(dòng)”變化較快時(shí)為精確估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài)和 “總擾動(dòng)”,需要使用較大的增益,而傳統(tǒng)的單參數(shù)調(diào)整線性ESO 當(dāng)增益較大時(shí)具有較大的超調(diào)且對(duì)系統(tǒng)輸出的量測(cè)噪音比較敏感.研究表明,基于非光滑fal 函數(shù)構(gòu)造的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(fal-ESO)在保證觀測(cè)精度的同時(shí)具有較小的超調(diào),同時(shí)在系統(tǒng)量測(cè)輸出被隨機(jī)噪音干擾時(shí)表現(xiàn)更好[15,40].本文針對(duì)模型建立不準(zhǔn)確且受到外部干擾的二自由度無(wú)人直升機(jī)高性能姿態(tài)控制難題,提出了基于fal-ESO 的非線性自抗擾控制設(shè)計(jì)方法.首先利用非光滑fal 函數(shù)構(gòu)造非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,用于在線觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài),同時(shí)估計(jì)由系統(tǒng)內(nèi)外不確定性因素構(gòu)成的“總擾動(dòng)”,然后設(shè)計(jì)基于ESO 的非線性輸出反饋控制器,利用 “總擾動(dòng)” 的觀測(cè)值對(duì)其進(jìn)行補(bǔ)償.本文的主要?jiǎng)?chuàng)新之處在于同時(shí)在ESO 和反饋控制設(shè)計(jì)中采用非線性的設(shè)計(jì)方法,并嚴(yán)格證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性.仿真結(jié)果顯示本文提出的非線性自抗擾控制具有更好的抗擾性能.

本文剩余內(nèi)容安排如下:第1 節(jié)是二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的問(wèn)題描述.第2 節(jié)給出二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的非線性自抗擾控制設(shè)計(jì),包括非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的非線性不確定性因素補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì),同時(shí)給出本文的主要理論結(jié)果.第3 節(jié)是主要結(jié)果的理論證明.數(shù)值仿真在第4 節(jié)給出.最后是全文總結(jié)和展望.

1 問(wèn)題描述

本文的研究對(duì)象是二自由度無(wú)人直升機(jī),其簡(jiǎn)化模型可由圖1 來(lái)表示.無(wú)人直升機(jī)的作用原理是通過(guò)俯仰電機(jī)帶動(dòng)俯仰螺旋槳旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生推力,從而控制無(wú)人直升機(jī)繞俯仰軸旋轉(zhuǎn),同時(shí)通過(guò)偏航電機(jī)驅(qū)動(dòng)偏航螺旋槳旋轉(zhuǎn)來(lái)驅(qū)使無(wú)人直升機(jī)繞偏航軸旋轉(zhuǎn).

圖1 二自由度無(wú)人直升機(jī)簡(jiǎn)化圖Fig.1 Simplified diagram of two degree of freedom unmanned helicopteropter

利用牛頓動(dòng)力學(xué)定律和歐拉 — 拉格朗日方程,二自由度無(wú)人直升機(jī)控制系統(tǒng)可用如下數(shù)學(xué)模型描述[1,14]:

這里θ(t),φ(t) 分別是t時(shí)刻的俯仰角和偏航角,是系統(tǒng)的量測(cè)輸出.Fp(t) 和Fy(t) 分別是俯仰電機(jī)/螺旋槳和偏航電機(jī)/螺旋槳產(chǎn)生的推力,是系統(tǒng)的控制輸入.ωθ(t) 和ωφ(t) 分別是俯仰和偏航角速度,參數(shù)Ip和Iy分別為俯仰和偏航慣性系數(shù).Dp和Dy分別為俯仰和偏航阻尼摩擦系數(shù),τpp表示俯仰螺旋槳作用在俯仰軸上的力矩常數(shù),τyy表示偏航螺旋槳作用在偏航軸上的力矩常數(shù),τpy表示偏航螺旋槳作用在俯仰軸上的力矩常數(shù),τyp表示俯仰螺旋槳作用在偏航軸上的力矩常數(shù),mh為直升機(jī)的總質(zhì)量,lcm為軸心點(diǎn)和質(zhì)心點(diǎn)之間的距離,g表示重力加速度.d1(t) 和d2(t) 分別是俯仰和偏航方向受到的隨時(shí)間變化的外部干擾,q1(·) 和q2(·) 是俯仰和偏航方向由系統(tǒng)未建模動(dòng)態(tài)和外部干擾構(gòu)成的不確定性因素.本文控制目的是設(shè)計(jì)非線性自抗擾控制Fp和Fy使得系統(tǒng)的輸出θ,φ跟蹤到設(shè)定值θ*,φ*.由于系統(tǒng)(1)中的參數(shù)通常不易精確獲取且存在非線性未建模動(dòng)態(tài)和時(shí)變未知外部干擾的影響,基于模型的控制方法不易物理實(shí)現(xiàn).為提升二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的性能品質(zhì),本文發(fā)展了易于物理實(shí)現(xiàn)的高性能非線性自抗擾控制方法.

其中f1(·) 和f2(·) 分別是俯仰和偏航方向除控制力之外所受到的作用力,即由系統(tǒng)內(nèi)外不確定性因素構(gòu)成的總擾動(dòng):

本文控制器的設(shè)計(jì)不需要系統(tǒng)的模型信息,只需假定系統(tǒng)函數(shù)滿足如下非常弱的一個(gè)先驗(yàn)條件:

假設(shè)1.函數(shù)f1,f2∈C([0,∞),R) 連續(xù)可微,同時(shí)外部擾動(dòng)di(t)∈C([0,∞),R) 及其導(dǎo)數(shù)有界,即存在N＞0 使得

2 控制器設(shè)計(jì)與主要結(jié)果

這一部分主要給出二自由度無(wú)人直升機(jī)姿態(tài)控制的非線性自抗擾控制設(shè)計(jì)和主要理論結(jié)果.本節(jié)包括兩個(gè)小節(jié),第2.1 節(jié)給出非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)和基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的非線性不確定性因素補(bǔ)償控制設(shè)計(jì).第2.2 節(jié)給出本文的主要理論結(jié)果.

2.1 控制器設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)如下非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器通過(guò)系統(tǒng)的輸出誤差在線估計(jì)系統(tǒng)的總擾動(dòng):

容易驗(yàn)證矩陣K是Hurwitz 的充要條件是ki＞0,i=1,2,3,且k1k2－k3＞0.

分段光滑的fal 函數(shù)(7)是最初用于構(gòu)造擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的非線性函數(shù)[15].最近文獻(xiàn)[40]研究了這類非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的參數(shù)整定和收斂性問(wèn)題.擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(6)是一個(gè)切換的擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,即當(dāng)≤δ時(shí),該擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器是線性的,當(dāng)時(shí),該擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器則為非線性的.

本文基于對(duì) “總擾動(dòng)” 的觀測(cè)和補(bǔ)償?shù)姆蔷€性輸出反饋控制 ——自抗擾控制構(gòu)造如下:

其中μ1=2μ－1,μ2=(2μ－1)/μ,是如下定義的飽和函數(shù)

Mi是依賴于初始狀態(tài)上界的飽和參數(shù),i=1,2,其選取方式由式(17)給出.由前述變量代換可得系統(tǒng)控制輸入

其中P是Lyapunov 方程ATP+PA=－I的對(duì)稱正定矩陣解.因?yàn)锳是Hurwitz 矩陣,所以該Lyapunov方程存在唯一對(duì)稱正定矩陣解.令Vμ:R2→R 為

其中γ＞1 是常數(shù),α∈C(R,R) 是如下定義的分段函數(shù)

容易驗(yàn)證α(·) 是連續(xù)可微函數(shù),且在 (－∞,1] 上恒等于0,在 [3,∞) 中恒等于1,同時(shí)其導(dǎo)數(shù)α′(·) 在(1,3)中大于0.

我們需要使用系統(tǒng)的初始狀態(tài)的上界來(lái)選取飽和參數(shù)Mi.令βi為系統(tǒng)初始值的一個(gè)上界,即

這里xi0=xi(0) 為系統(tǒng)的初始狀態(tài).

令

選取飽和參數(shù)Mi,i=1,2,使得

可以證明(13)中定義的Lyapunov 函數(shù)是徑向無(wú)界的正定函數(shù),因此上述定義的集合A為R4中的有界閉集(緊集).

2.2 主要結(jié)果

基于第2.1 節(jié)中給出的非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器,系統(tǒng)(2)在非線性反饋控制器(9)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)為:

對(duì)于上述控制閉環(huán)系統(tǒng),我們有如下主要結(jié)果:

定理 1.假設(shè)式(8)中的矩陣K是Hurwitz 的,外部干擾d1(t),d2(t) 和非線性函數(shù)f1(·),f2(·) 滿足假設(shè) 1,則存在μ*∈(,1) 以及r*＞0,對(duì)任意的μ∈(μ*,1),r＞r*,以及任意給定的初始狀態(tài),當(dāng)飽和參數(shù)的選取滿足式(17)時(shí),反饋控制閉環(huán)系統(tǒng)(18)的解滿足

注 1.增益參數(shù)r與容許/期望的誤差范圍,設(shè)計(jì)參數(shù)以及不確定性因素變化率的上界有關(guān).假設(shè)輸出與目標(biāo)值之間的允許誤差不超過(guò)σ,由

可得增益參數(shù)r應(yīng)滿足

注 2.定理 1 中的正數(shù) Γi主要依賴于系統(tǒng)總擾動(dòng)的變化快慢,總擾動(dòng)變得越快,Γi越大,反之Γi越小(具體表達(dá)式見(jiàn)式(49)).當(dāng)總擾動(dòng)在設(shè)定值處為常數(shù)時(shí)可實(shí)現(xiàn)誤差系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定.

還需說(shuō)明的是當(dāng)μ∈(,1) 時(shí)2μ－1＜μ＜1,1/(2μ－1)＞1 且μ/(2μ－1)＞1.因此當(dāng)r趨于無(wú)窮大時(shí) (1/r)1/(2μ-1),(1/r)μ/(2μ-1)收斂于0,且收斂速度快于 1/r收斂于0 的速度.這意味著在相同的增益參數(shù)下,本文提出的非線性自抗擾控制的精度高于線性自抗擾控制的精度.

3 主要結(jié)果的證明

為證明本文主要結(jié)果,需要定義如下向量場(chǎng)和系統(tǒng)

可以證明向量場(chǎng)Fμ(·) 是μ－1 度加權(quán)齊次的.關(guān)于加權(quán)齊次函數(shù)向量場(chǎng)的定義和基本性質(zhì)參見(jiàn)文獻(xiàn)[41].

關(guān)于式(13) 中定義的Lyapunov 函數(shù)和式(23)中定義的向量場(chǎng),我們有如下結(jié)論:

4 數(shù)值仿真

本節(jié)利用仿真來(lái)驗(yàn)證本文設(shè)計(jì)方法的有效性和優(yōu)越性.在仿真中我們將本文提出的設(shè)計(jì)方法和滑模控制[9]以及已有自抗擾控制進(jìn)行對(duì)比.自抗擾控制方法的改進(jìn)有很多,擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器也有很多新的設(shè)計(jì)方法,如文獻(xiàn)[26,43-44]等,其中[43]中有關(guān)于時(shí)變?cè)鲆娴臄U(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì),即擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器中增益參是隨時(shí)間變化的函數(shù).我們將對(duì)線性自抗擾控制,具有時(shí)變參數(shù)的自抗擾控制和本文提出的非線性自抗擾控制三種自抗擾控制方法和滑模控制進(jìn)行仿真對(duì)比.

在仿真中,俯仰角和偏航角目標(biāo)值均設(shè)置為分段函數(shù)

選取函數(shù)q1(·),q2(·) 為:

根據(jù)文獻(xiàn)[9],非奇異終端超扭滑模控制(Nonsingular terminal super twisted sliding mode control,NSTST-SMC)控制器設(shè)計(jì)為

這里?=(?1,?3)T,?i(t)=xi(t)－xid(t),i=1,3.在仿真中,NSTST-SMC 控制器中的參數(shù)也按照文獻(xiàn)中的設(shè)定值,具體數(shù)值選取為:α1=3,α2=4.5,β1=0.25,β2=0.5,λ=0.35,α=0.5.

所謂線性自抗擾控制是指在擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器(6) 中將非線性函數(shù)gi(τ) 用恒等函數(shù)hi(τ)=τ來(lái)替換,同時(shí)采用如下的線性不確定性因素補(bǔ)償控制:

具有時(shí)變參數(shù)的自抗擾控制即將線性自抗擾控制中擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器的增益參數(shù)替換為時(shí)變函數(shù),這里取該時(shí)變函數(shù)為 e0.6t.在線性與非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器中選取相同的增益參數(shù)r=60 以及相同的設(shè)計(jì)參數(shù)k1=k2=3,k3=1.在線性與非線性自抗擾控制中的飽和參數(shù)均為M1=M2=10.非線性擴(kuò)張狀態(tài)觀測(cè)器中函數(shù)gi(·) 中參數(shù)ηi分別選取為η1=0.7,η2=0.4,η3=0.1.

對(duì)于上述不同的控制方法,采用Euler 折線法,選取積分步長(zhǎng)h為0.001,系統(tǒng)初值為(1,1),分別選取三組系統(tǒng)參數(shù)如表1 所示進(jìn)行仿真.

表1 三組系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Three sets of system parameters

圖2 是第I 組參數(shù)輸出不受量測(cè)噪聲污染時(shí)四種控制方法的仿真結(jié)果.圖2 (a)中的曲線分別表示期望值(Reference),NSTST-SMC 控制驅(qū)動(dòng)下的俯仰角輸出,線性自抗擾控制(Linear active disturbance rejection control,linear ADRC)驅(qū)動(dòng)下的俯仰角輸出(Linear-ADRC),具有時(shí)變?cè)鲆娴淖钥箶_控制(Time-varying-gain active disturbance rejection control,TVG ADRC) 驅(qū)動(dòng)下的俯仰角輸出,以及非線性自抗擾控制(Nonlinear active disturbance rejection control,nonlinear ADRC)驅(qū)動(dòng)下的俯仰角輸出.圖2 (b)中的曲線分別表示期望值(Reference),NSTST-SMC 控制器驅(qū)動(dòng)下的偏航角輸出,線性自抗擾控制器驅(qū)動(dòng)下的偏航角輸出,具有時(shí)變?cè)鲆娴淖钥箶_控制器驅(qū)動(dòng)下的偏航角輸出,以及非線性自抗擾控制器驅(qū)動(dòng)下的偏航角輸出.

從圖2 (a)可看出在第I 組參數(shù)無(wú)噪聲污染情況下四種方法均能驅(qū)使系統(tǒng)輸出跟蹤到目標(biāo)值.對(duì)比發(fā)現(xiàn)非奇異終端超扭滑模控制(NSTST-SMC)方法較之于三類自抗擾控制在每個(gè)階段跟蹤目標(biāo)值的響應(yīng)時(shí)間要長(zhǎng).線性自抗擾控制和具有時(shí)變?cè)鲆娴淖钥箶_控制驅(qū)動(dòng)的俯仰角輸出有一些超調(diào),而非線性自抗擾控制驅(qū)動(dòng)下幾乎沒(méi)有超調(diào).圖2 (b)所示偏航角的跟蹤仿真結(jié)果類似于俯仰角的跟蹤.

圖2 第I 組參數(shù)下不受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.2 Numerical results without noise pollution under parameters group I

圖3 是對(duì)系統(tǒng)輸出遭受量測(cè)噪聲污染時(shí)的仿真結(jié)果,我們加入了0.0001 倍的高斯噪聲,高斯噪聲由MATLAB 命令 “randn” 生成.由圖3 可看出,較小的噪聲對(duì)四種不同控制方法幾乎沒(méi)有影響.

圖3 第I 組參數(shù)下受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.3 Numerical results with noise pollution under parameters group I

圖4 和圖5 分別是在第II 組參數(shù)下當(dāng)系統(tǒng)輸出不受量測(cè)噪聲污染和輸出受同等強(qiáng)度(0.1 倍的高斯噪聲)的量測(cè)噪聲污染時(shí)四種方法的仿真結(jié)果,圖6 和圖7 分別是第III 組參數(shù)在輸出不受量測(cè)噪聲污染和輸出受同等強(qiáng)度(0.1 倍的高斯噪聲)的量測(cè)噪聲污染下四種方法的仿真結(jié)果.由圖4-7 可見(jiàn),當(dāng)噪音加強(qiáng)時(shí)線性自抗擾控制、具有時(shí)變?cè)鲆娴淖钥箶_控制與非奇異終端超扭滑模控制發(fā)散或者出現(xiàn)較大波動(dòng),而本文提出的非線性自抗擾控制仍然有較好的控制效果.

圖4 第II 組參數(shù)下不受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.4 Numerical results without noise pollution under parameters group II

圖5 第II 組參數(shù)下受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.5 Numerical results with noise pollution under parameters group II

圖6 第III 組參數(shù)下不受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.6 Numerical results without noise pollution under parameters group III

圖7 第III 組參數(shù)下受噪聲污染時(shí)的數(shù)值結(jié)果Fig.7 Numerical results with noise pollution under parameters group III

5 結(jié)論

本文研究了二自由度無(wú)人直升機(jī)受內(nèi)外不確定性因素作用下的高性能飛行姿態(tài)控制問(wèn)題.為提高控制系統(tǒng)的抗干擾能力,提出了非線性自抗擾姿態(tài)控制設(shè)計(jì)方法,并證明了閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性,從理論上保證了該控制方法的有效性.仿真結(jié)果顯示本文提出的非線性自抗擾控制具有更好的性能品質(zhì).在今后的研究中我們將本文的方法拓展到多旋翼無(wú)人機(jī)以及無(wú)人機(jī)編隊(duì)等更復(fù)雜對(duì)象的高性能控制,同時(shí)將自抗擾控制方法與其他優(yōu)化控制方法相結(jié)合,發(fā)展復(fù)雜受控對(duì)象的新型高性能控制方法.