帶接頭管線變形計算的傳遞矩陣法

程霖，楊成永，路清泉，馬文輝，車敬珂

（1.北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，北京 100044；2.中國建筑第二工程局有限公司，北京 100160；3.北京市軌道交通建設(shè)管理有限公司，北京 100068；4.北京市市政工程設(shè)計研究總院有限公司，北京 100082）

地鐵隧道施工使得鄰近既有地下管線產(chǎn)生附加變形，造成管線破損，甚至引發(fā)工程事故[1].為保證隧道開挖不影響管線的正常使用，需要對管線進行安全評價，進而完善設(shè)計與施工方案.

地下管線的安全評價指標(biāo)為地鐵施工引起的附加變形[2].勻質(zhì)管線變形的計算方法，一般將管線簡化為剛度連續(xù)的勻質(zhì)桿件[3]，承受隧道開挖引起的地層附加位移荷載.由于管線接頭力學(xué)性能復(fù)雜，帶接頭管線的變形計算常采用經(jīng)驗方法，假設(shè)管節(jié)為完全剛性，接頭能夠自由轉(zhuǎn)動，管線接頭沉降與地層沉降一致，根據(jù)幾何關(guān)系推算接頭相對轉(zhuǎn)角[2，4].經(jīng)驗方法忽略了管線與地層的相互作用，也沒有考慮接頭傳遞彎矩的能力.在理論計算方面，接頭的存在使得管線剛度不連續(xù)，難以獲得管線變形的解析解，因而多采用數(shù)值方法求解，解析計算方面的研究較少.Klar 等[5]采用邊界積分法求解隧道施工引起的管線變形，將管線接頭簡化為具有轉(zhuǎn)動剛度的彈簧鉸單元.張陳蓉等[6]基于有限差分法，在管線接頭兩側(cè)設(shè)置虛節(jié)點，給出了帶接頭管線變形微分方程的差分格式.程霖等[7]在管線變形微分方程中引入脈沖函數(shù)，得到了包含傅里葉級數(shù)的接頭相對轉(zhuǎn)角解析解，雖然考慮了接頭處管線抗彎剛度的折減，但剛度折減系數(shù)不容易獲得，因而不便于實際應(yīng)用.

以上研究工作表明，目前帶接頭管線變形計算依賴于經(jīng)驗方法和數(shù)值方法，解析方法的研究尚不充分.為此，本文建立帶接頭管線變形的控制微分方程，從求解微分方程的角度，采用傳遞矩陣法[8]，推導(dǎo)了管節(jié)的場矩陣及管線接頭的點矩陣，得到帶接頭管線狀態(tài)變量的傳遞矩陣，進而求得管線變形和內(nèi)力.通過與有限元解、經(jīng)驗方法、試驗及實測數(shù)據(jù)的對比，驗證了本文方法的正確性，進一步采用本文方法對管線變形的影響因素進行了參數(shù)分析.本文方法可用于計算帶接頭管線的變形和內(nèi)力，為穿越管線施工的風(fēng)險評估提供了理論參考.

1 管節(jié)和場矩陣

圖1 為管線變形示意圖，隧道開挖引起地層及管線產(chǎn)生沉降，接頭處產(chǎn)生相對轉(zhuǎn)角.

將管節(jié)視為彈性地基上的Euler-Bernoulli 梁，基底變形服從Winkler 假定，則管節(jié)變形的控制微分方程可寫為[7]：

式中：Ep為管線彈性模量，Pa；Ip為管線截面慣性矩，m4；k 為地基系數(shù)，Pa/m；D 為管線外徑，m；w 和S 分別為管線撓度和地層位移，向上為正，m.

地基系數(shù)k 通過式（2）進行計算[4]，即：

式中：Es為管線所在地層土體的彈性模量，Pa；νs為管線所在地層土體的泊松比.

地層位移用Peck 公式表示[9]，即：

式中：Smax為地層最大沉降，m；μ 為隧道中線的坐標(biāo)，m；i 為沉降槽寬度系數(shù)，m.

如圖2 所示，將一段管節(jié)劃分為n 小段梁，每小段梁長度為ξ，當(dāng)ξ 比較小時，每小段梁受到的荷載近似為均布荷載.

圖2 管節(jié)計算簡圖Fig.2 Calculation diagram of pipelinesection

對圖2 中任意一小段梁單獨分析，將其受到的均布荷載簡記為q，則該小段梁變形控制微分方程為：

將式（4）寫成一階微分方程組形式

式中：θ 為轉(zhuǎn)角，以逆時針為正，rad；M 為彎矩，以使梁下側(cè)受拉為正，N·m；Q 為剪力，以使截面右側(cè)梁段順時針旋轉(zhuǎn)為正，N.

將式（5）改寫為矩陣形式

其中：

對式（6）進行拉普拉斯變換，得到：

式中：s 為復(fù)變量；I 為4 階單位矩陣.

對式（7）進行拉普拉斯逆變換，得到：

式中：L-1[·]為拉普拉斯逆變換運算符.

將坐標(biāo)x=ξ 代入式（8），并將式（8）改寫為增廣矩陣形式，即：

其中：

式中：U 為場矩陣；V0、Vξ為狀態(tài)向量，其元素為狀態(tài)變量，下標(biāo)表示狀態(tài)向量和狀態(tài)變量的計算位置；λ、β1、β2、β3、β4為系數(shù)，分別為：

由式（9）可見，狀態(tài)向量V0通過矩陣U 傳遞至x=ξ 處，得到狀態(tài)向量Vξ.通過上述方法獲得各小段梁場矩陣，分別記為U1、U2、…、Un，則x=0 處狀態(tài)變量可依次通過各小段梁場矩陣傳遞至x=xn處，即

2 接頭和點矩陣

將接頭簡化為鉸點，如圖3 所示，圖中，ks為接頭轉(zhuǎn)動剛度，N·m/rad；Xj為接頭坐標(biāo)，j 為接頭編號.將管線接頭分為兩類，一類不能傳遞彎矩，兩側(cè)管節(jié)能夠自由轉(zhuǎn)動，將這種接頭簡化為自由鉸，采用此類接頭的管線簡稱“自由鉸管線”；另一類能夠傳遞部分彎矩，將這種接頭簡化為具有一定轉(zhuǎn)動剛度的彈簧鉸，采用此類接頭的管線簡稱“彈簧鉸管線”.

圖3 管線接頭的簡化Fig.3 Simplification of pipeline joints

鉸點左側(cè)狀態(tài)變量通過鉸點傳遞至右側(cè)，即：

鉸點兩側(cè)管線的撓度、彎矩和剪力均相同，管線轉(zhuǎn)角將產(chǎn)生突變.

對于彈簧鉸，轉(zhuǎn)角突變Δθ 等于彎矩與接頭轉(zhuǎn)動剛度的比值，即彈簧鉸兩側(cè)轉(zhuǎn)角的關(guān)系為：

因此，任意一個彈簧鉸的點矩陣為：

對于自由鉸，設(shè)第j 個接頭右側(cè)轉(zhuǎn)角為：

式中：ηθ為各狀態(tài)變量以及外力對管線轉(zhuǎn)角的影響系數(shù)，則第j 個接頭的點矩陣可表示為：

根據(jù)式（11），第j 個接頭兩側(cè)狀態(tài)向量關(guān)系為：

將式（14）代入式（10），得到第j+1 個接頭左側(cè)的狀態(tài)向量

解方程組（16）可得影響系數(shù)ηθ的值，進而得到第j 個接頭的點矩陣，即：

3 邊界條件和狀態(tài)變量求解

對于計算長度為L、管節(jié)數(shù)為N+1、接頭數(shù)目為N 的管線，如圖4 所示，管線左端（x=0）的狀態(tài)變量可依次通過管節(jié)的場矩陣和接頭的點矩陣傳遞至管線右端（x=L），即：

圖4 管線計算簡圖Fig.4 Calculation diagram of pipeline

式中：Ue為總體傳遞矩陣.

計算范圍內(nèi)管線兩端距離隧道穿越中線較遠(yuǎn)，受隧道開挖影響可以忽略不計.

對于彈簧鉸管線，根據(jù)其接頭特點，令管線兩端轉(zhuǎn)角為0，剪力為0，則左端的狀態(tài)向量為：

其中，w0、M0為管線左端未知狀態(tài)變量.通過式（17）將V0傳遞至管線右端，利用管線右端轉(zhuǎn)角為0，剪力為0 的邊界條件，得到關(guān)于未知狀態(tài)變量的方程組

對于自由鉸管線，根據(jù)其接頭特點，令管線兩端沉降為0，彎矩為0.則左端的狀態(tài)向量為：

其中，θ0、Q0為管線左端未知的狀態(tài)變量.

求解方程組（18）或方程組（19）得到x=0 處未知狀態(tài)變量，再通過場矩陣和點矩陣計算管線各點的變形和內(nèi)力.隧道開挖引起的管線相對轉(zhuǎn)角等于接頭兩側(cè)管節(jié)的轉(zhuǎn)角差值，即

從求解過程看，與有限元法相比，傳遞矩陣法的未知量只有管線兩端的未知邊值，無需求解大型方程組，計算量小，且可通過增減分段數(shù)達(dá)到任意計算精度.從所需計算參數(shù)看，與文獻[7]的傅里葉級數(shù)法相比，傳遞矩陣法采用的接頭轉(zhuǎn)動剛度可通過現(xiàn)有資料獲得[10]，便于實際應(yīng)用.

4 案例計算與試驗驗證

4.1 案例計算

采用MATLAB 編寫本文方法的計算程序.為驗證本文方法的正確性，采用ANSYS 建立有限元模型，其中管節(jié)采用梁單元（BEAM4）模擬，地基彈簧和管線接頭采用彈簧單元（COMBIN14）模擬.地基彈簧單元的一端與梁單元節(jié)點相連，另一端施加由隧道開挖引起的地層位移荷載.

案例1 為文獻[4]算例，隧道垂直下穿管線，計算參數(shù)為：地層最大沉降13.6 mm，沉降槽寬度系數(shù)2.6 m，地基系數(shù)2.38 × 107Pa/m；管線彈性模量70 GPa，外徑0.5 m，壁厚0.018 m；管節(jié)長度5.49 m，管線接頭簡化為自由鉸.

案例2 為北京地鐵14 號線某區(qū)間工程垂直下穿鑄鐵污水管線，測得地層最大沉降12.4 mm，沉降槽寬度系數(shù)2.5 m，地基系數(shù)2.66×107Pa/m；管線彈性模量100 GPa，外徑1.462 m，壁厚17.1 mm；管節(jié)長度6 m，接頭轉(zhuǎn)動剛度1.79×107N·m/rad.

圖5 為管線沉降和彎矩的計算結(jié)果，同時也給出了與有限元結(jié)果及實測數(shù)據(jù)的對比.可見，本文方法計算結(jié)果與有限元方法結(jié)果一致，與實測數(shù)據(jù)趨勢基本符合，證明了本文方法的正確性.

圖5 計算結(jié)果Fig.5 Calculation results

文獻[4]給出的經(jīng)驗方法未考慮管土相互作用，簡單假定管線接頭處的沉降與同水平處地層自由沉降一致，得到最大相對轉(zhuǎn)角計算結(jié)果為4.42×10-3rad（0.25°）.由于管節(jié)本身具有一定的抗彎剛度，因而管線接頭沉降與地層沉降并不相同，本文方法考慮了管土相互作用，所得隧道正上方接頭沉降大于同水平處地層自由沉降，最大相對轉(zhuǎn)角的計算結(jié)果為4.96×10-3rad（0.28°），由此可見，本文方法與經(jīng)驗方法相比更為安全、合理.

4.2 離心模型試驗

試驗采用交通運輸部天津水運工程科學(xué)研究院的TK-C500 型土工離心機，設(shè)計加速度為80g（由π定理可知模型的幾何相似數(shù)為80[11]），模擬盾構(gòu)隧道垂直下穿既有管線，如圖6 所示.

如圖6 所示，采用LVDT 位移傳感器測量管線沉降及管軸線同一水平處土層沉降.設(shè)置11 個彎矩測量斷面，每個測量斷面用4 個應(yīng)變片連接成全橋電路.

圖6 試驗裝置及傳感器布置（單位：mm）Fig.6 Arrangement of test device and sensors（unit：mm）

試驗管線為承插式鋁合金管.試驗隧道開挖采用外套鋼套筒的液壓油缸模擬，套筒可沿油缸縱向滑動，推出套筒將引起地層損失從而使地層及管線產(chǎn)生變形.將管線與隧道的模型及原型試驗參數(shù)列于表1.

表1 管線與隧道試驗參數(shù)Tab.1 Test parameters of pipeline and tunnel

管線模型包含8 個管節(jié)，總長922.5 mm，管線模型中心接頭與隧道開挖中線重合.在管節(jié)承口內(nèi)部粘貼橡膠圈，將管節(jié)插口插入橡膠圈粘牢，如圖7 所示，室內(nèi)試驗測得接頭旋轉(zhuǎn)剛度為4.76×108N·m/rad.試驗用土為豐浦砂，室內(nèi)試驗測得地基系數(shù)為7.37×106Pa/m.

圖7 試驗管線的接頭構(gòu)造（單位：mm）Fig.7 Detail of joint of the test pipelines（unit：mm）

試驗時，逐級增大離心機加速度至80g，待管線與土層沉降穩(wěn)定，將鋼套筒按40 mm/min 的速度勻速推出，模擬隧道開挖，管土沉降穩(wěn)定后逐漸降低離心機加速度至停止.

將隧道開挖引起的管軸線同一水平處土體自由沉降監(jiān)測數(shù)據(jù)按式（3）擬合，得到Smax=73.31 mm，沉降槽寬度i=6.60 m.采用地層沉降擬合數(shù)據(jù)（已換算為原型沉降數(shù)據(jù)）計算管線沉降和彎矩，與試驗結(jié)果進行對比，如圖8 所示，可見，管線沉降和彎矩的理論計算結(jié)果與試驗數(shù)據(jù)趨勢一致，相互能夠進行較好的印證.

圖8 試驗結(jié)果與理論計算結(jié)果的對比Fig.8 Comparison of test results with calculation results

5 影響因素分析

5.1 接頭與隧道中線相對位置的影響

設(shè)接頭與隧道中線距離為d，管節(jié)長度為Lp，則案例計算相當(dāng)于考慮了d=0 和d=0.5Lp兩種位置關(guān)系.為更全面了解接頭與隧道中線相對位置對管線變形和內(nèi)力的影響，令d=0、0.75 m、1.5 m、2.25 m、3.0 m，結(jié)合案例2 計算參數(shù)，計算管線變形和彎矩.

將位置坐標(biāo)x、管線沉降w 和彎矩M 歸一化，得到無量綱量（x-μ）/i、w/Smax和Mi2/（EpIpSmax），計算結(jié)果如圖9 所示，可見，d=0 時，隧道中線處管線沉降大于地層沉降，兩側(cè)相鄰管節(jié)變形呈現(xiàn)剛體轉(zhuǎn)動，管線彎矩較小.隨隧道中線向管節(jié)中部移動，管線沉降減小，隧道中線附近管節(jié)彎曲變形增大，管線彎矩增大.圖9（a）表明，距離隧道中線最近的管線接頭產(chǎn)生的相對轉(zhuǎn)角最大，該處接頭相對轉(zhuǎn)角是由管線沉降造成的，本文稱為“沉降角”；距離隧道中線2.5i～3.5i范圍內(nèi)，管線產(chǎn)生一定的隆起變形，該處管線接頭也產(chǎn)生明顯的相對轉(zhuǎn)角，本文稱為“隆起角”.

圖9 d 不同取值下的計算結(jié)果Fig.9 Calculation results under different values of d

圖10 為管線“沉降角”和“隆起角”的最大值隨d/Lp的變化規(guī)律.由圖10 可見，“沉降角”和“隆起角”隨d/Lp的增大都呈減小的趨勢，因而，對接頭變形來說，隧道中線與某一接頭位置重合為最不利工況.d/Lp=0.5 時，“隆起角”大于“沉降角”，說明新建隧道中線位于管節(jié)中心時，應(yīng)關(guān)注沉降槽邊緣（沉降槽半寬約為3i[4]）管線接頭產(chǎn)生的“隆起角”.

圖10 接頭相對轉(zhuǎn)角隨d/Lp 的變化Fig.10 Variation of relative angle of joints with d/Lp

5.2 地層變形及管線參數(shù)的影響

管線的力學(xué)響應(yīng)受地層變形及管線自身參數(shù)的影響，包括接頭轉(zhuǎn)動剛度ks、管線抗彎剛度EpIp、地基系數(shù)k、管節(jié)長度Lp、沉降槽寬度系數(shù)i 和地層最大沉降Smax.

令管線接頭處在隧道中線正上方，即最不利位置.將接頭最大相對轉(zhuǎn)角歸一化，即Δθmaxi/Smax，結(jié)合案例2 計算參數(shù)，討論以上參數(shù)對其影響.

圖11 給出了歸一化最大相對轉(zhuǎn)角隨接頭轉(zhuǎn)動剛度ks的變化規(guī)律.由圖11 可見，接頭轉(zhuǎn)動剛度為0 時，接頭不承受彎矩，此時接頭相對轉(zhuǎn)角最大；隨接頭轉(zhuǎn)動剛度的增大，接頭承受彎矩的能力增強，接頭相對轉(zhuǎn)角減小.

圖11 接頭轉(zhuǎn)動剛度的影響Fig.11 Influence of the joint rotation stiffness

圖12～圖14 分別給出了兩類管線歸一化最大相對轉(zhuǎn)角隨地基系數(shù)k、管節(jié)抗彎剛度EpIp和管節(jié)長度Lp的變化規(guī)律.由圖12 可見，接頭相對轉(zhuǎn)角隨地基系數(shù)的增大呈先增大后減小的趨勢.這是因為地基系數(shù)較小時，管節(jié)彎曲變形由接頭轉(zhuǎn)動釋放，管節(jié)變形呈剛性，在接頭兩側(cè)產(chǎn)生轉(zhuǎn)角差異，此時地基系數(shù)增大使管線沉降增大，進而接頭兩側(cè)管節(jié)的轉(zhuǎn)角差異增大；地基系數(shù)較大時，隨地基系數(shù)增大，管節(jié)的彎曲變形增大，接頭兩側(cè)管節(jié)的轉(zhuǎn)角差異減小.對于自由鉸管線，相對轉(zhuǎn)角在k=1×106～2×108Pa/m 范圍內(nèi)（大部分土質(zhì)地基的地基系數(shù)位于此范圍[12]）變化不大，可以推斷，在土質(zhì)地層中，不論土體壓縮性如何，自由鉸管線均易于產(chǎn)生較大的接頭相對轉(zhuǎn)角.

圖12 地基系數(shù)的影響Fig.12 Influence of the foundation coefficient

由圖13 可見，兩類管線受管節(jié)抗彎剛度的影響相同.管節(jié)剛度較小時，管線整體變形與地層變形接近，變形曲線平緩，接頭相對轉(zhuǎn)角較小；管線剛度較大時，管節(jié)呈剛體轉(zhuǎn)動，管線變形與地層變形差異較大，接頭產(chǎn)生較大的相對轉(zhuǎn)角.

圖13 管節(jié)抗彎剛度的影響Fig.13 Influence of the bending stiffness of pipeline section

由圖14 可見，兩類管線受管節(jié)長度的影響相同.管線被接頭劃分為若干小段，管節(jié)長度較小時（Lp＜1.6i），整體變形呈現(xiàn)柔性，變形與地層變形接近，在這個階段，隨管節(jié)長度增長，管線整體性增強，與地層變形差異增大，接頭相對轉(zhuǎn)角也增大；由于管節(jié)具有一定的抵抗彎曲變形的能力，管節(jié)長度較大時（Lp＞1.6i），隨管節(jié)長度增長，管線沉降減小，接頭相對轉(zhuǎn)角也減小；管節(jié)長度為1.6i 時，接頭相對轉(zhuǎn)角達(dá)到峰值.在實際工程中，應(yīng)對管節(jié)長度滿足這一特征的管線予以重視，加強防護和監(jiān)測.

圖14 管節(jié)長度的影響Fig.14 Influence of the length of pipeline section

由圖12～圖14 可以看出，歸一化相對轉(zhuǎn)角存在極限值，不會隨某一計算參數(shù)的增長而無限增長.為得到歸一化相對轉(zhuǎn)角的極限值，計算自由鉸管線歸一化最大相對轉(zhuǎn)角隨地層變形參數(shù)Smax和i 的變化規(guī)律，如圖15、圖16 所示.

由圖15 可見，歸一化相對轉(zhuǎn)角不隨地層最大沉降的變化而變化，說明接頭相對轉(zhuǎn)角與地層最大沉降呈正比.由圖16 可見，隨沉降槽寬度系數(shù)的增大，歸一化最大相對轉(zhuǎn)角呈先增大后減小的趨勢，這是因為沉降槽寬度較小時，管線由于自身剛度的原因，變形小于地層沉降；隨著沉降槽寬度增大，管線變形超過地層沉降，接頭相對轉(zhuǎn)角增大，但沉降槽寬度的增大使得地層沉降逐漸平緩，管線變形逐漸與地層沉降趨于一致，接頭相對轉(zhuǎn)角減小.通過圖16 可以看出，管線歸一化相對轉(zhuǎn)角的極限為1.1，當(dāng)實際工程中缺乏設(shè)計資料時，可取Δθmax=1.1 Smax/i 作為保守的接頭相對轉(zhuǎn)角估計值.

圖15 地層最大沉降的影響Fig.15 Influence of the maximum soil settlement

圖16 沉降槽寬度系數(shù)的影響Fig.16 Influence of the width of settlement trough

6 結(jié)論

將帶接頭管線按接頭傳遞彎矩的特性分為“自由鉸管線”和“彈簧鉸管線”兩類.采用傳遞矩陣法求解了管線變形的控制微分方程，推導(dǎo)了管節(jié)的場矩陣和兩類管線接頭的點矩陣，給出了管線未知邊值的求解過程.通過與有限元計算結(jié)果、離心模型試驗結(jié)果和實測數(shù)據(jù)對比，本文方法是可靠的.

采用本文方法針對管線接頭與隧道開挖中線距離、管線參數(shù)和地層變形參數(shù)進行了影響因素分析.結(jié)果表明，對接頭變形來說，接頭與隧道中線位置重合為最不利工況.若隧道中線位于管節(jié)中心，則距開挖中線2.5i～3.5i 的管線接頭將因此處的管線隆起而產(chǎn)生較大的相對轉(zhuǎn)角.相同條件下，自由鉸管線的接頭相對轉(zhuǎn)角大于彈簧鉸管線.在土質(zhì)地層中，自由鉸管線可產(chǎn)生比較大的接頭相對轉(zhuǎn)角，且相對轉(zhuǎn)角基本不受地基系數(shù)影響.通過分析管節(jié)長度的影響規(guī)律，可知管節(jié)長度為1.6i 時，接頭相對轉(zhuǎn)角出現(xiàn)峰值，實際工程中應(yīng)對符合這一長度特征的管線采取相應(yīng)的保護措施，并加強監(jiān)測.參數(shù)分析表明，管線接頭相對轉(zhuǎn)角的極限值為1.1Smax/i，當(dāng)缺乏設(shè)計資料時，可用該值保守估計管線相對轉(zhuǎn)角.