基于混合學習果蠅優化算法的冗余機械臂逆運動學求解

石建平 李培生 劉國平 朱 林

(1.貴陽學院電子與通信工程學院， 貴陽 550005; 2.南昌大學機電工程學院， 南昌 330031)

0 引言

機械臂逆運動學問題描述了從末端執行器的笛卡爾空間到關節空間的映射關系，它是對機器人運動控制、軌跡規劃以及作業空間分析等問題展開研究的前提與基礎，該問題的求解方法有封閉解法和數值解法[1]。其中，封閉解法具有計算速度快、精度高以及能求出所有逆解等優點，但封閉解法受機械臂結構的限制較大，只適宜于求解關節結構模型簡單且機構構型特定(即結構滿足Pieper準則)的機械臂的逆運動學。對于機構不滿足Pieper準則的冗余機械臂，其運動學逆解只能用數值解法來獲得。常用的運動學逆解數值求解方法有Jacobian矩陣迭代法[2-3]、神經網絡法[4-6]等。其中，Jacobian矩陣迭代法每一次迭代都需要進行求導運算以及Jacobian矩陣的求逆運算，求解過程復雜且存在奇異性問題，同時迭代初值的選擇對逆解的求解質量與求解效率影響較大；神經網絡法需要大量的樣本數據來進行網絡的訓練學習，網絡學習所需時間較長，不適宜實時控制，且大量訓練樣本在實際中較難獲取。

近年來，遺傳算法[7-8]、粒子群優化算法[9-12]、差分進化算法[13-14]、人工蜂群優化算法[15]、螢火蟲群優化算法[16]、生物地理學優化算法[17]等智能優化算法被廣泛應用于解決機器人的逆運動學問題并獲得了良好的研究進展，但在求解結構復雜冗余機器人的逆運動學問題時，上述算法的收斂速度、收斂精度以及尋優結果的穩定性等各項尋優指標仍需進一步提高。

果蠅優化算法(Fruit fly optimization algorithm，FOA)是PAN[18]提出的一種群智能優化算法，該算法憑借其尋優機制簡單、控制參數少、收斂速度快、易于理解及容易編程實現等優點而受到廣大研究者的關注，并在多維背包問題[19]、神經網絡訓練[20]、電力負荷預測[21]、半導體測試調度[22]、種子園規劃設計[23]、農產品檢測[24]等諸多領域得到成功應用。然而，由于基本FOA算法中的氣味濃度判定值不能取負值，導致該算法無法優化決策變量為負值的優化問題，且FOA算法只向種群最優個體學習的簡單搜索方式導致該算法在解決復雜優化問題時容易“早熟”而陷入局部極值。本文以冗余機械臂運動學逆解的有效求解為目標，對基本FOA算法進行改進研究，提出基于混合學習果蠅優化算法(Hybrid learning fruit fly optimization algorithm，HLFOA)的冗余機械臂運動學逆解求解方案，用7自由度冗余機械臂的逆運動學求解驗證所提出方法的可行性與有效性。

1 問題描述

以7自由度YuMi 14000 ABB型雙臂工業機器人[6]的左臂為例來討論逆運動學求解問題，機器人如圖1所示，機器人左臂的D-H參數如表1所示。表中參數θj、αj、dj、aj、lj及uj(j=1, 2,…,7)分別為關節角變量、連桿扭轉角、連桿偏距、連桿長度、連桿關節角變量的下限及上限。

表1 YuMi 14000 ABB型工業機器人左臂D-H參數Tab.1 D-H parameters for left arm of YuMi 14000 ABB industrial robot

根據表1中的D-H參數，可得相鄰坐標系的齊次變換矩陣為

(1)

式中cθj=cosθj、sθj=sinθj、cαj=cosαj、sαj=sinαj。

于是，可得該機械臂左臂的正向運動學方程為

(2)

式中R——機械臂末端執行器的姿態矩陣

P——機械臂末端執行器的位置向量

可見，7自由度冗余機械臂的正向運動學方程是以關節角變量θ1、θ2、…、θ7為自變量的復雜函數，這是一組多變量強耦合的非線性方程組，無法用常規的封閉解法獲得機械臂的運動學解析逆解。

(3)

2 果蠅優化算法的改進

2.1 基本FOA

根據文獻[19]，FOA算法的尋優步驟如下：

(1)隨機初始化果蠅種群位置:X_b，Y_b。

(2)更新果蠅個體i的位置

(4)

式中RandomValue——固定區間內隨機生成的步長

(3)果蠅i與坐標原點的距離Disti和果蠅個體i的氣味濃度判定值Si的計算式為

(5)

(6)

(4)將氣味濃度判定值Si代入氣味濃度判定函數f(·)(即優化問題的適應度函數)，得到果蠅個體i的氣味濃度為

Smelli=f(Si)

(7)

(5)找出種群中氣味濃度最高的果蠅個體bestIndex(針對最小優化問題，適應度函數的取值越小，表明對應果蠅個體的氣味濃度越高)

[bestSmellbestIndex]=min(Smelli)

(8)

(6)保存最高氣味濃度及其對應的位置坐標，果蠅種群利用視覺飛向該位置

(9)

(7)重復循環步驟(2)～(5)，如果當前的最優氣味濃度優于上一代的最優氣味濃度，并且當前迭代次數小于最大迭代次數，則執行步驟(6)；否則，算法輸出尋優結果并結束循環。

可見，FOA算法每次迭代都是在最優果蠅個體位置的固定范圍內進行局部搜索，如果該位置屬于局部最優，則算法將容易“早熟”而陷入局部極值。

2.2 改進的FOA

2.2.1候選解的線性產生機制

根據式(6)可知，FOA算法中的氣味濃度判定值Si與距離Disti成反比，候選解采用了非線性的產生機制，同時氣味濃度判定值Si不能取負值。因此，FOA算法無法優化含負值搜索空間的優化問題，且無法在指定區域內進行均勻搜索，使得算法的全局搜索能力不強。

由表1可知，冗余機械臂的關節角取值范圍含負值空間，顯然基本FOA算法無法解決本文的機械臂逆運動學問題。本文HLFOA算法中，果蠅個體i用位置向量Xi=(θi1,θi2,θi3,θi4,θi5,θi6,θi7)來表示(θi1,θi2,…,θi7分別表示冗余機械臂的7個關節角)，則Xi代表機械臂逆運動學問題的一個候選解。為克服基本FOA算法中候選解不能取負值以及候選解非線性產生機制的不足，本文采用智能優化算法常使用的線性候選解產生方案，即直接按Si=Xi得到果蠅的氣味濃度判定值。于是，HLFOA算法在克服FOA非線性候選解產生機制缺陷的同時，通過舍棄果蠅位置距離的計算簡化了算法的進化環節和降低了算法的計算成本。

2.2.2嗅覺搜索

由式(4)可知，FOA算法的嗅覺搜索總是在種群最優果蠅個體附近的固定范圍內進行局部搜索，這種只向種群最優個體學習的搜索方式能夠有效加速算法的收斂速度，同時也使得算法尋優的收斂質量主要依賴于種群的最優個體。如果種群的最優個體處于局部最優，則FOA算法容易“早熟”而陷入局部極值，致使FOA算法在解決復雜多模優化問題時全局搜索能力并不強。

受粒子群優化算法[25]的啟發，HLFOA算法給果蠅個體賦予了記憶功能，即果蠅i能夠記憶自身進化過程中最佳歷史位置Pi，所有的Pi構成了最佳歷史種群P；整個果蠅種群的歷史最佳位置用Gb表示。為克服FOA算法只向種群最優個體學習所導致的不足，果蠅嗅覺搜索過程中應當同時兼顧學習的廣度與深度，為此， HLFOA算法采用嗅覺搜索策略

(10)

(11)

式中ω——擾動比例因子與學習概率

r、r′——[0,1]內均勻分布的隨機變量

t——當前迭代次數

tmax——算法的最大迭代次數

r1、r2、r3滿足r1≠r2≠r3≠i。

2.2.3越界處理

為進一步確保搜索過程果蠅種群的多樣性與隨機性，對于下一代果蠅位置向量Xi(t+1)中超出位置邊界的分量θij算式為

θij=lj+(uj-lj)k

(12)

式中k——[0,1]內均勻分布的隨機變量

2.2.4視覺實時更新

視覺搜索是指對果蠅種群最優位置進行更新。在FOA算法中，當前代的所有果蠅個體完成嗅覺搜索后，如果當前種群的最優位置優于上一代果蠅種群的最優位置，則對種群的最優位置進行更新。為進一步提高算法的收斂速度，果蠅個體的最新成功搜索經驗應該實時分享給其他未進化個體，因此HLFOA算法采用實時更新方案，即

(13)

(14)

可見，HLFOA算法中的視覺搜索本質是指對果蠅個體歷史最優信息以及種群歷史最優信息的實時更新，從而為其他果蠅個體的嗅覺搜索提供最新的成功搜索經驗。

2.2.5算法計算成本

由于優化目標函數的評估次數是影響算法計算成本的主要因素，本文以優化目標函數的總評估次數來衡量算法的計算成本(設種群規模為m和最大迭代次數為tmax)。HLFOA算法在初始化階段需要的優化目標函數評估次數為m，在循環迭代階段優化目標函數評估次數為mtmax，因此，HLFOA算法總的優化目標函數評估次數為mtmax+m； FOA算法在初始化階段需要的優化目標函數評估次數為1，在循環迭代階段的優化目標函數評估次數為mtmax，因此，FOA算法總的優化目標函數評估次數為mtmax+1。

可見，HLFOA算法的改進策略并沒有導致計算成本的顯著增加。

2.2.6逆運動學求解步驟

基于HLFOA算法的冗余機械臂逆運動學求解步驟如下：

(1)設置果蠅種群規模m與算法的最大迭代次數tmax，在關節空間內對所有果蠅個體進行隨機初始化，果蠅i的當前位置Xi即為其歷史最佳位置Pi，種群中的最優位置即為種群的最佳歷史位置Gb，設置i=1、t=1。

(2)按式(10)、(11)對果蠅i執行嗅覺搜索，按式(12)對得到的下一代果蠅位置向量進行越界處理。

(3)根據式(3)對下一代果蠅i的位置向量進行實時評估，按式(13)、(14)分別更新果蠅i的歷史最佳信息及種群的歷史最佳信息。

(4)如果i

(5)如果t

3 試驗結果與分析

3.1 給定期望位姿的運動學逆解

為檢驗HLFOA算法解決冗余機械臂逆運動學問題的有效性，將HLFOA算法的優化求解結果與算法FOA、LGMS-FOA[26]、AE-LGMS-FOA[27]、IFOA[28]及SFOA[29]的求解結果進行對比分析。所有算法的種群規模為100，最大迭代次數為1 000；由表1可知，機械臂末端執行器的位置分量可達102mm數量級，而其姿態分量的絕對值都滿足小于等于1，為能夠有效平衡算法求解過程中的位置誤差與姿態誤差，將誤差調整因子設置為λ=10-2；算法FOA、LGMS-FOA、AE-LGMS-FOA、IFOA及SFOA的相關參數按對應文獻的推薦值進行設置。算法采用Matlab R2013a編程實現，程序運行環境為：Intel Core(TM)i7-7700、3.6 GHz、16 GB內存、Windows 10操作系統。

給定YuMi 14000 ABB型雙臂工業機器人左臂末端執行器的期望位姿矩陣為

各算法分別獨立連續優化求解10次的最優適應值、平均適應值、最差適應值以及適應值標準差如表2所示。各算法求得的1組最優逆解所對應的位姿誤差如表3所示，各算法的平均適應值收斂曲線如圖2所示。

表2 不同算法逆解尋優結果統計(給定期望位姿)Tab.2 Performance statistics of different algorithms (given desired pose)

表3 不同算法的位姿誤差Tab.3 Pose errors of different algorithms

由表2可知，HLFOA算法逆解運算尋優適應值的平均值、最優值、最差值以及標準差都優于其余算法，其尋優平均適應值、適應值的標準差分別可達10-16和10-17數量級，說明HLFOA算法具有逆解尋優精度高且尋優結果穩定性好的優點。從表3可知，HLFOA算法最優逆解對應的位姿誤差最大分量為10-16數量級， LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA最優逆解對應的位置誤差最大分量分別為101、100數量級，FOA、IFOA及SFOA算法最優逆解對應的位置誤差最大分量則高達102，說明HLFOA算法的最優逆解能夠使得機械臂末端執行器以很高的精度收斂于期望位姿，而其余算法的最優逆解存在較大的位姿誤差。

由圖2可知，HLFOA算法的平均適應值收斂曲線具有最快的下降速度并獲得了最低的下降位置，同樣說明了HLFOA算法獲得了比其他算法更快的收斂速度和更高的收斂精度。

3.2 任意期望位姿的運動學逆解

為進一步檢驗算法求解運動學逆解的泛化能力，針對YuMi 14000 ABB型雙臂工業機器人左臂末端執行器位姿空間的10個任意的期望位姿矩陣，用上述各算法進行尋優求解的適應值如表4所示(算法的參數設置和運行環境與前述相同)，各算法平均適應值的收斂曲線如圖3所示。

從表4可知，對于任意給定的機械臂末端執行器位姿矩陣，HLFOA算法的尋優適應值都可達10-16數量級，說明其對應最優逆解都獲得了很高的位姿精度(其位姿誤差小于等于10-16)，且HLFOA算法的各項尋優指標都遠優于FOA、LGMS-FOA、AE-LGMS-FOA、IFOA及SFOA算法；盡管LGMS-FOA和AE-LGMS-FOA算法也獲得較好的最優適應值(其最優適應值分別為10-16、10-12數量級)，但其余優化指標并不理想；由于誤差調整因子λ為10-2，可知FOA、IFOA及SFOA算法對應逆解的位置誤差最大分量可達102，顯然，FOA、IFOA及SFOA算法不能用于解決冗余機械臂的逆運動學問題。

表4 不同算法逆解尋優結果統計(任意期望位姿)Tab.4 Performance statistics of different algorithms (arbitrary desired poses)

由圖3可知，對于任意給定的期望位姿矩陣，HLFOA算法獲得了比其他算法更快的收斂速度和更高的收斂精度，說明該算法能夠用于有效解決冗余機械臂的逆運動學問題。

4 結論

(1)以冗余機械臂逆運動學問題的求解為工程應用背景，提出了基于HLFOA算法的機械臂運動學逆解求解方案。

(2)HLFOA算法舍棄了FOA算法中果蠅位置距離的計算，并解決了FOA算法不能搜索負值空間的不足；改進算法采用混合學習機制合理平衡了算法的全局探索與局部開放。

(3)以7自由度冗余機械臂的逆運動學求解為例展開試驗與對比分析，HLFOA算法最優逆解對應的位姿誤差以及尋優適應值的標準差分別可達10-16與10-17數量級，說明HLFOA算法具有逆解求解精度高、尋優結果穩定性好的優點。

(4)由于最佳歷史種群P保留了每個果蠅個體獲得的最佳候選解，因此，HLFOA算法不僅每次尋優求解都能夠獲得一個高質量的候選解，而且具有能夠同時獲得多個高質量候選解的潛能。