旋轉變換助你解題

雷添淇

旋轉是數學中一類常見的圖形變換，解題中如能巧妙利用旋轉，轉換線段、角等的位置，往往可以迅速發現已知與未知之間的聯系，快速解題，下面舉例介紹.

一、旋轉—腰

例1 如圖1，在△ABC中，AB = AC，點P為三角形內一點，且[∠APB<∠APC]，求證：[PB> PC].

分析：待證結論[PB>PC]與已知條件[∠APB<∠APC]中四個元素是分散的，不在同一個三角形或四邊形中，故考慮通過變換將這四個元素集中.考慮到點[A]為不動點，可作為旋轉中心，又因為[AB=AC]，可將點[C]作為旋轉后點[B]的對應點.

證明：如圖2，將△ABP繞點A旋轉到△ACP′位置，

則有[AP=AP']，[BP=CP']，[∠APB=∠AP'C].

連接[PP']，

∵[AP=AP']，

∴[∠APP'=∠AP'P].

∵[∠AP'C=∠APB<∠APC]，

∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P，

即[∠CPP'>∠CP'P]，

∴[CP'>CP]，

∴[BP>CP].

點評：若已知條件中出現共頂點的相等線段，則可考慮構造旋轉變換，將分散的條件進行集中.

二、旋轉60°

例2 如圖3，已知正方形ABCD內一點E到A，B，C三點距離之和的最小值為[6+2]，求正方形邊長.

分析：雖然已知EA，EB，EC和的最小值，但這三條線段交于一點，需要通過圖形變換將這三條線段連接起來，并使之共線.

解：如圖3，將△BEA繞點B逆時針旋轉60°，得到△BE′A'，

則有BE = BE′，∠EBE′ = 60°，EA = E′A′，

連接EE′，A'C.

∵BE = BE′，∠EBE′ = 60°，

∴△BEE′為等邊三角形，∴EE′ = BE.

又∵E′A' = EA，∴EA + EB + EC = A′E′ + E′E + EC.

∵點C，A′均為定點，

∴當E，E′都在線段CA′上時，EA + EB + EC取最小值[6+2].

過點A′作A′F⊥CB，交CB，延長線于點F，則∠A′FB = 90°，

由旋轉變換可知∠ABA′ = 60°，BA′ = BA，

又∵∠ABF = 90°，∴∠A′BF = 30°.

設正方形邊長為a（a > 0），則有FA′ = [12a]，FB = [32a]，

在Rt△A′FC中有A′F2 + FC2 = A′C2，

∵FA′ = [12a]，[FC=] [32a] + [a]，[A'C=6+2]，

∴[12a2+32a+a2=6+22] ，得a = 2.

即正方形邊長為2.

點評：通過旋轉變換，將三條線段轉移到同一條直線上是解題關鍵.

三、旋轉90°

例3 如圖4，已知正方形ABCD 內一點 E 到 A，B，C 的距離分別為[2]，1，2，求正方形的邊長.

分析：由上面例題受到啟發，可知應通過旋轉變換將EA，EB，EC進行集中.

解：如圖4，將△ABE繞點B順時針旋轉90°得到△BE'C，連接EE′.

則有CE′ =? AE = [2]，BE′ = BE = 1，∠EBE′ = 90°，

∵BE = BE′ = 1，∴EE′ = [2]，∠BEE′ = ∠BE′E = 45°.

∵E′C = EA = [2]，EC = 2，∴E′C2 + E′E2 = EC2，

∴△EE′C為等腰直角三角形，點E′為直角頂點，

∴∠E′EC = 45°，∴∠BEC = 90°，

∴BC = [BE2+EC2=5]，

即正方形邊長為[5].

點評：對于正方形或等腰直角三角形，常以其頂點為旋轉中心，作90°旋轉變換，使其一邊旋轉后與另一邊重合，這樣往往可以構造出等腰直角三角形.