基于BP 神經網絡CFRP 約束混凝土抗壓強度預測

馬高，劉康

（1.湖南大學 土木工程學院，湖南 長沙 410082；2.工程結構損傷診斷湖南省重點實驗室（湖南大學），湖南 長沙 410082）

纖維增強復合材料（Fiber Reinforced Polymer，FRP）以其優越的材料性能可對混凝土提供有效的橫向約束，從而提高混凝土柱的承載能力和抗震性能.隨著對FRP 約束混凝土力學性能研究的不斷深入，國內外已經積累了大量的試驗數據和混凝土本構模型[1-3].Singh 和Patra[4]收集了755 個試驗數據對56個FRP 約束混凝土強度回歸模型進行了評價，發現部分模型的預測結果偏于保守，按回歸方法得到的抗壓強度預測值遠低于試驗數據；而部分回歸模型的預測值與試驗值之比的平均值高達2.2～3.8，且預測結果變異系數較大.顯然，按傳統統計回歸方法得到的強度預測模型具有一定的局限性.BP 神經網絡由于其優異的自學習和自適應能力，具有良好的研究與應用前景.朱先勇等[5]通過BP 神經網絡的訓練和神經元間連接權值的調整，建立了合金成分與球墨鑄鐵組織和力學性能的復雜聯系.唐和生等[6]建立了基于人工神經網絡的矩形混凝土柱屈服性能的預測方法，發現與經驗預測模型相比，神經網絡方法吻合程度更高.在FRP 加固混凝土結構方面，也已開展了一些研究[7-9]，均發現BP 神經網絡能對結果進行很好的預測，具有較強的映射能力.

目前神經網絡的研究大多集中在提高預測精度方面，而對于如何把結果形成簡單的數學表達式的研究還很少.Jφrgensen 等[10]利用BP 神經網絡原理將壓彎荷載作用下鋼筋籠增強RC 柱承載力預測模型的權值和閾值輸出成簡單的數學表達式，相比于其他設計公式更加簡單、且具有較高的預測精度.Leung 等[11]提出一種用圖表和修正系數的方式來輸出神經網絡結果，該方法計算精度較好，但需要查圖表，且修正系數公式較為復雜，不便于推廣使用.Pham 和Hadi[12]用純線性purelin 函數作為BP 神經網絡的傳遞函數，相比用logsig 或者tansig 做傳遞函數的網絡結構，該方法得到的預測精度有所下降，但是能夠將神經網絡結果輸出為簡明的線性方程.此外，由于原始數據可以互相組合形成新的數據輸入，不同的輸入形式對預測精度存在影響，Elsanadedy等[13]的研究表明原始數據輸入形式和數據組合形式不同（如無量綱、幾何物理形式等）對FRP 約束柱強度預測結果的影響較大.

因此，本文將神經網絡方法引入FRP 加固混凝土柱抗壓強度的研究中，在大量的試驗數據基礎上，建立各輸入參數及組合形式與被約束柱抗壓強度非線性映射關系的神經網絡預測模型，最后根據神經網絡輸出結果提出理論計算公式和簡化公式，為FRP 約束混凝土柱抗壓強度模型的研究提供了新的思路.

1 FRP 約束混凝土強度模型

現有的FRP 約束混凝土抗壓強度模型，大多數是基于Richart 等[14]針對主動約束混凝土提出的形式（公式（1）），其中k1為約束有效性系數，m 為回歸曲線的形狀參數.雖然k1、m 的取值通過回歸分析得到，但其與FRP 約束混凝土的力學機理密切相關，較小的k1反應約束的有效性較差，m 則與fl/fco的增量對抗壓強度的貢獻大小相關，一般小于等于1.一些常見強度模型的k1、m 取值見表1.

表1 部分常見FRP 約束混凝土強度模型k1、m 取值Tab.1 Values of k1，m of the selected strength models of FRP-confined concrete

式中：fcc為FRP 約束混凝土抗壓強度；fco為未約束混凝土抗壓強度；fl為FRP 提供的橫向約束應力；ffrp為FRP 環向抗拉強度；ρfrp為FRP 體積配置率；d 為混凝土柱直徑；t、εfrp、Efrp分別為FRP 包裹層總厚度、FRP斷裂應變、FRP 彈性模量.

除了上述公式中提到的參數外，FRP 種類、FRP強度測試方法同樣會影響FRP 約束混凝柱抗壓強度.比如：約束試件中FRP 實際斷裂時達到的應力水平要低于FRP 條帶拉伸試驗測得的抗拉強度；生產商提供的材性指標一般高于FRP 條帶拉伸試驗結果.

2 神經網絡的建立與訓練

2.1 神經網絡原理

BP 神經網絡能夠模仿人腦神經元對外部刺激信號的反應過程，基于多層感知器，結合信號正向傳播和誤差的反向調節，能有效建立用于處理非線性信息的智能化網絡預測.BP 神經網絡由輸入層、隱含層、輸出層組成，如圖1 所示，通過改變網絡的連接權值和閾值來適應外界環境，達到誤差要求，輸出最佳預測值.故BP 神經網絡具有較強的容錯能力、自學習能力和自適應能力.

圖1 神經網絡拓樸結構Fig.1 Topolohical structure of BP neural network

2.2 試驗數據處理與模型建立

由第1 節可知，在原始數據收集過程中應該對FRP 種類、FRP 抗拉強度測定方法進行分組，減少因數據來源不同而帶來的誤差.本文利用Sadeghian 和Fam[15]收集的251 組CFRP 約束混凝土圓柱的試驗數據，其中CFRP 材性均通過條帶拉伸試驗獲得.原始數據各參數的頻率分布直方圖見圖2，可以發現：各試驗數據變量相對集中，分布不均勻，試件直徑主要分布于130～160 mm，原因為標準圓柱體試件（直徑150 mm，高300 mm）使用最多；試驗中未約束混凝土強度主要為常見強度范圍（30～50 MPa）；FRP斷裂應變、彈性模量主要分布于0.5%～1.5%、200～300 GPa.

圖2 原始數據各參數頻率分布Fig.2 Frequency distribution of the parameters of raw data

由于所收集的數據往往不在同一個數量級，需將所收集的數據映射到[-1，1]之間，即歸一化處理.本文采用的歸一化公式為：

式中：xi是歸一化后的輸入值；x 是原始數據；xmax、xmin分別是這組數據的最大值、最小值，具體數值參見表2.

表2 輸入輸出參數統計表Tab.2 Statistics of the input and output parameters

本文按70%、15%、15%將實驗數據隨機劃分為訓練集、驗證集和測試集.

由于原始數據可以互相組合形成新的數據，不同的組合形式會對FRP 約束混凝土強度的預測精度產生影響.為了得到最優的輸入形式，本文考慮以下3 種神經網絡模型：1）原始數據，即d、t、fco、εrup、Efrp，記為模型A；2）考慮物理意義，以ρfrp=4t/d、ffrp=Efrpfrup、fco為輸入形式，記為模型B；3）無量綱形式，以γ=t/d、u=ffrp/fco為輸入形式，記為模型C.即

模型A：

模型B：

模型C：

2.3 最優神經網絡結構和模型選擇

隱含層的神經元采用光滑、可微S 型對數函數sigmoid（見式（7）），將神經元的輸入范圍從（-∞，+∞）映射到（0，1）區間.本文的訓練函數是trainlm函數，即用Levenberg-Marquard（LM）算法隨機把輸入向量和目標向量劃分成訓練、驗證和測試集，該算法梯度下降快，訓練步數少.

由于Hecht-Nielson 在理論上已經證明一個隱含層的BP 神經網絡能夠逼近任何區間內的連續函數，所以本文神經網絡選用一個隱含層的結構，但隱含層的神經元個數需要試算確定.大量研究表明，增加隱含層神經元個數可以提高BP 神經網絡的映射能力，但是神經元數目超過一定值后，網路性能反而降低.因此，一般采用R 值和均方誤差MSE（Mean Squared Error）來確定隱含層神經元個數.圖3 為A 模型在隱含層為7 個神經元時的訓練集、驗證集、測試集和總集經訓練后的擬合情況，可見神經網絡經過訓練能很好地挖掘輸入輸出參數之間的關系，預測結果與試驗結果的相關性趨近于1.為了得到最優神經網絡結構，將不同神經元個數下的R 值和MSE 值繪于圖4.可見在網絡結構為5-8-1 時，MSE 值較小，預測精度高且穩定，因此模型A 的隱含層神經元數取8 個.

圖3 A 模型5-8-1 網絡結構下的R 值Fig.3 R values under 5-8-1 network structure of A model

圖4 不同神經元個數下MSE 和R 值Fig.4 MSE and R values for different number of neurons

在最優的神經網絡結構下，各模型的FRP 約束混凝土抗壓強度預測值vpred與試驗值vtest之比的統計信息見表3.從表中可以看出，A 模型的平均值為0.993，變異系數為0.083，計算精度高于B、C 模型，說明原始參數模型A 為最優模型，能夠很好地挖掘輸入參數與FRP 約束混凝土抗壓強度之間的非線性映射關系.

表3 FRP 約束混凝土抗壓強度預測值與試驗值統計比較Tab.3 Statistical comparison of predicted compressive strength of FRP-confined concrete with test results

2.4 與現有約束混凝土強度模型比較

考慮到文獻模型提出時依賴的試驗數據與本文所用的數據不同，本文選取3 個具有代表性的FRP約束混凝土強度模型進行比較，即Lam 模型[17]，Wu模型[20]和Sadeghian 模型[15]，其中：Lam 模型被ACI 規范采納，在研究和工程應用中已被廣泛采用；Wu 模型為基于大量試驗數據的典型非線性模型；Sadeghian 模型來自本文引用的數據文獻.BP 神經網絡模型（模型A）、常用強度模型預測值和試驗值對比情況見圖5 和表3、表4.

通過表3 可以發現，神經網絡模型相比常用強度模型預測精度更高、變異系數更小.從圖5 和表4可以發現，各模型誤差范圍基本都在40%以內，Wu模型、Sadeghian 模型和Lam 模型的精度依次減小.神經網絡模型中超過90%的數據點誤差范圍在15%以內，但回歸模型誤差在15%內的數據點個數不到70%，這說明神經網絡模型相比于傳統數據回歸方法，能夠更好地挖掘輸入參數的數據信息.

圖5 抗壓強度預測值與試驗值比較Fig.5 Comparison of predicted valueswith test results of compressive strength

表4 模型計算值與試驗值比較Tab.4 Comparison of model predicted results with test results

3 神經網絡結果公式化輸出

神經網絡通過不斷調整權值和閾值，使網絡誤差最小或者達到期望要求，因此具有較高的預測精度.根據神經網絡傳播理論，可通過權值和閾值輸出計算結果.為便于實際應用，本節將探討用excel 輸出網絡結果和用簡化的線性方程輸出改進的神經網絡結構.

3.1 理論公式推導

隱含層第i 個節點的輸入neti為：

式中：iwij表示隱含層第i 個節點到輸入層第j 個節點之間的權值；b1i表示隱含層第i 個節點的閾值.

隱含層第i 個節點輸出ui為：

輸出層第k 個節點輸入netk為：

式中：lwki表示輸出層第k 個節點到隱含層第i 個節點的權值；b2k表示輸出層第k 個節點的閾值；φ 為隱含層激勵函數，即傳遞函數sigmiod.

輸出層第k 個節點輸出為：

式中：φ 為輸出層的激勵函數，一般為purelin 函數：

3.2 一般公式結果輸出

采用sigmoid 做傳遞函數的模型A 的最優網絡結構的權重值和閾值見附錄A，參照3.1 節，因此神經網絡隱含層第i 個節點輸入neti為：

式中：x1，x2，…，x5分別對應d、t、fco、εrup、Efrp歸一化后的值.

傳遞函數為sigmoid，因此隱含層節點輸出ui為：

輸出層的激勵函數為purelin 函數，因此輸出層輸出為：

式中：y 是fcc歸一化后的結果，可通過反歸一化得到fcc，具體參考公式（3）和表2.基于以上公式推導，利用excel 計算表格得到的結果和模型A 預測結果完全一致，證明了該公式推導的正確性和神經網絡結果輸出的可行性.

3.3 簡化公式

3.3.1 簡化公式推導和模型選擇

3.2 節中，模型A 采用sigmoid 函數作為輸入層和隱含層間的傳遞函數時，網絡結果需要借助excel等工具輔助輸出，不便于推廣應用.因此，本文采用purelin 函數代替sigmoid 函數做傳遞函數，期望得到具有較高精度而又形式簡潔的線性方程式，其推導過程見圖6（以m 個參數輸入，隱含層為n 個神經元為例）.

圖6 簡化公式推導過程Fig.6 Derivation process of simplified formula

φ 函數采用purelin 函數時，式（10）可簡化為：

令：

最終計算公式可以寫為：

在推導簡化公式時，考慮以下3 種數據組合形式：

1）模型1.fcc=f1（d，t，Efrp，εrup，fco）

2）模型2.fcc=f2（d，t，Efrp，εrup，fco，fl）

3）模型3.fcc=f3（fco，fl）

對比表3 和表5 可以發現，未進行數據組合形式下采用純線性函數purelin 做傳遞函數的模型1比采用sigmoid 做傳遞函數的模型A 網絡性能差，相關系數R 值僅為0.761，但將d、t、Efrp、輸入參數組合成fl后（即模型3），神經網絡預測精度明顯提高，相關系數R 值增加到0.961，這說明：1）數據的不同組合形式對預測精度有影響；2）模型3 僅用純線性函數purelin 做傳遞函數可以得到高精度的預測結果，說明FRP 約束混凝土抗壓強度fcc與fco、fl近似成線性關系；3）模型2 和模型3 的區別為：在模型3 中，神經網絡的訓練和學習只能通過改變由d、t、Efrp、εrup組成的fl和fco的權值與閾值來適應，而在模型2 中，除fl、fco外，還可調整d、t、Efrp、εrup的權值和閾值，設置模型2 是為了得到更高精度的模型.但對比模型2和模型3 結果可以發現，模型2 添加d、t、Efrp、εrup后網絡模型性能提升并不明顯，且本文的模型3 已具備較好的計算精度，因此本文采用模型3 來推導簡化公式.

表5 模型預測值與試驗值之比及統計參數Tab.5 Statistical parameters of predicted and test results

3.3.2 簡化公式結果輸出

采用purelin 函數的模型3 最優拓撲結構為2-7-1 形式，此時m=2，n=7，將其權重和閾值（附錄B）代入式（17），得到

由于式（18）中x、y 是歸一化以后的值，為了得到輸入參數fl、fco和輸出fcc的相互聯系，將歸一化式（3）代入（18），得到：

式中：xi為模型3 中歸一化之前的fl和fco；y1、y 分別表示歸一化前、后的fcc值；ximax、ximin分別為輸入參數最大值和最小值，具體數值見表2.

聯立式（20）（21），得：

可將式（22）寫成：

其中：

參考表2 及式（19）中的權重和閾值，代入式（24）（25）可得到：

ki中系數稱為權重系數，代表各輸入參數對輸出參數的影響程度.

保留兩位有效數字，得到：

3.3.3 簡化模型與非簡化模型對比

圖7 和表4 對比了各模型預測結果，可見采用purelin 做傳遞函數的簡化模型3，相比采用sigmoid做傳遞函數的BP 模型，預測精度有所下降，但下降程度較??；用模型3 推導出的預測結果90%以上數據誤差在20%以內，相比于回歸模型預測精度更高，且變異系數更小.

因此，在使用BP 神經網絡預測FRP 約束混凝土抗壓強度時利用purelin 函數代替sigmoid 函數是可行的，模型3 推導出來的線性方程式（式（26））相比于傳統回歸模型，形式上僅增加一項常數項，但有更高的預測精度，且可以方便實際應用.

3.3.4 簡化模型與數據回歸模型對比分析

現有的FRP 約束混凝土強度模型大多是基于式（1）形式，其k1、m 取值依賴于所選擇的試驗數據.此外，參考式（26），考慮模型表達式為fcc=Afco+Bfl+C的情況.對2.2 節收集的251 組試驗數據進行線性回歸分析和非線性擬合分析，可得：

為精確評價模型的預測效果，引入IAE 指標（Integral Absolute Error）和MAPE（Mean Absolute Percentage Error）指標進行分析：

式中pred 和test 分別對應預測值與試驗值.IAE 和MAPE 是對模型誤差敏感的統計指標，IAE 和MAPE值越小，則模型誤差越小.表6 為簡化公式與本文回歸模型預測結果的統計信息.可以發現，基于神經網絡的簡化模型的預測效果僅略低于采用表達式fcc=Afco+Bfl+C 直接擬合的結果，但要優于回歸模型.

表6 簡化模型與回歸模型統計比較Tab.6 Statistical comparison of simplified model and regression model

對簡化模型的公式變形如下：

式（32）表明約束有效性系數k1是一個變量，隨fl增大而降低，對于高側向約束應力時，k1趨近于常數.值得注意的是，當fl為0 時，式（31）不能退化為素混凝土強度，由于實際應用時FRP 約束混凝土均會包裹一定厚度的CFRP（至少一層），因此其約束應力存在最小值.

已有不少文獻在基于試驗數據的回歸分析時，也發現k1不是常數.Balmer[21]發現對于主動約束混凝土，系數k1在4.5 到7.0 之間變化，平均值約為5.6.Toutanji[22]通過FRP 約束混凝土試驗結果的對比發現系數k1隨fl/fco增大而減小，對于高側向約束應力時，k1趨近于常數，主要原因是在高側向約束應力下，混凝土的受壓力學行為更接近彈塑性材料，其提出的約束模型公式如下：

Fahmy 和Wu[23]也報道了相似的結論，且認為FRP 約束混凝土強度模型的k1值除了與fl相關，還與混凝土強度有關，其提出的約束模型如下：

4 結論

現有的FRP 約束混凝土抗壓強度模型大多是通過數據統計回歸分析得到，但是由于FRP 約束混凝土柱的力學性能受多種因素影響，各回歸模型預測結果相差較大，且有一定比例的數據預測值遠大于實驗值.本文在大量的實驗數據基礎上，用BP 神經網絡對FRP 約束混凝土抗壓強度進行預測與分析，發現：

1）BP 神經網絡模型能夠很好地預測FRP 約束混凝土抗壓強度.神經網絡模型中超過90%的數據點誤差范圍在15%以內，而回歸模型誤差在15%內的數據點個數不到70%.與回歸模型相比，神經網絡的預測結果精度更高、變異系數更小.

2）基于神經網絡理論，將sigmoid 函數做傳遞函數的模型A 輸出為數學表達式，并生成excel 工具表便于實際應用.利用純線性purelin 函數代替sigmoid函數作傳遞函數的模型3 可生成形式簡潔的計算公式，與模型A 相比，得到的簡化公式計算精度有所下降，但下降程度較小，用模型3 推導出的預測結果90%以上數據誤差在20%以內，其計算精度仍高于現有的回歸模型.

3）僅用純線性purelin 做傳遞函數的模型3，其預測結果的相關系數達到0.961，這說明FRP 約束混凝土抗壓強度fcc與fco、fl近似成線性關系，且通過權重系數ki能看出橫向約束應力fl對FRP 約束混凝土強度fcc的貢獻遠大于未約束混凝土抗壓強度fco.

4）神經網絡擬合結果是基于已有文獻試驗數據訓練得到的，而非理論推導得到，因此其輸出結果的物理意義尚不明確，只具有統計意義.從統計學角度看，神經網絡結果優于常規的線性回歸結果.

附錄A

神經網絡權值和閾值如下：iw 是隱含層到輸出層的權重值，b1是對應的閾值，lw 是輸出層到隱含層的權值，b2是對應的閾值.

附錄B