基于改進粒子群算法的斜拉橋索力優化方法

李曉林， 鄧潔

(長沙理工大公路工程試驗檢測中心， 湖南 長沙 410076)

現代斜拉橋常為密索體系，在給定結構體系布置與恒載分布的條件下，通過人為調整斜拉索張力以實現主梁線形、主梁應力、索塔偏位、索塔應力等結構參數指標。如何通過索力優化實現合理成橋狀態與計算施工索力是斜拉橋設計與施工監控中的重要問題。在給定解空間內，斜拉索索力存在多組可行解，為求得較優索力組合，學者們進行了大量理論研究與試驗分析。顏東煌等根據活載作用、預應力作用下主梁截面應力控制條件，采用應力平衡法確定了主梁恒載彎矩可行域，為斜拉橋合理成橋狀態提供了確定依據；謝劍等以某獨塔混合梁轉體斜拉橋為例，綜合利用零位移法、內力平衡法等對索力進行了優化；張峻峰等采用影響矩陣法，結合ANSYS優化模塊計算了某獨塔斜拉橋成橋索力；朱敏等提出一種基于多種群遺傳算法的大跨度斜拉橋索力優化方法，并以南京長江三橋為例對該算法進行了驗證；陳志軍等基于粒子群優化算法，聯合ANSYS進行獨塔斜拉橋成橋索力優化，優化后主梁線形更平順、受力更均勻。

常規索力優化方法存在費時費力、對約束條件敏感、部分結構如主梁存在彎矩不合理等問題，在某些非對稱異形斜拉橋中難以滿足設計要求。粒子群算法(PSO)由于其高效的尋優能力與清晰簡明的算法結構，近年來在目標優化領域得到廣泛應用，但其仍存在早熟收斂、搜索精度低、后期迭代效率不高及全局搜索能力與局部搜索能力不平衡等缺點。鑒于此，該文在普通粒子群算法的基礎上引入自適應變異算子與非線性自適應慣性權重，提出一種基于改進粒子群算法的斜拉橋索力優化方法。

1 PSO算法

1.1 標準PSO算法

標準PSO算法是一種群體化智能算法，該算法受鳥群行為特征啟發，在搜索空間Ω中搜尋D維目標，將每個個體表征為種群粒子，第i個粒子位置x={x1,x2,x3，…，xn}和速度v={v1,v2,v3，…，vn}兩個特征向量，位置x表示問題的一個可能解，速度v表示粒子更新位置的基本速度，粒子在迭代中根據其所處不同位置x代入目標函數中分別計算對應的適應度值fn，以個體極值Pb表示個體最優適應度值對應的最優位置，以群體極值Gb表示群體最優適應度值對應的最優位置，經PSO算法參數初始化后，按式(1)、式(2)進行迭代，粒子通過Pb與Gb更新自身速度和位置。

(1)

(2)

圖1 標準PSO算法流程

1.2 PSO算法改進

由于斜拉橋索力往往存在多組可行解，在標準PSO算法中易陷入局部搜索陷阱，使計算不收斂或收斂速度過慢，降低索力優化效率；斜拉橋索力優化可視為多峰搜索問題，標準PSO算法在該問題上存在早熟收斂問題。而改善方法主要是增加粒子群規模，由于PSO算法計算量隨粒子群規模呈指數增長，將增加硬件資源的消耗，降低索力優化效率。同時，考慮到采用PSO算法進行索力優化時進行有限元計算本身需耗費大量時間，引入自適應變異算子與非線性自適應慣性權重，在保證計算時間的前提下增加全局搜索能力，提高索力優化成功率。

1.2.1 自適應變異算子

設粒子群規模為n，fi為第i個粒子的適應度值，通過計算粒子群平均適應度值fm，可按式(3)計算粒子群適應度方差σ2。根據文獻[9]，粒子群適應度方差可體現所有粒子的收斂程度，其值越小則粒子群越趨于收斂，反之則表明粒子群尚處于隨機搜索階段。

(3)

式中：f為標準化因子，用以限制粒子群適應度方差的大小。

文獻[10]提出平均聚集距離Dm與最大聚集距離Dmax，其定義分別見式(4)、式(5)。當適應度方差σ2趨近于零而平均聚集距離小于最大聚集距離時，粒子陷入局部收斂，此時需對粒子群中部分粒子進行變異，以免陷入局部搜索陷阱。

(4)

(5)

在標準PSO算法基礎上引入簡單變異算子，在粒子每次更新后以一定概率重新初始化粒子，增加判定條件，當隨機數r1、r2大于指定閾值時對當前粒子重新隨機賦值，即：

(6)

式中：k為指定閾值；rand(xi)表示對粒子xi位置重新隨機賦值。

1.2.2 非線性自適應慣性權重

對于標準PSO算法，其慣性權重因子ω為常數，為平衡算法的全局搜索能力與局部搜索能力，需使慣性權重因子根據算法迭代過程進行自適應調整。文獻[11]提出線性遞減權重因子，在迭代過程中線性減小權重因子的值，可在一定程度上增強算法的搜索能力與計算效率。然而線性遞減權重因子仍存在早熟收斂與求解精度不理想等缺陷，故采用非線性自適應慣性權重因子，其按下式計算：

(7)

式中：ωs為初始慣性權重；ωe為最大迭代次數時的慣性權重；t為當前迭代次數；tmax為最大迭代次數。

非線性自適應慣性權重因子在算法迭代早期可加速權重值的遞減速度，提高全局搜索效率，在后期隨著權重因子的遞減可提高求解精度。

2 基于改進PSO算法的斜拉橋索力優化

采用改進PSO算法和Python編制程序，結合有限元分析軟件ABAQUS進行斜拉橋索力優化，流程如下：

(1) 建立斜拉橋有限元模型，設定材料本構參數與邊界約束條件進行有限元分析，按恒載平衡法初步計算索力，導出索力優化控制指標(根據實際需求可選擇索塔偏位、塔底應力、控制截面應力、主梁彎矩、主梁線形等)。

(2) 構建改進PSO算法模型，對粒子初始位置與速度進行隨機初始化，定義位置與速度的閾值，設定粒子群規模、最大迭代次數、加速因子。

(3) 將索力優化控制指標帶入目標函數計算粒子適應度值，計算個體極值Pb與群體極值Gb。由于索力優化控制指標往往由多個量組成，可分別計算各指標的均方誤差，再以各指標加權平均值作為適應度函數值，各指標權重可相等亦可根據實際需求分別指定。

(4) 按式(1)、式(2)更新粒子速度與位置，將更新后的粒子位置(即索力)帶入有限元模型重新求解，導出索力優化控制指標。

(5) 重復步驟3～4，直至滿足要求。

3 算例分析

3.1 工程背景

某獨塔雙索面組合梁斜拉橋，采用塔-梁-墩固結體系，索塔包括塔頂、鋼塔、鋼-混結合塔、砼塔，橋面以上索塔凈高107 m，塔頂7 m為裝飾鋼塔，橋面以下至承臺26.065 m為砼塔；輔跨45 m+40 m，為預應力砼結構；主跨158 m，為鋼箱梁，設計中心線處梁高3 m；采用扇形雙索面平行鋼絲冷鑄錨式索，每側索面12對斜拉索，全橋共48根斜拉索，順橋向間距為10 m(鋼梁側)和5 m(砼梁側)，其中主跨側斜拉索從近塔端至遠塔端依次編號為m1～m12，輔跨側斜拉索從近塔端至遠塔端依次編號為b1～b12。全橋總體布置見圖2。

圖2 斜拉橋總體布置(單位：m)

3.2 索力優化分析

3.2.1 有限元分析與改進PSO算法參數設定

采用ABAQUS建立該橋三維有限元模型，單元類型與邊界約束參考文獻[12]的相關設置，其中砼采用引入減縮積分的20節點二次六面體單元(C3D20R)模擬，鋼梁與鋼塔采用引入減縮積分的四節點曲面殼單元(S8R)模擬，斜拉索采用多個兩節點三維線性桁架單元(T3D2)模擬以體現斜拉索垂度效應，預應力束采用兩節點三維線性桁架單元(T3D2)模擬，通過降溫法施加索力與預應力。忽略樁基礎，對墩臺底部施加邊界約束，斜拉索與主梁、索塔以MPC約束的方式連接，不同材料的索塔和主梁采用TIE連接。通過MODEL CHANGE實現構件的施工階段逐步激活，在分析步初始激活重力加速度以實現隨施工階段構件逐步激活的恒載自動計算。有限元模型見圖3。

圖3 斜拉橋有限元模型

考慮到該橋為非對稱結構，兩側拉索索力不等，將24對索作為設計變量，即x=[x1,x2,…,x24]。改進PSO算法中主要參數見表1，其中粒子速度v和位置x的閾值、種群規模n及最大迭代次數G可根據實際硬件條件進行調整。

表1 改進PSO算法主要參數取值

綜合考慮優化目標與相應約束，定義適應度函數為：

(8)

式中：ω1、ω2、ω3、ω4分別為位移權重因子、索力權重因子、主梁彎矩權重因子、塔偏權重因子，分別取0.66、0.005 1、0.29、0.16；δi為主梁節點i處的位移；xmax、xmin分別為索力最大、最小值；γi為主梁節點i處的彎矩；μ為塔頂偏位。

適應度函數值越小，說明當前粒子位置(索力)越合理。

3.2.2 優化結果

采用Python編制程序，結合ABAQUS實現基于改進PSO算法的斜拉索索力自動優化。為對比分析，采用標準PSO算法結合ABAQUS進行索力優化。二者適應度函數值隨迭代次數的變化見圖4。由圖4可知：在算法迭代前期，標準PSO與改進PSO算法的適應度函數值相差不大，但迭代次數超過100次后二者出現差異，標準PSO算法的適應度函數值基本不再下降，而改進PSO算法由于引入變異算子及非線性自適應權重因子，跳出了局部搜索陷阱，從而獲得了較優結果。

圖4 改進PSO算法與標準PSO算法適應度函數值對比

優化前后斜拉索索力見圖5。由圖5可知：優化前最大、最小索力差值為2 210 kN，優化后為2 207 kN，二者相差甚微。優化后主跨側m11索的索力變化最大，為4.55%；輔跨側b9索的索力變化最大，為2.25%。優化后主跨索力除m1索外其余均略微增加，而輔跨索力均略微增加。

圖5 斜拉索索力優化前后對比

優化前后斜拉橋主梁線形見圖6。由圖6可知：優化后主跨整體向上偏移而輔跨向下偏移，其中主跨撓度最值由-34 mm減小至-19 mm，輔跨撓度最值由-5 mm增加至-8 mm。優化后主跨豎向位移明顯減小，但輔跨位移增加，總體而言，相較于優化前位移更趨近于零，且主跨與輔跨位移更趨于接近，符合斜拉橋成橋狀態對主梁平順的要求。

圖6 索力優化前后主梁線形對比

優化前后斜拉橋主梁彎矩見圖7。由圖7可知：索力優化后輔跨主梁彎矩變化較小，這主要是由于輔跨為砼梁，其預應力作用占比較大，索力變化產生的彎矩差異占比較小；主跨主梁彎矩相較于優化前更均勻，正彎矩峰值減小，負彎矩峰值增加，彎矩最大值從29 134 kN·m減小至23 890 kN·m，同時在靠近索塔處(x趨近于零的位置)負彎矩減小，相對而言彎矩圖更平順，結構受力更優越。

圖7 索力優化前后主梁彎矩對比

優化前后斜拉橋索塔偏位見圖8。由圖8可知：索力優化前索塔偏位呈上大下小的趨勢，索力優化后該趨勢得到一定改善，塔頂偏位從58 mm減小至23 mm，更符合斜拉橋成橋狀態對索塔豎直的要求，索塔偏位減小也有益于降低索塔應力，使結構在運營狀態中更安全可靠。

圖8 索力優化前后索塔偏位對比

4 結語

在標準PSO算法上引入自適應變異算子與非線性自適應慣性權重進行改進，提出基于改進PSO算法的斜拉橋索力優化方法，并以某獨塔非對稱鋼-混組合斜拉橋為例進行驗證，得到如下結論：

(1) 自適應變異算子與非線性自適應慣性權重能有效避免標準PSO算法早熟收斂與局部搜索陷阱的問題，同時在不大幅增加計算時間的前提下提高搜索精度，粒子位置對應的適應度函數值更優，具有良好的性能。

(2) 考慮主梁線形、索力極差、主梁彎矩及塔偏的適應度函數可有效反映粒子位置優劣，基于文中適應度函數可正確對索力目標進行優化。

(3) 索力優化后其值小幅增加，主梁線形、主梁彎矩、索塔偏位相較于優化前在峰值上均有不同程度減小，且分布更均勻合理，優化方法可行。該方法也適用于雙塔斜拉橋、多塔斜拉橋等的索力優化。