滾動直線導軌副的滾道中心距誤差與承載性能的關系

梁 醫 王旭東 王曉藝 馮健文 馮本哲 歐 屹 馮虎田

1.南京理工大學機械工程學院，南京，2100942.廣東凱特精密機械有限公司，江門，529100

0 引言

滾動直線導軌副的剛度、摩擦力和運動精度直接影響高檔數控機床及高精密器械的承載性能和運動精度，故對導軌副的剛度及摩擦力等關鍵承載性能指標有較高的要求[1-2]。國內外學者對導軌副剛度的理論仿真和試驗檢測有較為充分的研究，解決了應用赫茲接觸理論進行靜剛度仿真的問題，開展了剛度的理論和試驗對比驗證，研究了摩擦力的影響因素。ZOU等[3]、OHTA等[4]、陸艮峰[5]主要關注磨損、滑塊變形、外載荷以及曲率比(滾道圓弧半徑和滾珠直徑的比值)對接觸剛度的影響。SHAW等[6]研究了無預載的導軌副靜剛度并提出計算接觸角的方法。王民等[7]、張巍等[8]基于赫茲接觸理論對滾珠和滾道的接觸面進行了力學分析與變形分析，計算了導軌在不同預緊力下的臨界載荷和剛度變化，分析了預緊力和接觸角對五類剛度的影響規律。WANG等[9]在計算導軌副剛度時提出的力學模型假設滑塊和軌道是剛性的，只在滾道與球的接觸區域會產生變形。耿寶龍[10]對導軌副在垂直集中載荷、扭矩影響下的滾珠接觸力進行了分析和計算。PAWEL等[11]提出一種基于等效接觸模型并帶預緊力的直線導軌剛度簡化模型，以節省計算時間。DADALAU等[12]、MAHDI等[13]、王禹林等[14]研究了滾動直線導軌副法向、橫向、扭轉靜剛度的檢測方法和裝置。CHEN等[15]、SUN等[16]通過有限元仿真和試驗方式對比研究了導軌副的靜剛度。OLARU等[17]、MAHDI等[18]研究了預緊力、載荷、潤滑劑黏度、速度等對摩擦力的影響規律。TETSUYA等[19]、龔燦[20]、高永坤[21]獲得了滾珠節距、滾道表面粗糙度、曲率比、滾珠過盈量等結構參數對摩擦力的影響。上述文獻研究的對象是具有理想尺寸、不帶誤差的導軌副，而真實的零件是包含誤差的，因此已有的研究模型過于理想，不符合工程中的真實情況。

本文基于赫茲接觸理論及滑塊裙部彈性變形理論，建立導軌副滾道中心距誤差與承載性能的關系模型，深入分析導軌副滾道中心距誤差和滾珠過盈量對導軌副摩擦力及靜剛度的影響，通過對比試驗數據和理論計算結果來驗證理論模型的正確性。

1 滾道中心距誤差與承載性能的理論模型

1.1 滾道中心距誤差與靜剛度的理論模型

滾動直線導軌副由導軌、滾動體、滑塊、返向器、密封裝置等組成。四方向等載荷型滾動直線導軌副在機床行業應用較廣，其橫截面如圖1所示。

圖1 滾動直線導軌副橫截面

圖2中，W1、ΔW1分別為導軌滾道中心距及其加工誤差，W2、ΔW2分別為滑塊滾道中心距及其加工誤差。如圖3所示，當導軌副受向下的垂直集中載荷Fv時，滑塊除了會向下產生一定的變形外，底部也會向兩側張開，導軌和滑塊滾道間的接觸位置發生變化，滾道的曲率中心位置也會移動。

(a)導軌橫截面圖 (b)滑塊橫截面圖

(a)導軌副受垂直載荷時的整體位移

圖3a中，i為滾道序號，i=1,2,3,4；Fij為導軌副4列滾道中第i列滾珠與導軌滾道間的赫茲接觸力，即滾珠與滑塊滾道間的赫茲接觸力；δy為導軌副承受外部載荷時的位移量；α0為第一、四列滾道的初始接觸角。圖3b中，Or1、Or4分別為變化前導軌第一、四列滾道的曲率中心，O′r1、O′r4分別為變化后導軌第一、四列滾道的曲率中心，Oc1、Oc4分別為變化前滑塊第一、四列滾道的曲率中心，O′c1、O′c4分別為變化后滑塊第一、四列滾道的曲率中心；Ob、O′b分別為變化前后的滾珠球心，rr為導軌滾道的曲率半徑，rc為滑塊滾道的曲率半徑，rb為滾珠半徑。

工程應用時，導軌與滑塊間常需預緊以提高導軌副的剛性，這種預緊一般是通過增大滾珠的直徑、使滾珠緊緊地擠入導軌與滑塊之間實現的。導軌副內部的這種預緊力稱為預加載荷。

滾珠存在過盈量時，導軌滾道與滾珠間、滑塊滾道與滾珠間產生的赫茲接觸變形為初始法向變形δ0。由于預緊載荷使導軌與滾珠均發生變形，因此導軌側和滾珠側的變形量分別為δ0/2。滑塊與滾珠間的變形同理。故圖3b中的滾珠與導軌及滑塊在第一、四列滾道的變形量δ1、δ4包含滾珠過盈導致的初始變形量。

由于導軌副結構是左右對稱分布的，故只需對導軌副的單側進行分析即可。導軌副受外部垂直載荷時，滾珠與滾道相互接觸，根據赫茲接觸理論可知，滾珠的形狀將由圓球變為橢球。此外，滑塊受力后，其裙部將產生變形，向兩側張開，因此滾道的曲率中心位置、接觸角也會發生變化。

導軌副中導軌、滑塊的滾道曲率中心、位移變化量、接觸角等參數變化如圖4所示。以導軌副第一列滾道為例，ΔW1/2為單側導軌滾道中心距的加工誤差，ΔW2/2為單側滑塊滾道中心距的加工誤差，在外部垂直集中載荷、滾道中心距加工誤差作用下，導軌滾道曲率中心由Or1變為O′r1，滑塊滾道曲率中心由Oc1變為O′c1。Δc1、Δc4分別為外部垂直載荷作用下滑塊第一、第四列滾道的彈性變形量，α1為變化后第一列滾道的接觸角。圖4中的兩個圖形關于X軸對稱，X軸下側圖形中的符號與X軸上側的圖類似，不再贅述。

圖4 導軌副滾道曲率中心變化

變化后的導軌、滑塊滾道曲率中心距在第一、四列滾道的受力及滾珠變形量不同，需分別分析。第一列滾道曲率中心的距離在變化前的Oc1Or1和變化后的O′c1O′r1可分別記為a1和a′1。分析圖4，可得

(1)

同理，可得第四列滾道曲率中心距

(2)

則第一列滾道滾珠的變形量為

δ1=a′1-a1+δ0

(3)

第四列滾道滾珠的變形量為

δ4=a′4-a4+δ0

(4)

第一、四列滾道與滾珠的接觸變形系數相同且在垂直方向的位移相同，故由赫茲接觸理論可得[22]

(5)

(6)

(7)

(8)

Cb=Cbr+Cbc

(9)

由赫茲接觸變形公式可得導軌副中第一列、第四列單個滾珠的法向接觸力。對導軌副進行受力分析，當垂直集中載荷Fv不超過臨界載荷Fby時，導軌副下側的滾珠依然與滾道接觸，并承受壓力。四列滾道中的滾珠在外部垂直集中載荷作用下均受壓，以滑塊為示力體，根據法向力平衡條件可得

Fv+2neF1jsinα1-2neF4jsinα4=0

(10)

式中，ne為每列滾珠中受力滾珠的個數。

當Fv超過臨界載荷Fby時，下排滾珠會脫離滾道，滾珠與滾道之間不受力，上排滾珠仍處于受壓狀態，即

Fv-2neF1jsinα1=0

(11)

考慮滾道中心距加工誤差后，滾動直線導軌副垂直靜剛度的微分形式為

(12)

1.2 滾道中心距誤差與摩擦力的理論模型

導軌、滑塊滾道中心距存在加工誤差或滾珠存在過盈量時，導軌副四列滾道中的每一列滾珠都會受導軌滾道和滑塊滾道的擠壓，使滾珠與滾道產生法向接觸力。在該法向接觸力的影響下，滾珠與導軌及滑塊滾道之間會產生赫茲接觸變形。考慮滾道中心距誤差時，導軌副的受力如圖5所示。圖5a中，Fi為導軌副四列滾道第i列中的滾珠所受的法向接觸力；α0為導軌副變化前的初始接觸角；圖5b中，δbr、δbc分別為導軌副滾道中心距存在加工誤差時的滾珠與導軌、滑塊滾道間的接觸變形量；δ0為滾珠過盈量導致的滾珠與導軌及滑塊滾道間的接觸變形。

(a)導軌副無外載時的內部應力

由于滾動直線導軌副的結構是左右對稱分布的，故只需對導軌副的單側進行分析。由導軌副結構可知，在導軌、滑塊滾道中心距偏差分別為ΔW1和ΔW2時，其四列滾道中每一列滾珠的受力、變形、接觸角變化都相同。如圖6所示，以導軌副第一列滾道為例，ΔW1/2為單側導軌滾道中心距加工誤差，滾道曲率中心由Or1變為O′r1；ΔW2/2為單側滑塊滾道中心距加工誤差，滾道曲率中心由Oc1變為O′c1；α2為導軌副變化后第一、四列滾道間接觸角。由于上下圖是對稱的，下圖類似，不一一贅述。

圖6 滾道中心距誤差下曲率中心位置變化

變化前導軌、滑塊滾道曲率中心距為記為a，將之分解得到

(13)

變化后導軌、滑塊滾道曲率中心距為記為a′，將之分解可以得到

(14)

從導軌副的接觸結構可以看出，當導軌、滑塊滾道中心距存在加工誤差時，滾珠變形量

δb=a′-a≈(ΔW1+ΔW2)cosα2/2

(15)

從圖5中可以看出，在導軌和滑塊滾道中心距存在加工誤差時，由赫茲接觸理論可得滾珠與導軌及滑塊滾道的法向接觸變形：

(16)

則滾珠的總變形量為

(17)

滾珠存在過盈尺寸時，滾珠的法向總變形量為

δ=δb+δ0=(ΔW1+ΔW2)cosα2/2+δ0

(18)

從而得到滾珠與滾道之間的法向接觸力。由于導軌副不受外部載荷的作用，所以導軌副的四列滾道與滾珠之間的法向接觸力相同，則導軌副的總摩擦力

(19)

式中，μ0為導軌副的摩擦因數；F0為刮油件阻力。

2 導軌副承載性能試驗方案

2.1 試驗樣件

為驗證導軌副靜剛度及摩擦力理論模型的正確性，采用廣東凱特精密機械有限公司的25型3級精度的導軌副進行試驗，樣件規格參數見表1，樣件性能參數見表2。

表1 樣件規格參數表

表2 導軌副零件性能參數

2.2 試驗流程

試驗的導軌副樣件由具有不同誤差的導軌、滑塊以及不同直徑的滾珠經組合、裝配得到。導軌副的不同預緊等級是通過改變滾珠的直徑(規值)，形成不同的過盈量來實現的。完成裝配后，對導軌副樣件進行靜剛度和摩擦力性能檢測。

2.3 靜剛度試驗

為驗證滾道中心距誤差對不同預緊等級導軌副靜剛度的影響，利用滾動直線導軌副靜剛度試驗臺測試導軌副靜剛度。如圖7所示，該試驗臺包括控制臺、導軌副壓塊、垂直壓滑塊夾具、導軌安裝塊、傳感器。導軌副靜剛度試驗臺控制電機以0.2 mm/min的速度向下運動，經由導軌副壓塊、滑塊夾具給導軌副施加垂直向下的力，以額定動載荷的1%作為預加載荷、額定動載荷的20%作為最大加載載荷，通過位移傳感器將變形量傳輸到控制臺中進行數據處理。更換導軌副樣件，重復試驗，記錄各導軌副樣件靜剛度試驗值，并與仿真值進行比較。

圖7 導軌副靜剛度測量裝置

2.4 摩擦力試驗

如圖8所示，利用滾動直線導軌副綜合性能試驗臺對導軌副摩擦力進行測量。該試驗臺包括控制臺、花崗巖床身、驅動裝置、測量裝置、滑臺。測量裝置采用力傳感器來推動滑塊進行勻速運動，并將測得的摩擦力傳到控制臺待后續處理。通過程序控制滑塊以1 m/min的速度移動，檢測導軌副的正反向摩擦力，每組測量3次取其平均值作為測試結果。

圖8 導軌副摩擦力測量裝置

3 理論仿真及試驗驗證分析

利用滾動直線導軌副靜剛度和摩擦力試驗裝置以及制定的相關試驗方法，對不同滾道中心距加工誤差的導軌和滑塊，以及不同預緊等級的滾動直線導軌副分別進行靜剛度和摩擦力的試驗，并將試驗結果與理論仿真結果進行比對分析。

3.1 靜剛度理論仿真與試驗結果分析

由圖9可知，試驗與仿真的靜剛度變化趨勢相同，靜剛度與滾道中心距誤差為非線性關系。在滑塊滾道中心距誤差不變的情況下，隨著導軌滾道中心距誤差的增大，滾珠、導軌和滑塊滾道的赫茲變形面積增大，法向變形量減小，靜剛度增大。

分析圖9可知，在導軌滾道中心距誤差不變的條件下，滑塊滾道中心距誤差(圖中為ΔW2)由0依次變化到-4 μm、-8 μm時，靜剛度是逐步減小的。但滑塊滾道中心距誤差為-12μm時，滑塊裙部變形的影響凸顯，使導軌副的靜剛度變大。在P2預緊等級的導軌副(圖9c)中，滑塊滾道中心距誤差為-12 μm時，靜剛度為最大。

(a)P0預緊等級

由試驗結果可以看出，實測剛度小于理論剛度。從受力的角度推測理論剛度較大的原因是，實際導軌副內部的接觸沒有理論模型的均勻、理想。理論分析時，假設導軌滾道、滑塊滾道、滾珠都具有理想的尺寸、位置和幾何形狀，所有的滾珠大小一致且都與滾道接觸，承受的載荷相同。但實際導軌副的滾道和滾珠都有尺寸誤差和形狀誤差，不能保證所有滾珠都與滾道接觸，或即使接觸，各滾珠所受的載荷也不同。因此，實際導軌副中與滾道接觸的滾珠數目小于理論假設或各滾珠的載荷不均勻，都使滾道和滾珠的實際變形大于理論假設的變形，最終造成實測剛度小于理論剛度。

從滾道中心距誤差對靜剛度影響趨勢可以看出，在P1預緊等級下，導軌副靜剛度受滑塊滾道中心距誤差的影響較大；在P2預緊等級下，導軌副靜剛度受導軌滾道中心距誤差影響較大。導軌副3種預緊等級下的靜剛度理論值與試驗值在圖9中有所體現，故以導軌副預緊等級為P1和P2為例，對比分析靜剛度與滾道中心距誤差的關系，試驗數據與理論數據及相對誤差如表3所示。預緊等級為P1時，靜剛度受滑塊滾道中心距誤差的影響較大，導軌和滑塊滾道中心距誤差絕對值從0變為12 μm時，導軌副靜剛度的實測值為50.23～88.84 N/mm，理論值為60.06～100.11 N/mm。預緊等級為P2時，靜剛度受導軌滾道中心距誤差的影響較大，導軌和滑塊滾道中心距誤差絕對值從0變為12 μm時，導軌副靜剛度的實測值為59.46～100.47 N/mm，理論值為104.77～108.98 N/mm。

表3 靜剛度試驗數據與理論計算數據

由于理論計算模型中的所有滾珠與滾道均為均勻接觸，而實際試驗中的滾珠與滾道為非均勻接觸，故理論計算得到的剛度均高于實際試驗測量值。另一方面，由于理論計算模型中計入了滑塊裙部變形的影響，因此試驗數據與理論仿真得到靜剛度數值的誤差較小。由表3可以看出，兩者相對誤差為2.46%～8.20%，且絕大多數相對誤差為2%～5%，試驗結果和理論計算結果基本一致。

3.2 摩擦力理論仿真與試驗結果分析

由圖10可以看出，導軌副摩擦力的試驗值與仿真值的變化趨勢相同；由于滾道中心距誤差絕對值為0～12 μm，范圍較小，因而導軌副摩擦力隨滾道中心距誤差的變化近似于線性。由于摩擦力的理論值與試驗值在圖10中有所體現，故以滑塊滾道中心距加工的最小誤差0和最大誤差-12 μm兩種極端情況為例，對比分析摩擦力與滾道中心距誤差的關系，實測值、理論值及相對誤差如表4所示。以P2預緊等級的導軌副為例，當滑塊滾道中心距誤差為0、導軌滾道中心距誤差從0變為12 μm時，摩擦力的實測值為7.74～14.10 N，理論值為8.00～13.23 N；滑塊滾道中心距誤差為-12 μm、導軌滾道中心距誤差從0變為12 μm時，摩擦力的實測值為12.17～18.84 N，理論值為13.23～19.52 N，可以看出，導軌滾道中心距誤差變化時，摩擦力實測值的變化范圍和理論值的相差較小，可認為基本一致。

(a)P0預緊等級

由表4可以看到，摩擦力的實測值與理論值的相對誤差大部分都小于10%，只有一個為11.33%，說明試驗結果和理論仿真結果基本一致。

表4 摩擦力試驗數據與理論計算數據

在3種預緊等級下，當滑塊滾道中心距誤差分別為0和-12 μm時，摩擦力隨導軌滾道中心距誤差變化的實測值為2.57～6.67 N；理論值為2.34～6.29 N。摩擦力的實測值與理論值變化最大的情況一致，均是導軌副預緊等級為P2、滑塊滾動中心距誤差為-12 μm、導軌滾道中心距誤差從0變為12 μm時的情況，該條件下的實測值為6.67 N，理論值為6.29 N。

4 結論

(1)導軌副靜剛度的理論值與試驗值分布趨勢相同，靜剛度與滾道中心距誤差為非線性關系；由于理論模型中的接觸狀態比實際情況中的理想，因此剛度的計算值大于試驗值；理論模型考慮了實際試驗時的滑塊裙部變形，因此剛度的理論值與試驗值的相對誤差較小，為2.46%～8.20%，說明理論計算與試驗實測一致性較好。

(2)導軌副的預緊等級為P1時，靜剛度受滑塊滾道中心距加工誤差的影響較大，靜剛度的實測值為50.23～88.84 N/mm，理論值為60.06～100.11 N/mm；預緊等級為P2時，靜剛度的實測值為59.46～100.47 N/mm，理論值為104.77～108.98 N/mm。

(3)導軌副摩擦力的理論值與試驗值整體趨勢相同，摩擦力與滾道中心距誤差近似為線性關系；滑塊滾道中心距誤差從0變為-12 μm時，絕大部分的相對誤差均于10%，仿真與試驗的結果基本一致。

(4)從實測值和理論值來看，在預緊等級一定、滑塊滾道中心距誤差一定時，摩擦力隨導軌滾道中心距誤差變化而變化的趨勢是一致的。當導軌滾道中心距誤差由0變化到-12 μm時，實測的摩擦力由2.57 N變化到6.67 N，理論的摩擦力由2.34 N變化到6.29 N，趨勢一致。