可調(diào)泊松比圓弧星型結(jié)構(gòu)的參數(shù)化設(shè)計(jì)

劉海濤 王彥斌 張爭(zhēng)艷

1.河北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津，300401 2.河北工業(yè)大學(xué)國(guó)家技術(shù)創(chuàng)新方法與實(shí)施工具工程技術(shù)研究中心，天津，300401

0 引言

力學(xué)超材料[1-2]是從各種特殊的微觀結(jié)構(gòu)中獲得獨(dú)特力學(xué)特性的一類人工材料。與傳統(tǒng)的材料科學(xué)不同，力學(xué)超材料的設(shè)計(jì)方法從微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)獲得傳統(tǒng)材料不具有的力學(xué)性能，例如低密度兼顧高剛度和高強(qiáng)度[3]、負(fù)泊松比[4]、負(fù)熱膨脹[5]和壓扭轉(zhuǎn)換[6]等特殊的力學(xué)特性。雖然現(xiàn)有的力學(xué)超材料難以通過(guò)傳統(tǒng)的制造工藝制備，但3D打印技術(shù)讓研究者可以在不考慮工藝和可制造性的前提下進(jìn)行力學(xué)超材料的設(shè)計(jì)。

負(fù)泊松比力學(xué)超材料在受到壓縮時(shí)截面收縮。近年來(lái)，研究者設(shè)計(jì)出了許多類型的負(fù)泊松比結(jié)構(gòu)：內(nèi)凹六邊形結(jié)構(gòu)[7]、手性結(jié)構(gòu)[8]、反手性結(jié)構(gòu)[9]、雙箭頭結(jié)構(gòu)[10]等。WANG等[11]提出了一種通過(guò)嵌鎖搭接得到三維內(nèi)凹六邊形的方法，并通過(guò)有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的正確性。

星型結(jié)構(gòu)作為一種典型的負(fù)泊松比力學(xué)超材料已經(jīng)被廣泛研究。THEOCARIS等[12]回顧了數(shù)值均勻化方法，并將其用于星型結(jié)構(gòu)。FU等[13]提出一種將菱形構(gòu)型與傳統(tǒng)構(gòu)型相結(jié)合的結(jié)構(gòu)。為解決星型結(jié)構(gòu)尖角導(dǎo)致的應(yīng)力集中和難以制造等問(wèn)題，WANG等[14]提出一種光滑花瓣型結(jié)構(gòu)，通過(guò)等幾何形狀優(yōu)化得到了提高連接順滑度、改善結(jié)構(gòu)性能的方法。AI等[15-16]研究了具有可變力學(xué)性能的雙材料星型結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)了3種新的星型結(jié)構(gòu)和1種具有可變熱力學(xué)性能的新型三維超材料。顏芳芳等[17]設(shè)計(jì)出負(fù)泊松比柔性蜂窩結(jié)構(gòu)，并將其應(yīng)用到變體機(jī)翼。沈建邦等[18]研究了具有負(fù)泊松比效應(yīng)可變弧角曲邊內(nèi)凹蜂窩結(jié)構(gòu)的力學(xué)性能。

為了防止出現(xiàn)應(yīng)力集中現(xiàn)象，筆者設(shè)計(jì)出一種具有可調(diào)泊松比的圓弧星型結(jié)構(gòu)，采用能量法對(duì)可調(diào)泊松比星型結(jié)構(gòu)進(jìn)行理論計(jì)算，推導(dǎo)出該結(jié)構(gòu)在不同幾何參數(shù)下的泊松比。有限元仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了理論的正確性。

1 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)

可調(diào)泊松比圓弧星型結(jié)構(gòu)如圖1a所示，其單胞的幾何參數(shù)見(jiàn)圖1b，其中，h為單胞高度的1/2，ah為圓弧桿圓心到垂直對(duì)稱軸或水平對(duì)稱軸的距離，bh為直桿起始點(diǎn)到單胞中心的距離，w為桿的寬度。h表征單胞的大小，系數(shù)a、b表征單胞的形狀，是影響結(jié)構(gòu)泊松比的主要因素。受到幾何構(gòu)成的限制，a、b的取值范圍分別為是[0.5, 1]和[0, 1]。

(a)陣列圖 (b)幾何尺寸

通過(guò)幾何計(jì)算得到派生的角度θ，如圖2所示，系數(shù)a、b和角度θ的關(guān)系為

圖2 幾何尺寸與角度θ的關(guān)系

(1)

根據(jù)三角函數(shù)變換得到sinθ與系數(shù)a、b的關(guān)系式：

[a2+(b-a)2]sin2θ-2a(1-a)sinθ-

(b-a)2+(1-a)2=0

(2)

求解式(2)可得角度θ(取值范圍為[0, π/2])：

2 理論分析

應(yīng)用能量方法分析結(jié)構(gòu)的變形機(jī)制，基于單胞的對(duì)稱性，對(duì)該結(jié)構(gòu)的1/4進(jìn)行分析。細(xì)長(zhǎng)桿受力時(shí)，結(jié)構(gòu)變形主要由桿件彎矩引起，正應(yīng)力和切應(yīng)力引起的變形相對(duì)較小?；谖墨I(xiàn)[18-20]簡(jiǎn)化的理論推導(dǎo)方法，本文在理論推導(dǎo)過(guò)程中忽略正應(yīng)力和切應(yīng)力對(duì)桿件的影響。如圖3a所示，對(duì)節(jié)點(diǎn)施加集中力FN時(shí)，由于結(jié)構(gòu)的對(duì)稱性，節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)D不會(huì)旋轉(zhuǎn)。對(duì)1/4單胞進(jìn)行受力分析時(shí)，A點(diǎn)處的截面受到大小為FN/2的集中力和大小未知的彎矩M，見(jiàn)圖3b。

(a)整體結(jié)構(gòu)受載 (b)1/4結(jié)構(gòu)受載

為了描述桿AB、CD和BC的彎矩，建立圖3a所示的以A和D為原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系和以BC段弧線圓心E為原點(diǎn)的極坐標(biāo)系，則段桿AB、BC、CD的彎矩分別為

MAB(y)=FNy/2-M

(3)

MBC(φ)=FNh[a-(1-a)sinφ]/2-M

(4)

MCD(x)=FN(bh+xtanθ)/2-M

(5)

其中，y和x的取值范圍是[0,h1]，h1=ha-h(1-a)sinθ；角度φ的取值范圍是[-θ,θ+π/2]。

節(jié)點(diǎn)A在集中力FN作用下的旋轉(zhuǎn)角是0，基于該邊界條件可得彎矩M的大小。施加大小為1的單位載荷，如圖4a所示，可以得到節(jié)點(diǎn)A的旋轉(zhuǎn)角度的表達(dá)式且轉(zhuǎn)角為零：

(6)

式中，E為材料的彈性模量；I為桿件的抗彎剛度。

求解式(6)可得

FNh(1-a)(sinθ+cosθ)]=

(7)

解得

M={FNh1[(1+tanθ)h1+2bh]/cosθ+

2FNh2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(8)

進(jìn)一步地，可得節(jié)點(diǎn)A、D之間的相對(duì)位移。如圖4b、圖4c所示，單獨(dú)作用大小為1的單位力(一側(cè)結(jié)構(gòu)受1/2的單位載荷作用)以計(jì)算兩節(jié)點(diǎn)在Y和X方向上的相對(duì)位移ΔYY和ΔYX。其中，單位力作用時(shí)的彎矩為

2018年11月8日，中國(guó)郵政中歐班列鐵路運(yùn)郵國(guó)際小包業(yè)務(wù)已經(jīng)正式開通，這預(yù)示著國(guó)際郵件可以搭載中歐班列這趟“順風(fēng)車”直接抵達(dá)歐洲腹地，實(shí)現(xiàn)歐洲23國(guó)“自由行”。據(jù)了解，中歐班列鐵路運(yùn)郵目前開通兩條線路，分別為重慶線和義烏線。重慶線中郵國(guó)際小包開辦城市為重慶、廣州、深圳、東莞四地，義烏線中郵國(guó)際小包開辦城市則為義烏和杭州兩地。兩條線路均可通達(dá)西班牙、荷蘭、英國(guó)、意大利、瑞典、比利時(shí)、法國(guó)、捷克、德國(guó)、挪威、白俄羅斯、瑞士、波蘭、斯洛伐克、芬蘭、立陶宛、丹麥、愛(ài)爾蘭、葡萄牙、奧地利、烏克蘭、拉脫維亞和匈牙利等23個(gè)歐洲主要國(guó)家。

(a)承受單位彎矩 (b)承受Y向單位力

2h2(1-a)[a(2θ+π/2)+(1-a)(sinθ+cosθ)]}·

[8h1/cosθ+4h(1-a)(2θ+π/2)]-1

(9)

在Y方向施加單位力時(shí)，各桿的彎矩為

(10)

(11)

(12)

在X方向施加單位力時(shí)，各桿的彎矩為

(13)

(14)

(15)

最終，可得A點(diǎn)、D點(diǎn)Y方向和X方向的相對(duì)位移ΔYY和ΔYX：

(16)

(17)

表示相對(duì)位移ΔYY、ΔYX大小的量綱一系數(shù)ΔYYEI/(FNh3)和ΔYXEI/(FNh3)隨系數(shù)a和b的變化如圖5、圖6所示。系數(shù)a取值為1且系數(shù)b取值約為0.55時(shí)的位移ΔYY最小，即等效彈性模量最大。系數(shù)a取最小值、系數(shù)b=0時(shí)，ΔYY最大。

圖5 受力時(shí)ΔYYEI/(FNh3)隨系數(shù)a和b的變化

圖6 受力時(shí)ΔYXEI/(FNh3)隨系數(shù)a和b的變化

受到Y(jié)方向載荷時(shí)，X方向位移ΔYX受系數(shù)a的影響較??；隨著系數(shù)b的增大，ΔYX明顯減小，且在系數(shù)b大于0.55時(shí)ΔYX為正值，即泊松比為負(fù)，此時(shí)結(jié)構(gòu)具有負(fù)泊松比特性。

二維結(jié)構(gòu)泊松比的計(jì)算公式為

(18)

式中，Lx、Ly分別為單胞結(jié)構(gòu)在X、Y方向的寬度，Lx=Ly。

將數(shù)據(jù)代入式(18)得到作用集中力下結(jié)構(gòu)泊松比與系數(shù)a和b的關(guān)系，如圖7所示。系數(shù)a增大或系數(shù)b減小時(shí)，結(jié)構(gòu)的泊松比都會(huì)減?。籥=1，b=0時(shí)，結(jié)構(gòu)泊松比達(dá)到理論上的最小值-1。

圖7 結(jié)構(gòu)泊松比ν隨系數(shù)a和b的變化

3 有限元模擬

為了驗(yàn)證理論結(jié)果的正確性，開展了一系列有限元仿真。選用的材料為光敏樹脂，其彈性模量E=2.65 GPa，泊松比ν0= 0.4。模擬不考慮材料自重、制造缺陷和預(yù)應(yīng)力的影響。模擬過(guò)程中，單胞高度h(h=30 mm)和桿件寬度w(w=1 mm)不變。有限元仿真的邊界條件為Y方向下端固定，上端施加0.6 mm位移(1%的拉伸應(yīng)變)。網(wǎng)格類型為二次四面體實(shí)體單元C3D10。a=0.5且桿AB與桿CD平行時(shí)，網(wǎng)格精度對(duì)結(jié)構(gòu)泊松比的影響規(guī)律如圖8所示，可以看出，網(wǎng)格尺寸為0.25 mm時(shí)，結(jié)構(gòu)泊松比的模擬結(jié)果趨于穩(wěn)定，故網(wǎng)格尺寸設(shè)置為桿件寬度的1/4，即0.25 mm可以保證有限元仿真的精度。

圖8 網(wǎng)格尺寸對(duì)結(jié)構(gòu)泊松比ν模擬結(jié)果的影響

圖9 結(jié)構(gòu)泊松比ν隨系數(shù)b的變化(a=1)

圖10 結(jié)構(gòu)泊松比ν隨系數(shù)a的變化(桿AB與桿CD平行)

如圖9、圖10所示，有限元結(jié)果與理論結(jié)果吻合較好。系數(shù)a趨于1且b=0時(shí)，結(jié)構(gòu)泊松比趨于-1。值得注意的是，在直桿平行的情況下(圖10)，系數(shù)a接近1時(shí)，泊松比接近-1，且圓弧的設(shè)計(jì)避免了尖角較為嚴(yán)重的桿件重疊現(xiàn)象，這意味著較小的圓弧可以在不明顯削弱負(fù)泊松比效應(yīng)的同時(shí)提高此結(jié)構(gòu)的可制造性。

實(shí)際工程應(yīng)用對(duì)超材料泊松比有不同的需求，例如在材料受到軸向壓縮時(shí)，橫截面不變即零泊松比。對(duì)此結(jié)構(gòu)來(lái)說(shuō)，可以得到特定泊松比的系數(shù)a和b組合并不是唯一的。不同結(jié)構(gòu)泊松比分的系數(shù)a和b的曲線見(jiàn)圖11。

圖11 不同泊松比的系數(shù)a和b的組合曲線

4 實(shí)驗(yàn)分析

為了驗(yàn)證理論結(jié)果和有限元仿真的正確性，采用3D打印技術(shù)制備了一組圓弧星型結(jié)構(gòu)試件。試件由上海聯(lián)泰科技股份有限公司生產(chǎn)3D打印機(jī)(Lite 600)進(jìn)行制備，材料為光敏樹脂(DSM IMAGE800)。圖12所示為高度30 mm、寬度1.5 mm，a為0.5、0.6、0.7、0.8、0.9的試件(從左往右)。測(cè)定泊松比時(shí)，將試件在Y方向上的一端固定，另一端加載以產(chǎn)生一定位移，測(cè)量受載前后Y、X方向結(jié)構(gòu)寬度之差，得到泊松比的實(shí)驗(yàn)值。實(shí)驗(yàn)所得數(shù)據(jù)點(diǎn)與相應(yīng)的理論結(jié)果和有限元仿真結(jié)果如圖13所示。理論分析、有限元分析和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致性較好，說(shuō)明了理論方法和有限元仿真的正確性。

圖12 兩直桿平行的3D打印試件

圖13 結(jié)構(gòu)泊松比ν隨系數(shù)a的變化的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證(桿AB與桿CD平行)

5 結(jié)論

(1)利用能量法推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)在Y方向和X方向的相對(duì)位移，并用有限元軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，得到不同幾何參數(shù)下的結(jié)構(gòu)泊松比，驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性。

(2)采用半徑較小的圓弧桿代替?zhèn)鹘y(tǒng)星型結(jié)構(gòu)的尖角時(shí)，結(jié)構(gòu)的負(fù)泊松比效應(yīng)小幅減弱，以圓弧代替尖角的設(shè)計(jì)提高了結(jié)構(gòu)的可制造性。

(3)基于特定的泊松比，可以得到一系列的幾何參數(shù)組合，在此基礎(chǔ)上根據(jù)實(shí)際需求擇優(yōu)選取幾何參數(shù)以滿足工程需要。