一類非線性廣義馬爾可夫跳變系統的耗散控制

楊冬梅 李達

摘 要：將耗散理論的二次型供給率中的矩陣Q推廣到正定的情況。進而研究了在狀態轉移概率未知的情況下一類連續時間非線性廣義馬爾可夫跳變系統的嚴格耗散控制問題。在應用范圍更廣的Willems耗散性定義的基礎上，首先基于一類Lyapunov函數，給出了相應的隨機容許的條件，然后設計導數比例反饋控制器，通過一系列的矩陣構造和合同變換，將雙線性矩陣不等式（BMI）轉化為可用LMI工具箱解決的線性矩陣不等式（LMI）。最后通過數值算例并結合Matlab給出實例，證明其可行性。

關鍵詞：非線性廣義馬爾可夫跳變系統;轉移概率部分未知;耗散控制;P-D反饋

Abstract：The matrix Q in the quadratic supply rate of dissipative theory is extended to the case of positive definite. Furthermore， the strictly dissipative control problem for a class of continuous time nonlinear singular Markov jump systems with unknown state transition rates is studied. Based on the more widely used definition of Willems dissipativity， firstly， based on a class of Lyapunov functions， the stochastically admissible conditions are given， and then the proportional derivative feedback controller is designed. Through a series of matrix construction and contract transformation， bilinear matrix inequality （BMI） is transformed into linear matrix inequality （LMI） which can be solved by LMI toolbox. Finally， a numerical example is given to prove its feasibility.

Key words：nonlinear singular Markov jump systems; partly unknown transition rates; strict dissipativity; P-D state feedback

近年來，馬爾可夫系統由于可以更好的描述復雜系統而受到廣泛關注[1]。耗散系統理論在廣義系統中也有諸多的應用[2]，由于耗散性存在的一般性引起學者關注。一些學者考慮了廣義馬爾可夫系統具有耗散性質的穩定性問題[3-5]，文獻[6][7]基于Q <0得到一些線性矩陣不等式（LMI）解決了廣義馬爾可夫的輸出耗散反饋控制相關問題。文獻[8][9]討論在狀態轉移概率未知時，考慮了近似求解雙線性不等式（BMI）的方法和量化輸入輸出反饋的相關問題。文獻[10]將耗散控制理論應用在一類非線性隨機系統上，得到相關結果。但是，在非線性廣義馬爾可夫跳變系統耗散性的研究方面比較少，特別是當二次型供給率中的矩陣Q>0的情況，是有待進一步研究的。

研究了在狀態轉移概率未知下一類非線性廣義馬爾可夫跳變系統的嚴格耗散問題。基于廣義馬爾可夫系統隨機容許的充分條件，并針對耗散系統二次型供給率中的矩陣Q>0的情形，給出了將不能用Schur補引理和線性矩陣不等式方法的雙線性矩陣不等式轉化為可用LMI工具箱的思路。最后通過數值算例，證明結論有效。

1 問題描述與準備知識

考慮下面連續時間廣義馬爾可夫跳變系統：

5 結 論

研究了非線性廣義馬爾可夫跳變系統的耗散控制問題。通過構造一系列的矩陣，然后進行合同變換，得到了使系統能夠漸近穩定且嚴格耗散的充分條件，并可用LMI工具箱求解。也給出了控制器設計方法。最后通過數值算例證明其有效性。

參考文獻

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