巴特沃斯低通濾波器在圖像增強中的應用研究

肖錦龍

(東莞理工學校，廣東 東莞523460)

0 引 言

改善圖像質量是圖像處理最基本目的之一，而圖像增強是改善圖像質量的最常用技術，因此圖像增強在圖像處理過程中有著很重要的地位和作用［1］。圖像增強的目的就是為了使圖像更加清晰，視覺效果更好，便于后期的圖像分析和處理［2］。若按照圖像在不同作用域中進行圖像處理來分，可以分為空域內處理和頻域內處理［3］。空域處理也叫時域處理，是直接對圖像進行各種處理；而頻域內處理是通過變換函數把圖像轉換為某個變換頻域，再改變換頻域對圖像的變換系數進行運算處理，然后再通過變換函數的逆變換從而實現圖像增強效果［4］。

隨著圖像處理技術的不斷發展，不斷涌現出各種新方法，目前在圖像增強研究方面比較新的有模糊技術和小波變換等。圖像增強技術方法眾多，但每種方法都有各自的優缺點，因圖像增強涉及的面比較廣，因此沒有一種方法可以完全取代其它方法，不同的圖像對圖像增強的要求不同，所采用的算法也不同。本文介紹的巴特沃斯低通濾波器圖像增強屬于頻域濾波增強，其通過傅里葉變換把圖像轉換為頻域，再進行巴特沃斯低通濾波，然后用傅里葉逆變換轉換回空域，最終實現圖像增強效果。

1 圖像知識介紹

1.1 離散傅里葉變換

傅里葉變換被認為是描述圖像信息的第二種語言，廣泛應用于數字圖像處理的頻譜分析，是線性系統分析的一個非常有用的工具。傅里葉變換是數字圖像處理技術的基礎，其能在時空域和頻率域中來回切換圖像。普通的圖像計算和處理都是很復雜的，但通過傅里葉變換后，再對圖像信息特征進行提取和分析，計算工作量明顯降低。因此在數字圖像處理領域，起著非常重要的作用，常用于圖像分析、圖像增強和圖像壓縮等［5］。傅里葉變換包含連續傅里葉變換、離散傅里葉變換、快速傅里葉變換和短時傅里葉變換等，在數字圖像處理使用的是二維離散傅里葉變換。

顧名思義，離散傅里葉變換就是傅里葉變換在時間和頻率域上均以離散的形式存在。假設有離散序列f（x），其一維離散傅里葉變換定義為:

離散序列f（x）的長度為N，u＝0，1，…，N-1，則F(u)的一維離散傅里葉反變換可以定義為:

根據式（1）和式（2）離散傅里葉變換推廣到二維時，則可以設離散函數f（x，y）。

其中，x＝0，1，…，M-1，y＝0，1，…，N-1。二維離散傅里葉變換定義為:

式中，u＝0，1，…，M-1，v＝0，1，…，N-1。F(u，v)二維離散傅里葉反變換可以定義為:

其中，x＝0，1，…，M-1；y＝0，1，…，N-1；u和v是頻率變量。

1.2 圖像增強

假設f（x，y）為原始圖像函數，h（x，y）為濾波器函數。在空域內濾波的卷積運算，如式（5）所示:

其中，函數h（x，y）可以是低通濾波，也可以是高通濾波，函數g(x，y)為空域濾波后輸出的圖像函數。根據卷積定理，式（5）的傅里葉變換可以表示如式（6）:

式（6）中，H（u，v）為濾波傳遞函數，可以根據不同的濾波要求進行設計，其與F(u，v)相乘，即可得到在頻域內改善的頻譜G(u，v)，從而實現在頻域內的高低通或其它濾波。經過濾波后的頻譜G(u，v)還要進行傅里葉反變換，最后得到濾波圖像g(x，y)［6］。其中頻域濾波的關鍵是G(u，v)函數的設計。

1.3 圖像質量評價

圖像質量評價方法分為2類，即主觀評價和客觀評價。主觀評價方法是指通過人們觀察來對圖像質量的優劣做出判斷，最具代表性的方法就是主觀質量評分法。該方法預先指定測試的評價尺度，然后對測試圖像按所看到的視覺效果給出圖像等級。主觀評價方法應該是最準確的、最能表示人們視覺感受的方法。但主觀評價方法不夠穩定，易受周圍環境和個人情緒等因素影響。而且主觀評價方法費時費力，在實際工程應用中比較難采用。客觀評價方法是用處理圖像與原始圖像的誤差來衡量處理圖像的質量［7］。最具有代表性的方法評價指標有均方誤差（MSEA）和峰值信噪比（PSNE）等。

2 巴特沃斯濾波器

巴特沃斯濾波器（Butterworth filter）被稱作最大平坦濾波器，是連續衰減的濾波器，即巴特沃斯濾波器不會出現太大陡峭的變化。巴特沃斯濾波器的特點是在通頻帶內的頻率響應曲線呈最大限度的平坦，沒有紋波，而在阻頻帶內則逐漸下降為0［6］。巴特沃斯濾波器根據截至頻率的不同分為低通濾波器、高通濾波器和帶阻濾波器。

2.1 巴特沃斯低通濾波器

低通濾波的作用是讓信號中的低頻信息通過，而濾掉或抑制高頻信息［7］，在實際中最重要的作用就是濾掉高頻的噪聲。圖像中的噪聲大部分集中在高頻部分，所以低通濾波能平滑圖像噪聲。由于圖像的邊緣也集中在高頻部分，所以在平滑噪聲的同時也會平滑圖像邊緣，從而造成圖像不同程度上的模糊。巴特沃斯低通濾波器的傳遞函數H（u，v）如式（7）:

其中，D0為巴特沃斯低通濾波器的截止頻率，n為巴特沃斯濾波器的階數，n越大則濾波器的形狀越陡峭。可以根據不同的濾波要求修改D0和n值，實現不同的圖像增強效果［8］。

2.2 巴特沃斯高通濾波器

巴特沃斯高通濾波器傳遞函數H（u，v）可以表示為式（8）:

其中，D0為截止頻率，參數n為階數，用來控制濾波器的陡峭程度。

2.3 巴特沃斯帶阻濾波器

巴特沃斯帶阻濾波器的公式如式（9）:

其中，D0為需要截止的頻率點與頻率中心的距離；W為帶阻濾波器的帶寬；n為階數。

3 巴特沃斯低通濾波器在圖像增強算法分析

3.1 算法分析

為了實現巴特沃斯低通濾波器在圖像增強的算法，本文在matlab中進行了2次不同的仿真實驗。

（1）在原圖上直接濾波，其算法實現步驟描述如下:

①通過imread（）函數讀入圖像；

②對圖像進行傅里葉變換和平移，用fft2（）傅里葉函數變換圖像到頻域；

③設計階數為6和截止頻率不同的巴特沃斯低通濾波器，對圖像實現濾波處理；

④用ifft2（）函數反變換回空域圖像；

⑤用corr2（）函數計算濾波后圖像和原圖的相似度。

（2）對原圖添加一定密度的椒鹽噪聲，再進行濾波，最后計算相似度。其算法實現過程如圖1所示。

圖1 算法流程圖Fig.1 Algorithm flow chart

3.2 matlab算法實現的主要代碼

在matlab中用巴特沃斯低通濾波器對添加椒鹽噪聲圖進行圖像增強仿真實驗的主要代碼如下:

A＝imread（＇coins.png＇）；%讀入原圖

I＝imnoise（A，＇salt＆pepper＇，0.02）；%添加密度為0.02的椒鹽噪聲

I＝im2double（I）；%轉換數據類型

M＝2*size（I，1）；%設計濾波器的行數

N＝2*size（I，2）；%設計濾波器的列數

u＝-M／2:（M／2-1）；

v＝-N／2:（N／2-1）；

［U，V］＝meshgrid（u，v）；

D＝sqrt（U.＾2+V.＾2）；

D0＝50；%設置濾波器的截止頻率為50

n＝6；%設置濾波器的階數為6

H＝1.／（1+（D.／D0）.＾（2*n））；%設計巴特沃斯低通濾波器

J＝fftshift（fft2（I，size（H，1），size（H，2）））；%通過傅里葉函數轉換到頻域

K＝J.*H；%對加噪轉換的頻譜進行濾波處理

L＝ifft2（ifftshift（K））；%通過傅里葉反函數轉換回空域

L＝L（1:size（I，1），1:size（I，2））；

r＝corr2（A，L）%計算機濾波后圖與原圖的相似的系數

figure；%顯示各種圖片

subplot（231）；imshow（A）；title（＇（a）原圖＇）；

subplot（232）；imshow（I）；title（＇（b）加入 椒鹽噪聲圖＇）；

subplot（235）；imshow（L）；title（＇（c）截止50頻率＇）；

如果直接對原圖進行濾波實驗，只要將添加噪聲的代碼行刪除即可，并且可以通過修改截止頻率和濾波器階數的數值來驗證圖像增強效果。

4 實驗結果分析

4.1 實驗結果

本文為了驗證巴特沃斯低通濾波器對圖像增強的效果，分別在matlab中進行2次仿真實驗。

實驗一設計階數為6，截止頻率分別為30、50、100、200的低通濾波器，對“coins.png”原圖進行圖像增強實驗。

實驗二對“coins.png”原圖添加密度為0.02的椒鹽噪聲，設計階數為6，截止頻率分別為50、100、200的低通濾波器，對加噪圖進行圖像增強實驗。

實驗得到的相似度系數分別見表1、表2，圖像增強實驗后的對比結果如圖2、圖3所示。

圖2 原圖圖像增強實驗對比圖Fig.2 Contrast diagram of original image enhancement experiment

圖3 添加椒鹽噪聲后圖像增強對比圖Fig.3 Image contrast enhancement after adding salt and pepper noise

表1 原圖圖像增強相似度系數表Tab.1 Similarity coefficient table of original image enhancement

表2 添加椒鹽噪聲圖像增強相似度系數表Tab.2 Similarity coefficient table of image enhancement with salt and pepper noise

4.2 結果分析

4.2.1 實驗一結果分析

根據表1相似度系數客觀評價圖像質量發現:截止頻率越低，數值越小，相似度也越低。對于圖2（a），從主觀評價分析發現，截止頻率越低，圖像越模糊。由此得出:巴特沃斯低通濾波器，在相同階數的前提下，截止頻率越高，攔截的高頻信息越少，邊緣平滑越少，圖像邊緣能保留的信息越多，圖像與原圖的相似度越高。

4.2.2 實驗二結果分析

根據表2可知，截止頻率不同，相似度系數也不同。當增加到一定的峰值后，截止頻率繼續增大，相似度反而會減少。由圖3可見，圖3（c）中椒鹽噪聲基本被濾掉，但圖像與原圖相比，圖像較模糊；圖3（d）中觀察到，椒鹽噪聲也基本被濾掉，但是仔細觀察還有一些淡淡的小點，即是沒有濾掉的椒鹽噪聲，圖像清晰度相對較高；盡管圖3（e）圖像清晰度是這三幅圖中最高的，但是椒鹽噪聲還可明顯看到，圖像增強效果不是特別好。由此得出:巴特沃斯低通濾波器在階數相同的情況下，圖像的清晰度并沒有隨截止頻率不斷增加而增強，而是當截止頻率到達一定的峰值后，截止頻率增加，清晰度反而降低。這是因為椒鹽噪聲主要集中在圖像的高頻部分，當截止頻率增加，攔截的高頻信息越少，濾去噪聲效果就降低，噪聲能保留的信息越多，圖像增強效果就會降低。因此，為了達到最好的圖像增強效果，需要經過不斷的實驗，找到合適的截止頻率，在保證圖像質量的同時還能有效濾去椒鹽噪聲。

5 結束語

通過設計不同階數和截止頻率的巴特沃斯低通濾波器，能使圖像中的低頻部分信息順利通過，高頻信息有效攔截，達到平滑圖像的目的，實現圖像增強。在圖像傳遞過程中，圖像通常都會產生各種噪聲，而噪聲大部分都集中在圖像的高頻部分。本文通過實驗證明:只要選擇合適階數和截止頻率的巴特沃斯低通濾波器，就能有效去除圖像中的椒鹽噪聲，改善圖像質量，實現圖像增強效果。但是，攔截噪聲的同時也會把圖像的一些高頻邊緣信息濾掉，引起圖像邊緣模糊。當截止的頻率升高，噪聲濾去的效果也會降低，因此選擇合適階段和截止頻率是巴特沃斯低通濾波器設計的關鍵。