基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降檢測方法

徐 勇，向運琨，曾 麟，何 哲

(國網湖南綜合能源服務有限公司，湖南 長沙 410007)

0 引言

電壓暫降是電力系統中發生頻次較多、影響較大的一類電能質量問題，會導致電力系統中敏感性用電設備的非正常工作，嚴重時甚至造成設備發生故障而停止運行，給用戶帶來巨大的經濟損失[1-3]。此外，隨著電力電子技術的不斷更新，尤其是數字自動控制技術的廣泛使用，電壓暫降造成的相關問題也愈加突出[4-5]。相關統計數據表明，有80%以上的電能質量問題都是由電壓暫降引起的[6]。因此，電壓暫降問題越來越受到相關部門和研究人員的關注和重視[7]。

國內外學者在電壓暫降檢測方面作了大量的研究工作，分別提出了均方根值法、峰值電壓法、基波分量法、小波變換法和d-q變換法等[8-10]。均方根值法、峰值電壓法和基波分量法等傳統電壓暫降檢測方法在暫降持續時間檢測時存在較大誤差，且無法給出驟降發生時可能出現的相位跳變信息。小波變換法雖然能夠有效提取電壓暫降的相關特征量，但其存在母函數選擇復雜、抗噪性差和計算量大等問題。d-q變換法通過d-q變換實現對稱三相電壓瞬時均方根值的求取，從而實現暫降特征量的獲取。但在檢測前需要進行相應的相位延遲，導致額外增加系統的響應時間。

為此，本文提出了一種基于分段加Nuttall窗插值快速傅里葉變換(fast Fourier transform，FFT)的電壓暫降檢測方法。該方法首先通過對電壓暫降信號進行求導和平方和運算來劃分電壓信號穩定區間，并得到暫降起止時刻和持續時間，而后對穩定區間內的電壓信號進行加Nuttall窗插值FFT運算來得到電壓暫降的暫降幅值和相位跳變等特征量，從而實現電壓暫降特征量的快速、準確檢測。

1 電壓暫降的基本概念

在三相系統里，一般假設最先受電壓暫降擾動的某一相的均方根電壓值低于暫降起始閾值的時刻，為暫降起始時刻；在各相均方根電壓值都恢復到正常供電時均方根電壓值的時刻，為該電壓暫降的結束時刻。

2 電壓暫降檢測方法

2.1 暫降起止時刻和持續時間的檢測

設電壓暫降穩定區間內的電壓信號模型為：

s(t)=Acos(2πft+φ)

(1)

式中：A為信號的幅值；f為信號的頻率；φ為信號的初相角。

對式(1)求一階導數，可得：

s′(t)=-A×2πfsin(2πft+φ)

(2)

綜合式(1)和式(2)，可得穩定區間內電壓信號的幅值為：

(3)

對式(3)進行離散化處理，可得：

(4)

式中：fs為采樣頻率；s(n)為信號采樣值，n=1,2,…,N-1。

由于電壓暫降信號在暫降開始時刻和結束時刻的導數不連續，即存在第一類間斷點，使得計算出的幅值會遠大于實際幅值。通過合理設置幅值檢測閾值，即可很好地確定電壓暫降起始、終止時刻，并可得到電壓暫降的持續時間。考慮到實際電網諧波和噪聲的影響，本文將幅值檢測閾值定義為2.5。

2.2 暫降幅值和相位跳變的檢測

FFT具有計算效率高、易于嵌入式實現等優點，被廣泛應用于電力系統分析中。但在非同步采樣條件下，FFT會不可避免地引起信號的頻譜泄漏和柵欄效應，使得電力系統相關參數檢測的準確度往往不高。為此，本文采用加Nuttall窗插值FFT來有效抑制暫降穩定區間電壓信號的頻譜泄漏和柵欄效應，進而準確獲取電壓暫降的暫降幅值和相位跳變等特征量。

2.2.1 Nuttall窗函數特性

Nuttall窗為一組余弦組合窗，其時域表達式為：

(5)

典型Nuttall窗函數的系數如表1所示。其中：Nuttall-I表示4項3階Nuttall窗函數；Nuttall-II表示4項1階Nuttall窗函數；Nuttall-III表示3項最小旁瓣Nuttall窗函數；Nuttall-IV表示4項最小旁瓣Nuttall窗函數。

表1 典型Nuttall窗函數的系數

表1中不同系數Nuttall窗函數所對應的幅頻特性曲線如圖1所示。其中，窗函數長度為N=64。

圖1 不同系數Nuttall窗函數所對應的幅頻特性曲線

由圖1可知，Nuttall-III和Nuttall-IV的旁瓣峰值電平分別為71.31 dB和97.19 dB，兩者的旁瓣衰減速率分別為5.62 dB/oct和5.65 dB/oct。Nuttall-II的旁瓣峰值電平為93.37 dB，旁瓣衰減速率為15.93 dB/oct。Nuttall-I的旁瓣峰值電平(82.72 dB)要小于Nuttall-II，但其旁瓣衰減速率(30.8 dB/oct)要明顯優于Nuttall-II，從而更好地抑制旁瓣泄漏。從圖1可見，在這4個Nuttall窗函數中，Nuttall-II的主瓣適中、旁瓣衰減速率最快，故本文選擇Nuttall-II窗函數作為加窗插值的窗函數。

2.2.2 加Nuttall窗函數插值FFT獲取暫降幅值和相位跳變

在確定電壓暫降的起止時刻之后，即可劃分相應的暫降穩定區間。通過在電壓穩定區間采用加Nuttall窗函數插值FFT來獲得相應區間的電壓幅值和相位信息，進而得到暫降幅值和相位跳變等特征量。

設采樣后的電壓信號為x(n)。考慮到實際電網環境往往伴有諧波存在，故有：

(6)

式中：H為諧波的最大階數；N為信號的采樣長度；fh為第h次諧波的頻率；fs為采樣率；Ah和φh分別為第h次諧波的幅值和初相位。

對式(6)采用Nuttall-II窗函數進行加權并進行離散時間傅里葉變換(discrete time Fourier transform，DTFT),可得：

(7)

式中：W(ω)為Nuttall-II窗函數的頻譜函數;ωh為第h次諧波的數字角頻率；w(n)為Nuttall-I型窗的時域離散表達式。

式(7)對應的離散傅里葉變換(discrete Fourier transform，DFT)為：

(8)

在非同步采樣條件下，kh為一個非整數。故設kh1和kh2(kh1≤kh≤kh2=kh1+1)分別為kh附近的2個局部最大值譜線。為求得kh，先定義一對稱系數α∈[-0.5,0.5]。由于kh1≤kh≤kh2=kh1+1，則有kh=kh1+α+0.5。再定義另一系數β如下：

(9)

因直接求解式(9)的反函數過于復雜，本文結合kh附近的2個局部最大值譜線并采用最小二乘法來擬合α。具體步驟如下。

①α在區間[-0.5,0.5]內按照步進0.01取101個點，分別計為αi(i=1,2,…,101)。

②根據暫降特征量的檢測精度要求，選取合適的擬合多項式階數L。通常取L為5或7，即可滿足要求。本文取L=7。

③通過αi、βi以及擬合階數L，可求得擬合多項式系數ql(l=1,2,…,L)。

④因β是α的偶函數，故擬合多項式的偶數項均為零，即:

α=q1β+q3β3+…+qLβL

(10)

由上述步驟可得，α和β采用Nuttall窗函數的7階擬合多項式為：

α=2.954 9β+0.176 8β3+0.089 8β5+

0.056 8β7

(11)

在得到α值后，穩定區間電壓信號x(n)的各次諧波頻率為：

(12)

各次諧波的幅值Ah可采用式(13)進行計算：

(13)

當N值較大時，可簡化為：

(14)

同理，ζ(α)亦可采用最小二乘擬合多項式逼近，因此可改寫為：

(15)

式中：α為擬合式自變量；cj為擬合式系數；J為擬合多項式的最高階數。

Ah是α的偶函數，故ζ(α)的6階擬合多項式為：

ζ(α)=3.209 8+0.919 2α2+0.141 9α4+

0.016 4α6

(16)

將式(16)代入式(14)，即可得到h次諧波的幅值Ah。

此外，第h次諧波的相位為：

(17)

2.3 電壓暫降特征量檢測流程

圖2為基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降特征量檢測方法流程圖。

圖2 基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降特征量檢測方法流程圖

本文所提基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降特征量檢測方法的主要步驟如下。

①對采樣后的被測電壓信號x(n)進行求導、求和運算，得到暫降起止時刻和持續時間。

②依據暫降起止時刻劃分電壓暫降穩定持續區間，對穩定持續區間的采樣信號進行加Nuttall窗插值FFT運算，得到基波附近的2個局部最大值譜線(kh1和kh2)。

③由基波附近2個局部最大值譜線(kh1和kh2)，可得擬合多項式(11)和式(16)的值。

④將擬合多項式的值分別代入式(14)和式(17)，可得電壓暫降穩定區間的幅值和相位。

3 仿真試驗與實際測試

本節分別在同時發生幅值暫降和相位跳變、諧波影響以及白噪聲影響等這3種情況下，采用本文方法對電壓暫降信號進行檢測。仿真時采樣頻率為6.4 kHz，采樣長度為10個周波。

3.1 同時發生幅值暫降和相位跳變時的電壓暫降檢測

設電力系統供電電壓U0為220 V、基波頻率f0為50 Hz，則同時存在幅值暫降和相位跳變時的電壓暫降仿真信號表達式為:

(18)

式中：t1為暫降起始時刻,t1=0.04 s；t2為暫降結束時刻,t2=0.12 s；λ為暫降深度,λ=0.8；φ為相位跳變量,φ=-30°。

圖3 基于分段加Nuttall窗插值FFT的起止時刻和持續時間檢測結果(Ⅰ)

3.2 諧波影響下的電壓暫降檢測

隨著大量的非線性和沖擊性負荷在電力系統的廣泛使用，對實際電網的電能質量造成了嚴重的污染，引入了大量的諧波成分。為此，在電壓暫降的基礎上疊加諧波成分，具體表達式為：

(19)

式中：U0為電網供電電壓，220 V；f0為基波頻率,50 Hz；H為最高的諧波階次；hi為各次諧波幅值系數,0.05≤hi≤0.3(i=2,3,…,H)；λ為暫降深度,取0.8；φ為相位跳變量,取-60°。

考慮到實際電力系統中第3、第5、第7次諧波的含量較多，故設定各次諧波的幅值分別為h3=0.15、h5=0.1、h7=0.05。含諧波分量的電壓暫降信號基于分段加Nuttall窗插值FFT的起止時刻和持續時間檢測結果(Ⅱ)如圖4所示。由圖4(a)可知，由于受到諧波的干擾，暫降信號的波形已經產生了明顯的畸變。由圖4(b)可知，信號在t′1=0.039 7 s時發生了幅值瞬時下降，并在t′2=0.119 8 s時恢復正常幅值，電壓暫降持續時間為td=t′2-t′1=0.080 1 s。同理，對劃分好的3個暫降幅穩定區間分別進行加Nuttall窗插值FFT運算，可以得到相應基波幅值，分別為219.994 4 V、176.000 1 V和220.000 0 V，基波相位分別為-1.582 4°、-62.812 3°和-0.000 0°。所以，暫降持續期間的暫降幅值為正常電壓幅值的80.00%，即暫降深度為0.8；電壓信號波形在暫降發生和結束時存在明顯的相位跳變，相位跳變量分別為-61.229 9°和62.812 3°。

圖4 基于分段加Nuttall窗插值FFT的起止時刻和持續時間檢測結果(Ⅱ)

3.3 白噪聲影響下的電壓暫降檢測

為檢驗方法的魯棒性，在上述仿真信號的基礎上疊加一定信噪比(signal to noise ratio，SNR)的高斯白噪聲。設置信噪比變化范圍為30～80 dB，步進量為10 dB。電壓暫降信號的暫降起止時刻(持續時間)、暫降深度以及相位跳變量等其他參數與式(19)一致。考慮到噪聲的統計特性，每個信噪比條件下的測試樣本個數選為3 000個。

本文方法在不同信噪比影響下檢測結果的平均相對誤差如表2所示。由表2可知，隨著測試樣本的信噪比逐漸減小，電壓暫降3個特征向量檢測所得相對誤差變化不大，表現出極好的魯棒性。暫降幅值檢測的最大相對誤差僅為0.000 3%。暫降持續時間檢測的最大相對誤差僅為0.195 3%。相位跳變檢測的相對誤差較大，其最大相對誤差為9.370 3%。

表2 不同信噪比影響下檢測結果的平均相對誤差

3.4 與其他檢測方法對比

為進一步驗證所提方法的準確性和有效性，將本文所得檢測結果分別與改進d-q變換檢測方法[13]、改進S變換檢測方法[14-15]的檢測結果進行對比。設置電網供電電壓U0為220 V，基波頻率f0為50 Hz，暫降信號起始時間為0.06 s，截止時間為0.12 s，暫降深度λ為0.4，相位跳變量為-30°，采樣速率均為6.4 kHz，采樣長度為1 280個點。不同方法所得電壓暫降特征量的檢測結果如表3所示。

表3 不同方法所得電壓暫降特征量的檢測結果

由表3可知，采用d-q變換檢測方法僅能檢測出暫降的起止時刻，無法獲得暫降深度和相位跳變等信息；采用改進S變換能夠獲得電壓暫降的起止時刻、暫降深度和相位跳變等信息，但準確度不如本文方法，且運算量較大；采用本文方法所得檢測結果在3種檢測方法中準確度最高，所得暫降起始時刻為0.059 7 s、結束時刻為0.119 8 s、暫降深度為40.00%、相位跳變量為30.816°。

3.5 實際測試與應用

在理論分析與仿真試驗的基礎上，設計了基于模數轉換器(analog to digital converter，ADC)+數字信號處理器(digital signal processor，DSP)架構的電壓暫降特征量硬件測試平臺。測試平臺結構如圖6所示。圖6中：ADC芯片采用ADI公司生產的16位、6通道同步采樣芯片AD73360L;DSP選用TI公司生產的32位定點型TMS320VC5502。

實際電壓信號U0經信號調理電路后送入ADC進行模擬信號到數字信號的轉換，再通過ADC的串行外設接口(serial peripheral interface，SPI)將采樣所得的數字信號送入DSP進行處理，最后在DSP中完成本文所提基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降檢測方法，即可得到電壓暫降信號的3個重要特征量。

圖5 測試平臺結構框圖

在實際測試中，采用Fluke 6105A作為信號標準源生成電壓暫降信號，設置如下參數：U0=220 V；暫降深度為0.8；基波頻率為50 Hz，并隨機加入3、5、7次諧波；ADC采樣率為6.4 kHz，采樣長度為10個周波；暫降發生和結束的時刻分別為0.08 s和0.12 s。實際檢測所得信號的起始時刻為0.079 7 s，結束時刻為0.119 8 s，暫降深度的相對誤差0.01%。由實際測試數據可知，基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降檢測方法所得測試結果完全滿足國家標準GB/T 30137—2013《電能質量 電壓暫降與短時中斷》的檢測誤差要求[16]。

4 結論

本文提出了一種基于分段加Nuttall窗插值FFT的電壓暫降檢測方法。該方法具有計算簡單、魯棒性好等特點，能夠準確、有效地檢測電壓暫降信號的3個重要特征量(暫降幅值、持續時間和相位跳變)。與現有檢測方法相比，本文方法具有檢測精度高、抗噪性好、易于嵌入式實現等優點。仿真試驗和實際構建的ADC+DSP硬件測試平臺驗證了本文方法的準確性和可靠性。所提方法對于暫降敏感設備特征分析、類型劃分以及暫降監測、評估和治理具有重要意義。