基于Abramovich射流理論的飛機尾流數值模擬?

潘衛軍 張衡衡 殷浩然 王 昊 王 玄

（中國民航飛行學院空中交通管理學院 廣漢 618307）

1 引言

機場中跑道是飛機起飛和降落的場所，隨著航班數量的增多，飛機起飛和降落的時間和距離間隔不斷縮小，而飛機降落過程中產生的尾流消散則需要一定的時間，由此就會導致一些飛機將處于前機的尾流中，使后機的性能受到影響，小則影響后機降落的操縱性能，大則會導致后機產生滾轉，使飛機失去控制。通過研究前機尾流對后機的影響，合理的縮減前后機的尾流間隔，提高機場等終端區的運行效率。

2 模型基本定理

所有自然現象都可以用質量守恒定量、能量守恒定律以及動量守恒三大守恒定律解釋，飛機湍流運動作為流體運動中的一種，因此三大守恒定律方程也適用于此。

2.1 質量守恒方程

質量守恒定律可以表示物質不論發生什么變化和過程，物質的總質量保持不變。該守恒方程可用式（1）表示：

式（1）中：S為參與變化和某種過程的物質總質量；Τ為變化或過程時間；ν為速度矢量；ρ為流體密度。

2.2 動量守恒方程

動量守恒定律可表示為作用在該微元體上的外力為零或外力矢量和為零。動量守恒定律可用式（2）表示：

式（2）中各符號含義：F為外部體積力；Ρ為靜壓力；g為重力體積力；τ為黏性應力張量。

2.3 能量守恒方程

能量守恒定律可表示為微元體作為孤立系統時總能量保持不變。該守恒方程的數學表達式為式（3）。

在求解上述三大方程時通常應用直接數值模擬和非直接數值模擬的方法，由于直接數值模擬要求在小湍流下進行，所以計算量很大，此方法目前只應用在求解低雷諾數的流體問題上，非直接方法則要求簡單，因此經常用作計算流體模型的方法，通常包括大渦模擬、雷諾平均和統計平均三種子方法［2］。

目前建立的飛機尾流模型有S-A模型，k-ε模型和k-ω SST模型。隨飛機的向前平飛，尾流區的湍流速度逐漸下降。經過一段距離后，在周圍氣流作用下，風速逐漸恢復。上述這些模型不能較準確描述飛機尾流速度衰減和逐步恢復的整個過程。而采用Abramovich（1963）射流理論建立飛機全場尾流模型（簡稱AV尾流模型）能較準確地模擬此過程。本文將使用基于Abramovich（1963）射流理論建立的尾流模型對飛機尾流進行建模，并分析尾流的衰減和耗散趨勢［3］。

3 基于射流理論的尾流模型

AV尾流模型是在Abramovich（1963）射流理論基礎上發展的一種全場尾流模型，在使用AV尾流模型分析尾流區的速度特性過程中，首先根據尾流區的擴散特點將尾流區分不同階段，在不同階段，尾渦的擴散受到自身強度和背景風場的影響，大雷諾數無邊界約束的自由湍流會與邊界上活躍的大氣混合將周圍氣流卷吸進來并不斷擴大，在此過程中尾渦的強度因不斷吸入周圍氣流消耗能量而環量減小，一段時間后，湍性射流則可用邊界層理論進行計算分析。如圖1所示，在靜止流體中存在一不可壓縮平面湍性射流。其軸向平均速度ū（x，y）不等于零，整個區域由中心軸線和上下兩個“邊界層”組成，在圖1中理論邊界由虛線表示，因此定常平面湍性射流與湍流邊界層方程組近似成立，式（4）為湍流邊界層方程組。

圖1 平面湍性射流

根據以上方程，H.賴夏特等進行了完整的理論分析。其主要結論為

1）射流不同位置處的寬度與該位置到射流源的距離成正比，如果忽略雷諾數的影響，此射流大約以13°半角向后擴張；

2）射流速度分布為

3）射流軸線上的最大速度與到射流出口的距離的平方根成反比。

飛機尾流要比不可壓縮流體的常壓自由射流更復雜。飛機尾流的形成如同氣流在旋轉發生器中高速噴出，旋轉向后噴向一個無邊界空間，即旋轉射流。旋轉射流中既有直流射流的軸向分速和徑向分速，又有一個切向分速，而且其徑向分速比直流射流中的徑向分速大得多。

根據實驗得出，自由旋轉射流的任一截面上，旋轉動量矩和軸向動量矩都為固定常數，即：

式中Gφ為旋轉動量矩，Gx為軸向動量通量，Wt和Wa分別為軸向分速和切向分速，P為射流任意斷面的靜壓，R為射流任意斷面的半徑。

由于這些動量通量可以看成是旋轉射流空氣動力學的特征，所以可用旋轉強度準則或旋轉數來表征旋轉射流的特性，即：

式中R0為尾流渦核的定性尺寸，一般取其半徑，在飛機尾流中，渦核半徑約為機翼展長的5%～10%。旋轉動量矩Gφ越大，表明氣流旋轉越強烈；軸向動量矩Gx表示氣流向前運動的能力，軸向速度越大，前進能力越強［4］。

實驗表明，旋轉數S也是由幾何上相似的渦核所產生的旋轉射流的重要相似準則。旋轉射流的軸向和切向速度特征，卷吸量、擴張角和射流的射程等重要參數都與旋轉數S有關。當旋轉數低于一定數值時，軸向反向壓力梯度不夠大，不足以引起內部回流，軸向速度均為正值，稱之為弱旋轉射流。由風洞實驗可得，當S=0時，無旋流；S≤0.6時為弱旋流，S＞0.6時為強旋流。飛機尾流一般為 S≤0.6的弱旋流［5］。

3.1 速度變化趨勢

旋轉射流包括切向速度vθ，軸向速度vx和徑向速度vr，流體在旋轉發生器中高速噴出后，其三種速度隨軸向的變化趨勢如圖2所示，其中d為翼展寬度，x為某一截面a到渦核的軸向距離。隨著增大，當時，切向速度vθ、軸向速度vx和徑向速度vr急劇減小，當以后，vθ、vr基本上消失，只有vx存在。如圖1為三種速度變化趨勢圖，其中 A曲線表示 vθmax/vθ，B曲線表示vxmax/vx，C曲線表示 vrmax/vr。

圖2 速度變化趨勢

3.2 軸向速度分布

在一個切向空氣旋轉發生器上進行了試驗，其結果如圖3所示。其中橫坐標表示為某一截面a的半徑b，縱坐標表示為某一圓形截面a上隨半徑的增大，軸向速度與該截面a上最大速度的比值，從圖3上可以看出，當S值小于0.6時，某一截面上的軸向速度的分布隨S值的增大，軸向速度截面的半徑越大，且各個S下的軸向速度變化趨勢是相似的，而且其分布都服從高斯方程。

圖3 軸向速度分布圖

相似的軸向速度分布圖滿足于如下的指數方程：

式中Wa和Wam表示某截面任意點上的軸向速度和最大軸向速度；KU為分布常數，它隨旋轉數而變，由經驗公式確定；r為徑向坐標；a為渦核原點距離坐標原點的距離。

3.3 切向速度分布

切向速度Wt的徑向分布以對r/(x+a)的形式表示在圖4上。從該圖可以看出，某一截面處從距離渦核兩個直徑距離起，在所有被研究的旋轉數下，切向速度的分布圖中變化趨勢是相似的。切向速度分布圖的內區是線性的，相應于固體物體的旋轉特性，也即相應于具有角速度的強制旋渦型流動［6］。

圖4 切向速度分布

切向速度分布圖的外區相應于常數的自由旋渦型流動，相似的切向速度分布圖可以由一個三階多項式予以描述即：

式中C、D和E為實驗常數，a為渦核距離坐標原點的距離，r為徑向坐標。

3.4 射流速度的衰減

根據理論上的推導，最大軸向速度的衰減和最大切向速度的衰減由下列公式表示：

式（15）中，K1為軸向速度衰減常數；K2為切向速度衰減常數；其中為ξ=r/(x+a)。

軸向速度最大值的衰減情況示于圖5上。圖中Wamo是x=0處最大值。弱旋轉射流的勢能能擴張到兩個渦核直徑的距離，并且在四個直徑以后按雙曲線規律衰減。衰減常數K1是根據在完全發展區中速度最大值的平均斜率來確定的。

圖5 軸向速度最大值的衰減情況

圖6 切向速度最大值的衰減圖

3.5 射流的擴張角

射流的擴張角α，對弱旋轉射流來說是隨旋轉數S的增加而增加的，它由式（16）確定：

一些人的試驗結果指出，射流的擴張角并不一直隨S而增加，而趨向于達到某一漸近值。而另一些人的試驗指出，α與S是一個線性增加的關系。Chigier等在研究了各個試驗者所用的不同的試驗條件后指出，如果在旋轉發生器孔口的平面上與軸線垂直有一約束的情況，擴張角α就不一直隨S的增加而增加。如果沒有這樣一約束，則α一直隨S的增加而增加［8］。

3.6 射流的卷吸

弱旋轉射流由于沒有中心回流，因而它只是從射流的外側進行卷吸。通過射流中任一截面的流量都是由對該截面的軸向速度圖積分而得到的。試驗指出，弱旋轉射流的卷吸量既隨旋轉數S而增加，又隨x而增加。即

4 基于Abramovich射流理論的飛機尾流分析

以單側尾渦為例，將飛機尾流區分成三個階段，如圖7所示。在每個耗散階段，尾流增長速率與自身環量和背景風場有關［9］。

圖7 飛機尾流模型幾何輪廓圖

1）階段一是飛機近場尾流區，該區域從渦核延伸到錐形均勻流的末端。其尾流增長速率只決定于自身環量，背景風場影響可忽略不計。

2）階段二是尾流過渡區。階段二同階段一有相同的尾流增長速率，它主要決定于自身環量，但是背景風場也將產生一定的影響。

3）階段三是飛機遠場尾流區，自身環量的作用下降，尾流增長速率取決于背景風場的作用。

4.1 階段一的尾流特性

在基于Abramovich（1963）射流理論的基礎上，階段一的速度剖面可表示為

式中V∞為渦核前自由流風速；V0為渦核后階段一內的均勻流風速；r為某點到尾流中心旋轉軸的距離。

式中r21為階段一末無量綱化尾流半徑，XH為階段一的長度，R0為初始尾流半徑，Rd為渦核半徑，r0為無量綱初始尾流半徑，m為初始速度比。

a為尾流軸向速度誘導因子。

階段一內邊界層厚度b為自由流與均勻流之間的距離：

在階段一末端，r1=0，b=r2=r21，于是由于自身環量引起的邊界層增長速率為

背景風場在靜止大氣和旋轉射流中同時存在且影響邊界層的兩側，因此邊界層增長速率為［10］

式中α為由背景風場引起的邊界層增長速率

dα/dx與大氣邊界層中Pasquill穩定級相關，由于階段一末的尾流半徑為r21，則階段一的長度xH為

4.2 階段二的尾流特性

根據Abramovich射流理論：

4.3 階段三的尾流特性

這個區域的尾流增長速率在開始時是由自身環量和背景風場共同決定的，隨著x的增加，自身環量的影響逐漸減小到零，尾流增長速率完全決定于背景風場的影響。另外該區域的速度剖面是自相似的，因此在任意x處都有相同的數學表達形式。基于射流理論給出［11］

4.4 各階段速度剖面

如果x≤xH，則所討論的區域在階段一，η＞1時，r在渦核后均勻流核心內v1=1/m；η＜0時，r在尾流邊界層外v1=1；0＜η＜1時，r在尾流邊界層內：

4.5 基于AV尾流模型模擬的飛機速度剖面

圖8和圖9是基于Abramovich的尾流模型模擬的尾流速度剖面與瑞典航空研究院（FFA）風洞實驗結果的比較，Vc為尾流中心速度損耗，由圖8可知；基于Abramovich的尾流模型在一定程度上模擬了飛機尾流區的速度分布；在遠場尾流區（x/D=6;x/D=8），尾流半徑的計算結果明顯比實驗結果大，而在尾流影響的主要區域（-0.5＜y/D＜0.5），由于基于Abramovich的尾流模型計算時的背景風場和FAA風洞實驗時不同，所以速度的計算結果比實驗結果要大。

圖8 尾流區中心線平均速度分布

圖9 尾流區截面內平均速度分布

飛機尾流區內，離渦核越近的截面，速度損失越大，同一截面內，離渦核中心旋轉軸線越近，速度損失越大。在所測量的三個截面中，其最大速度損失都出現在渦核軸線上；離渦核越近的截面內，其尾流影響區域稍小一些；尾流區中心線上平均速度隨坐標增加而逐漸恢復，在近場尾流區其恢復得更快一些。

5 結語

本文首先針對尾流區內速度和尾流半徑的變化規律，利用Abramovich射流理論對尾流區不同區域的切向、軸向和徑向速度分布等速度特征進行分析，基于Abramovich的尾流模型的分析對飛機尾流區各區域進行建模，將計算結果與風洞實驗結果進行了比較得出：可以用基于Abramovich射流理論的尾流模型來模擬飛機尾流區速度特征分布，計算處于尾流區后機飛行性能。綜上所述，基于Abramovich的尾流模型計算尾流區飛機性能是可行的。