二階時變時滯多智能體系統(tǒng)快速一致性算法

張婷婷，張 偉

(上海理工大學 光電信息與計算機工程學院，上海200093)

0 引 言

近年來，隨著人工智能和分布式協(xié)調(diào)控制理論的發(fā)展，多智能體系統(tǒng)的協(xié)調(diào)控制也吸引了大批研究者的關(guān)注和研究。多智能體系統(tǒng)應(yīng)用于多領(lǐng)域，如分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)［1］、編隊控制［2-4］、群集［5］、協(xié)同控制［6］和分布事件觸發(fā)［7-8］等。實現(xiàn)多智能體網(wǎng)絡(luò)協(xié)調(diào)控制，需要各個智能體狀態(tài)達到一致。因此，一致性問題是研究多智能體系統(tǒng)的基礎(chǔ)和核心。在保證多智能體系統(tǒng)的穩(wěn)定性前提下，提高系統(tǒng)的動態(tài)性能也具有一定的研究意義。

多智能體系統(tǒng)的動態(tài)性能，即多智能體的一致性收斂速度。提高收斂一致性，無疑能夠提高系統(tǒng)的通訊能力及性能。文獻［9］中，Olfati提出了一種超高速信息網(wǎng)絡(luò)的算法，該算法可以在小網(wǎng)絡(luò)上以驚人的速度達到多智能體一致性，并且驗證了收斂速度由通信的代數(shù)連通性決定，為研究快速一致性提供了有力的理論基礎(chǔ)。基于此理論，She［10］等人提出基于局部信息的多智能體系統(tǒng)，引入PI控制器設(shè)計快速一致性算法，給出智能體快速收斂的充分條件。文獻［11］針對分布式控制與大系統(tǒng)的快速一致性，基于雙跳網(wǎng)絡(luò)提出快速一致性算法，使得多智能體系統(tǒng)的收斂速度更快。文獻［12-15］研究了二階以及高階系統(tǒng)的多智能體快速收斂一致性算法。由于通訊約束，智能體之間交互信息時產(chǎn)生時滯，研究者從網(wǎng)絡(luò)通訊拓撲圖著手，引入多跳網(wǎng)絡(luò)設(shè)計一致性算法，且利用頻域法分析系統(tǒng)收斂條［16-19］。文獻［20］分析了帶有時變時滯的多智能體一致性，引入小增益理論，基于頻域的角度分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。受文獻［13，20］的啟發(fā)，本文從頻域的角度分析帶有時滯的快速一致性。雖然隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展，傳輸速度越來越快，但是智能體傳輸?shù)倪^程中，依舊會存在時滯，并且實際過程中的時滯可能是時變的，所以對研究時變時滯多智能體系統(tǒng)具有實際意義。

本文將時變時滯的二階多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)作為研究對象，基于頻域的角度分析二階時變時滯多智能體系統(tǒng)，且時滯是具有上界的，任意變換的。本文研究結(jié)果為:通過一致性協(xié)議改進算法，基于頻域理論，小增益理論，矩陣論和圖論等，推導(dǎo)得到了使系統(tǒng)快速收斂一致性的充分條件；相較于已有的控制協(xié)議，本文改進的算法能夠使系統(tǒng)快速漸近收斂一致。

1 預(yù)備知識

1.1 圖論

本文基于無向網(wǎng)絡(luò)拓撲圖，研究多智能體一致性問題。研究此類問題需要利用如下的圖論知識和一致性問題的描述。

假設(shè)，用圖G＝（V，ε，A）來表示所描述的多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)（Multi-Agent Systems，MAS）的無向拓撲圖。其中是節(jié)點集的N索引值，ε∈V×V為圖G的邊集。A＝［aij］RN×N（R表示實數(shù)集）為圖G的鄰接矩陣，并且為非負元素。其中i，j∈V（i，j分別表示智能體i和智能體j）。當aij＞0時，代表智能體i和智能體j之間有信息傳遞；而aij＝0表示智能體i和智能體j之間沒有信息傳遞。考慮本文所研究的是無向圖，則鄰接矩陣A是對稱的。若在任意2個智能體i，j∈V之間存在一條 路 徑，則 稱 圖G為 連 通 圖。 令Ni＝，表示智能體i的鄰居集。degi＝表示智能體i的度，定義度矩陣D:＝那么圖G的拉普拉斯矩陣LG＝D-A。拉普拉斯矩陣描述節(jié)點與邊的關(guān)系，且LG＝[lij]∈RN×N，其中:

由于系統(tǒng)的拓撲圖為無向圖且連通，則拉普拉斯矩陣是對稱且為正半定矩陣。若λi∈的特征值，則根據(jù)拉普拉斯矩陣的性質(zhì)可得:

1.2 模型描述

假設(shè)有N個二階多智能體系統(tǒng)，每個智能體的動態(tài)方程為:

其中，γ1＞0；γ2＞0；τij為每個智能體輸入時變時滯；考慮到圖G為無向圖且連通，則τij＝τji，令若系統(tǒng)在一致性算法式（4）控制輸入下，使得智能體狀態(tài)達到一致性，則系統(tǒng)滿足如下條件:

2 主要結(jié)果

為了提高體統(tǒng)的收斂速度，本文引入PI控制器，基于式（4）的控制輸入提出如下快速一致性算法:

設(shè)系統(tǒng)初始值為0，對式（7）進行拉普拉斯變換可得:

因此，系統(tǒng)的特征方程為:

為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性和連通性，需使用如下引理。

引理1［21］當初始值為時，設(shè)則系統(tǒng)在一致性算法式（4）的控制輸入，使得智能體收斂一致滿足的條件為:

其中，τ*為時滯的上界。

引理2［22］記時滯算子υτk+?:＝ξ（t）-ξ（t-τk-?），υτk:＝ξ（t）-ξ（t-τk），υi:＝υτk+?+υτk。 定義 算 子Δf:＝（Δ（υ）-1）°（1／s），Δ（υ）＝是以τm*為上界的誘導(dǎo)增益，記誘導(dǎo)增益為‖Δf‖∞，‘°’為合成符號，則有

基于引理1與引理2，定理1給出了系統(tǒng)在一致性算法式（6）的控制輸入情況下，使智能體狀態(tài)達到一致的穩(wěn)定條件。

定理1若連通拓撲圖是無向連通的，具有時滯的二階系統(tǒng)在快速一致性算法式（6）的控制協(xié)議下，使得智能體狀態(tài)達到一致，則滿足如下條件:

其中，ι為虛數(shù)單位。

證明 二階系統(tǒng)可由線性時不變系統(tǒng)和時變時滯算子表示，其線性時不變系統(tǒng)與時變時滯算子連接如圖1所示。

圖1 線性時不變系統(tǒng)與時變時滯算子連接圖Fig.1 Connection graph of linear time invariant systems and time varying delay operators

圖1中，X（s）表示系統(tǒng)的時不變系統(tǒng)矩陣，Δ（υ）為系統(tǒng)的時滯算子。

根據(jù)引理2，式（7）的狀態(tài)空間表達式為:

由于LG為對稱矩陣，引入酉矩陣U，則根據(jù)Laplace矩陣特性可得:

將式（14）進行Laplace矩陣變換，可得到:

根據(jù)引理2，式（15）可得:

由式（16）可推出式（17）:

系統(tǒng)基于定理1的情況下，定理2為系統(tǒng)在一致性算法式（6）的控制輸入提供了快速收斂充分條件。

定理2 系統(tǒng)在一致性算法式（6）的控制協(xié)議下，使系統(tǒng)快速收斂一致的區(qū)間為?∈（0，δ），其中δ滿足:

證 明 由式（9）可得系統(tǒng)特征方程等價于下式:

根據(jù)拉普拉斯矩陣的性質(zhì)可知，LG的特征λ1＝0，且Re（λi）＞0，i＝2，…，N，則式（18）等價于:

將式（23）取極限可得:

其中，μ為實數(shù)部分微分的極限值。當?＞-τk時，ai＜0，則μ＜0。 由局部保號性定理知，存在去心領(lǐng)域內(nèi)當?＝0時當＜0，即單調(diào)遞減。若使系統(tǒng)達到快速一致性，則δ滿足ai｜?＝δ＝ρ并使其達到最小值。將系統(tǒng)的根代入式（21）得:

3 仿真分析

為了驗證定理1和定理2的有效性，本文以環(huán)形網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)為例進行驗證。通訊網(wǎng)絡(luò)拓撲圖G，共有8個智能體，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)網(wǎng)絡(luò)拓撲Fig.2 The system of network topology

由圖2的通訊網(wǎng)路拓撲圖可得系統(tǒng)的拉普拉斯矩陣為:

（1）時變時滯為τk＝0.3713*et／（1+et）。 由定理2可計算δ＝0.186，?∈（0，0.186）。 系統(tǒng)分別在控制算法式（4）和式（6）的控制輸入下進行仿真，其位移狀態(tài)變化量的仿真如圖3和圖4所示。

對仿真圖3和圖4分析得出，二階時變時滯多智能體系統(tǒng)在一致性算法式（4）和式（6）的控制輸入下，智能體的狀態(tài)可以達到一致。根據(jù)智能體達到一致性的最初時間τ0對比發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在一致性算法式（6）的控制輸入下，比系統(tǒng)在一致性算法式（4）控制輸入下收斂速度更快。

圖3 系統(tǒng)在一致性算法式(4)控制輸入下的仿真Fig.3 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

圖4 系統(tǒng)在一致性算法式(6)控制輸入下的仿真Fig.4 The simulation diagram of the system in control decision(6)is given

（2）時變時滯為τk＝0.3713*et／（1+et）。 若令δ＝0.3，?∈（0.18，0.3），系統(tǒng)在一致性算法式（6）控制輸入下，位移狀態(tài)變化量的仿真如圖5所示。τ0表示達到一致性的最初時間。當取δ＝0.3＞0.186時，系統(tǒng)在τ0＝57.27s時達到一致性；在τk不變的情況下，系統(tǒng)在δ＝0.3＞0.186時達到一致性，但達到一致性的速度小于δ＝0.186。 由此實例證實定理2的有效性。

圖5 系統(tǒng)在控制協(xié)議(4)的仿真Fig.5 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

（3）時變時滯為τk＝0.5*et／（1+et）＞τ*，取參數(shù)δ＝0.186、?∈（0，0.186），系統(tǒng)在一致性算法式（4）和式（6）的控制輸入下的仿真如圖6和圖7所示。從圖中發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)位移狀態(tài)變量是發(fā)散的，系統(tǒng)不能達到一致。而此時的τk的最小值大于τ*，導(dǎo)致系統(tǒng)的不穩(wěn)定。由此可說明，定理1是合理并且是有效的。

圖6 系統(tǒng)一致性算法式(4)控制輸入下的仿真Fig.6 The simulation diagram of the system in control decision(4)is given

圖7 一致性算法式(6)控制輸入下的仿真Fig.7 The simulation diagram of the system in control decision(6)is given

根據(jù)仿真實例，系統(tǒng)在一致性算法的控制下分析結(jié)果如下:

（1）二階時變時滯系統(tǒng)在時滯上界相同（其時滯上界為引理1計算所得），δ取值相同時，系統(tǒng)在改進后的一致性算法式（6）的控制輸入下，首次趨于一致性的時間比系統(tǒng)在已有的控制算法控制輸入下快，表明改進后的控制算法的有效性。

（2）二階時變時滯系統(tǒng)在時滯上界相同（其時滯上界為引理1計算所得），δ大于定理2所計算的值時，系統(tǒng)在改進后的一致性算法控制輸入情況下達到一致，但不是最快。

（3）二階時變時滯系統(tǒng)的時滯上界大于引理1計算出的時滯且δ取值相同時，系統(tǒng)在一致性算法式（4）和一致性算法式（6）控制輸入下都會發(fā)散。

綜上所述，證明了本文提出快速一致性算法的有效性。

4 結(jié)束語

本文基于傳統(tǒng)的一致性，提出快速一致性算法，結(jié)合圖論、控制理論和矩陣論，證明了改進后的控制協(xié)議的合理性和有效性。利用MATLAB驗證了時變時滯的二階多智能體的快速收斂一致性。本文的研究方向針對連續(xù)二階系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的復(fù)雜性，后續(xù)研究方向是將控制協(xié)議推廣到帶有時滯的離散系統(tǒng)和高階系統(tǒng)中。