基于壓電作動器驅(qū)動的微操作機構(gòu)設(shè)計與運動控制

馬金玉 余勝東 康升征 沈耀輝 潘 亮 吳洪濤

(1.溫州職業(yè)技術(shù)學院， 溫州 325035； 2.南京航空航天大學航空學院， 南京 210016；3.南京航空航天大學機電學院， 南京 210016)

0 引言

作為細胞顯微操作的重要研究對象，斑馬魚有70%以上的基因和人類相似[1-2]，同時，依靠其在遺傳學上的優(yōu)勢以及高度保守的疾病信號傳遞軌跡，斑馬魚成為追蹤人類疾病信號傳遞軌跡及生命體高通量藥理解析的首選驗證生物[3-4]。斑馬魚胚胎細胞尺寸微小[5]，對于像細胞注射等極其精細的顯微操作，要求臨床人員具備精湛的技藝，能夠準確地穿透5 μm左右的細胞膜，在細胞內(nèi)部實現(xiàn)精密操作[6]?，F(xiàn)階段，以人工為主的手工作業(yè)方式嚴重制約了細胞顯微操作技術(shù)的進步。

作為智能壓電材料，壓電作動器(Piezoelectric actuator, PEA)具有位移分辨率高、響應速度快的優(yōu)點，是實現(xiàn)細胞穿刺的理想動力源[7]。但由于PEA輸出位移較小，應用場景嚴重受限[8]。利用位移放大機構(gòu)可以使PEA的工作行程獲得成倍放大。在微納操作機構(gòu)中，柔順機構(gòu)具有無傳動間隙、無摩擦阻力、兼容性高和易于制造等優(yōu)勢[9]?；谌犴槞C構(gòu)原理設(shè)計橋式位移放大機構(gòu)(Bridge type displacement amplification mechanism，BTDAM)[10]，再利用PEA驅(qū)動BTDAM獲得大行程的運動。由于PEA也具有無間隙傳動的特點[11]，將PEA嵌入到位移放大機構(gòu)中，兩者的機械性能得到高度匹配，在保持運動精度的前提下，擴大了運動范圍。

本文以實現(xiàn)對斑馬魚胚胎細胞的顯微操作為例，設(shè)計一種基于壓電作動器驅(qū)動的微操作機構(gòu)以實現(xiàn)對斑馬魚胚胎細胞的穿刺作業(yè)。為了提升微操作機構(gòu)的機械特性，通過動力學理論對微操作機構(gòu)進行構(gòu)型優(yōu)化，在保證縱向剛度和側(cè)向剛度的前提下，完成考察應力分布、強度校核等工作，并獲取最大的位移放大倍數(shù)。同時，設(shè)計與之匹配的非線性魯棒控制器實現(xiàn)微操作機構(gòu)的精密運動控制。

1 總體結(jié)構(gòu)設(shè)計

傳統(tǒng)BTDAM側(cè)向剛度比較低[12]，影響PEA的使用壽命。本文設(shè)計圖1所示的BTDAM，通過采用平行四邊形結(jié)構(gòu)并聯(lián)式布局，以提高側(cè)向剛度。由有限元仿真可知，對于同樣尺寸構(gòu)成的直梁型柔性鉸鏈，并聯(lián)式布局的BTDAM的側(cè)向剛度比傳統(tǒng)BTDAM提高38.6%以上。

由圖1可知，對于并排的一組位移放大機構(gòu)而言，其構(gòu)成了平行四邊形結(jié)構(gòu)，從而使得位移輸出部位獲得嚴格的直線運動效果；所有的16組直梁型柔性鉸鏈都采用一致的幾何尺寸，在簡化設(shè)計過程的同時，保證了整體結(jié)構(gòu)在力學特性上的對稱性。

PEA在機構(gòu)的中心位置處產(chǎn)生推力，使BTDAM發(fā)生形變并輸出位移。注射針固定于輸出位移處。平行四邊形布置的柔性鉸鏈用于確保注射針的方向始終保持一致。PEA的位移方向和微進給機構(gòu)的注射方向垂直。BTDAM的輸入沿著X軸方向，注射針的運動方向沿著Y軸方向，如圖2所示。PEA的底座通過鎖緊機構(gòu)固定于位移放大機構(gòu)上。在PEA的頂部設(shè)置有表面光滑的球狀陶瓷，預緊機構(gòu)對球狀陶瓷施加約20 N的預緊力從而將PEA固定于BTDAM上，并且消除PEA和BTDAM之間的間隙。

2 動力學分析

MIDHA等[13]提出了偽剛體模型，建立了柔順機構(gòu)中的“力-變形”準則，成為研究剛?cè)狁詈系闹匾椒?。為此，利用“扭轉(zhuǎn)彈簧+剛性連桿”的關(guān)系簡化柔性鉸鏈力學模型，從而將柔順機構(gòu)復雜的非線性變形過程線性化，這是BTDAM進行數(shù)學建模和優(yōu)化設(shè)計的理論支撐[14]。

本文將基于柔順機構(gòu)原理，對柔性鉸鏈提出3個模型假設(shè)，完成微操作機構(gòu)的運動學和動力學分析。第1個模型假設(shè)，把柔性鉸鏈視為扭簧和其他剛性單元構(gòu)成的具有單一自由度(Degree of freedom，DOF)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)[15]，利用偽剛體法完成BTDAM的幾何關(guān)系分析、瞬時速度分析等。第2個模型假設(shè)，將柔性鉸鏈視為具有拉伸剛度和旋轉(zhuǎn)剛度的具有兩個DOF的復合運動關(guān)節(jié)，利用虛功原理求解機構(gòu)的位移放大倍數(shù)。第3個模型假設(shè)，在第2個模型假設(shè)的基礎(chǔ)上，考慮柔性鉸鏈的局部尺寸，將其視為具備3個DOF的復合運動關(guān)節(jié)，利用矩陣方法求解放大倍數(shù)。

由于該機構(gòu)是中心對稱的結(jié)構(gòu)，為了簡化求解過程，以四分之一模型作為研究對象，圖3為四分之一BTDAM的運動簡圖。其中，F(xiàn)x、Δx分別是施加于四分之一機構(gòu)上的輸入作用力和輸入位移，Δy是機構(gòu)的輸出位移。因此，對于完整的機構(gòu)而言，輸入作用力、輸入位移和輸出位移分別是4Fx、2Δx、2Δy。

2.1 柔性鉸鏈單自由度建模假設(shè)

將柔性鉸鏈視為單一DOF的轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)，轉(zhuǎn)軸為柔性鉸鏈的中心部位，其余部分為剛性體。

由圖3可知，PEA產(chǎn)生水平方向上的輸入位移Δx，引起柔性鉸鏈發(fā)生變形，得到BTDAM的輸出位移Δy，同時，將上連桿AB或者下連桿CD的傾角由α轉(zhuǎn)變?yōu)棣?，可得

lacosα+Δx=lacosα*

(1)

式中l(wèi)a——上連桿AB或者下連桿CD的長度

消除α*，可得

(Δy)2-2lasinαΔy+(Δx)2+2lacosαΔx=0

(2)

整理式(2)，可以求出輸出位移Δy為

(3)

因此，可以求出輸出機構(gòu)的位移放大倍數(shù)C1為

(4)

從式(4)可以看出，對于指定的機構(gòu)而言，la和α是給定的，因此，位移放大倍數(shù)只表現(xiàn)為與輸入位移Δx相關(guān)的單變量函數(shù)。

從式(1)能夠看出，機構(gòu)的最大輸出位移，即Δy極限值發(fā)生在α*→0時，則Δymax→lasinα。

2.2 柔性鉸鏈二自由度建模假設(shè)

假設(shè)柔性鉸鏈具有拉伸剛度Kt和旋轉(zhuǎn)剛度Kr，其余部位為剛性體。對其中的一條連桿，如連桿AB，其受力狀態(tài)如圖4所示。規(guī)定Fx=FAx=FBx，在點A建立力矩方程，可得

Fxlasinα=2Mr=2KrΔα

(5)

其中，力矩Mr由旋轉(zhuǎn)剛度Kr作用產(chǎn)生，并使上連桿AB發(fā)生Δα的轉(zhuǎn)角。

在點A建立力方程為

(6)

式中 Δl——由拉伸剛度Kt引起的軸向位移

基于虛功原理，構(gòu)建能量方程為

FxΔx=FlΔl+2MrΔα

(7)

結(jié)合式(5)～(7)，可得

FxΔx=Kt(Δl)2+2Kt(Δα)2

(8)

進而構(gòu)建輸入位移與輸入作用力之間的關(guān)系

(9)

對等式ly=lasinα關(guān)于時間求導，得

Δy=lacosαΔα

(10)

可以得到位移放大倍數(shù)為

(11)

對于整體機構(gòu)而言，其輸入剛度為

(12)

2.3 柔性鉸鏈變截面剛?cè)狁詈辖?/h3>

考慮柔性鉸鏈的詳細尺寸，并結(jié)合偽剛體法和Euler-Bernoulli柔性梁理論建立BTDAM的精確靜力學模型，再根據(jù)Lagrange方法建立機構(gòu)的動力學方程[16]，求出機構(gòu)的自然頻率。

如圖5a、5b所示，假設(shè)機構(gòu)的輸出位移Δy主要來源于上連桿AB和下連桿CD的彎曲變形。在點A建立力矩方程，可得

Fxly-2Mr=0

(13)

柔性鉸鏈的變截面布局如圖5c所示，將上連桿AB或者下連桿CD分成3段，其高度為

h1,2(dx)=t(dx∈[0,a]∪[a+b,2a+b])

(14)

h3(dx)=c(dx∈(a,a+b))

(15)

3段的扭矩分別為

M1(dx)=Mr(dx∈[0,a])

(16)

(17)

M3(dx)=-Mr(dx∈[a+b,2a+b])

(18)

根據(jù)Euler-Bernoulli[17]柔性梁理論建立3段柔性鉸鏈的角度變形量為

(19)

(20)

(21)

式中Pi——常數(shù)，i=1，2，3

E——彈性模量w——任意橫截面擾度

對角度變形量做積分運算，可得3段柔性鉸鏈的位移。

機構(gòu)的輸入位移Δx和輸入作用力Fx相關(guān)聯(lián)。從四分之一模型可以看出，輸入位移Δx來自于主體OA段、上連桿AB和下連桿CD的變形。對上連桿AB和下連桿CD處的作用力進行平移合并，得

(22)

參照圖5b所示的坐標系，坐標x處的力矩為

M(x)=Fx(2x-l1-l2+ly)

(23)

對應的角度變形量為

(24)

式中P4——常數(shù)

對式(24)做積分運算，得位移變形量為

(25)

因此，在點A處的位移變形量為

(26)

如圖6所示，上連桿AB或者下連桿CD由于拉伸變形而產(chǎn)生的變形量為ΔL=2Fx/Kt，其沿x軸的位移量Δx2，沿y軸的位移量Δy分別為

Δx2=(La+ΔL)cosα*-Lacosα

(27)

Δy=Lasinα-(La+ΔL)sinα*

(28)

其中

式中La——連桿近似長度

消去α*后可以求得Δx2為

(29)

至此，可以求得機構(gòu)位移放大倍數(shù)為

(30)

機構(gòu)輸入剛度為

(31)

至此，通過上述3個模型假設(shè)，建立了機構(gòu)的位移放大倍數(shù)和輸入剛度。

2.4 基于Lagrange方法的自然頻率分析

對于BTDAM而言，其輸入位移為q=2Δx，機構(gòu)動能和勢能分別為

(32)

(33)

將式(32)、(33)代入到Lagrange方程[18]中

(34)

式(34)可以整理為

(35)

其中

(36)

(37)

式中M——等效質(zhì)量K——剛度系數(shù)

因此，機構(gòu)自然頻率為

(38)

3 機構(gòu)幾何優(yōu)化

基于建立的BTDAM的數(shù)學模型，進一步通過數(shù)值計算方法完成機構(gòu)的幾何優(yōu)化。為了提高優(yōu)化效率，將通過智能優(yōu)化算法，以位移放大倍數(shù)的最大值為優(yōu)化目標，在保證自然頻率等相關(guān)邊界條件的約束下確定機構(gòu)的幾何尺寸。在ANSYS Workbench[19]平臺上對結(jié)構(gòu)尺寸進行計算機有限元優(yōu)化。

3.1 基于差分進化算法的幾何優(yōu)化

利用智能優(yōu)化算法完成幾何結(jié)構(gòu)的數(shù)值優(yōu)化計算[20]?；谌后w隨機并行搜索策略而形成的差分進化算法(DE)[21]，模擬自然界中各種群間既合作又競爭的生存模式，計算過程比傳統(tǒng)的遺傳算法更簡化、高效。DE算法步驟為：

(1)種群初始化：初始種群的選取應來自于整個解空間。

(2)差分變異：目的在于增強算法的全局搜索能力，可以通過DE/rand/1策略，進而得到解空間的最優(yōu)值。

(3)交叉操作：交叉操作位于差分變異的后續(xù)環(huán)節(jié)，通過將交叉概率CR設(shè)置為隨適應度函數(shù)而變化的動態(tài)變量，在確保全局搜索能力的前提下，也可兼顧局部搜索能力，是算法的核心步驟。

(4)選擇操作：依據(jù)貪婪策略淘汰掉適應度大的個體。

圖7為DE算法流程圖。

由于變截面剛?cè)狁詈辖＿^程更精細化地體現(xiàn)了柔性鉸鏈幾何尺寸，考慮到優(yōu)化的核心為柔性鉸鏈幾何尺寸。因此，基于變截面剛?cè)狁詈辖＿^程而建立的位移放大倍數(shù)和輸入剛度將被應用于優(yōu)化過程。另外，機構(gòu)的自然頻率也將被應用于優(yōu)化過程。

為了獲取一個結(jié)構(gòu)緊湊的機械結(jié)構(gòu)，柔性鉸鏈的4個參數(shù)(a、b、c、t)(圖1)作為主要設(shè)計變量，并為其設(shè)置較為合理的取值范圍。因此，它將演變成一個在多約束條件下的單目標優(yōu)化問題。優(yōu)化計算需在表1、2所示的邊界條件下進行。

表1 約束條件和優(yōu)化目標Tab.1 Constraints and optimization objectives

表2 柔性鉸鏈設(shè)計變量的取值范圍Tab.2 Size range of flexure hinge mm

經(jīng)過DE優(yōu)化后，獲得柔性鉸鏈的尺寸為：a=3.125 2 mm、b=6.460 8 mm、c=4.355 2 mm、t=0.290 5 mm，自然頻率為201.68 Hz。

由于BTDAM的結(jié)構(gòu)精細復雜，3D打印技術(shù)為其制備提供了便捷的途徑。材料為由光敏樹脂與聚丙烯構(gòu)成的混合物，幾何精度達到±0.015 mm。材料性能為密度905 kg/m3、楊氏模量1.5×109Pa、泊松比0.41。

3.2 基于有限元仿真技術(shù)的幾何優(yōu)化

通過對模型進行必要的簡化后，在ANSYS Workbench 19.0軟件中完成幾何體構(gòu)建，對設(shè)計變量進行參數(shù)化設(shè)置[22]。對零件進行多次slice劃分后，再合并成一體，然后進行網(wǎng)格劃分，得到95 569個節(jié)點和19 524個六面體單元。為模型配置載荷并設(shè)置約束條件，2個輸入位移量均為5 μm。先進行靜力學分析，再進行模態(tài)分析，將零件的固有頻率和主要設(shè)計變量進行關(guān)聯(lián)。

在Design Xplorer/VT模塊中利用GA(Genetic algorithm)算法完成參數(shù)的優(yōu)化迭代。優(yōu)化模塊自動選擇并排列最佳結(jié)果。表3為優(yōu)化結(jié)果。

表3 優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Optimization results

由于所采用的PEA剛度為2.0×108N/m，比3種優(yōu)化結(jié)果的輸入剛度大5個數(shù)量級。因此，在設(shè)計過程中忽略了執(zhí)行機構(gòu)剛度。

由表3可知，由于3個結(jié)果的數(shù)值較為接近。同時，一并考慮GA優(yōu)化的結(jié)果，顯然結(jié)果1具有最高的固有頻率。因此，選擇這組參數(shù)應用于物理樣機的制作。

3.3 六階模態(tài)分析及優(yōu)化結(jié)果的驗證

為了驗證有限元優(yōu)化設(shè)計的結(jié)果，通過ANSYS Workbench 19.0軟件對結(jié)構(gòu)進行仿真分析。靜態(tài)分析結(jié)果反映了結(jié)構(gòu)的應變狀態(tài)和應力分布，由圖8可知，當向兩端各施加5 μm位移時機構(gòu)的最大輸出位移為89.916 μm；由圖9可知，當向兩邊各施加位移10 μm時機構(gòu)的最大應力為1.014 6×106Pa。對結(jié)構(gòu)進行模態(tài)仿真分析，一階共振頻率213 Hz，這個頻率對于細胞穿刺已經(jīng)足夠高。

BTDAM的六階固有頻率如表4所示。與DE優(yōu)化相比，其自然頻率提高了5.39%，可以證明柔性鉸鏈的數(shù)學模型和優(yōu)化過程具有可靠的精度，并且兩種研究途徑基本實現(xiàn)了相互驗證。

表4 BTDAM的前6階模態(tài)Tab.4 List of the first six modes of BTDAM

4 性能實驗

借助于BTDAM的位移放大功能，擴大了PEA的運動范圍，使微操作機構(gòu)獲得了180 μm的行程；但同時也惡化了PEA的遲滯非線性效應。本文提出一種基于干擾觀測器的PID控制策略，將外部干擾、遲滯非線性效應等不確定因素均視為未知項，利用干擾觀測器實現(xiàn)對未知項的實時觀測和在線補償，從而提高系統(tǒng)動態(tài)性能和剛度；并結(jié)合PID控制消除靜態(tài)誤差，最終達到提高系統(tǒng)綜合控制品質(zhì)的目的。

4.1 控制器設(shè)計

利用牛頓定律和Bouc-Wen模型構(gòu)建微操作機構(gòu)的遲滯動力學模型[23-24]，方程為

(39)

(40)

u——激勵電壓

b——阻尼系數(shù)k——剛度系數(shù)

d——電壓系數(shù)h——遲滯項

ζ1、ζ2、ζ3——遲滯項系數(shù)τd——擾動項

對系統(tǒng)的遲滯動力學模型進行適當簡化，即

(41)

觀測器定義為

(42)

(43)

設(shè)計Lyapunov函數(shù)

(44)

(45)

假設(shè)未知項為連續(xù)變化的函數(shù)，且其一階導數(shù)有界，當k1為較大數(shù)值時，有

(46)

將式(42)～(44)代入式(45)，得

(47)

通過借助于觀測器實現(xiàn)對未知項Δ的實時估計和在線補償，并將其和PID項相結(jié)合，構(gòu)成基于干擾觀測器的PID控制策略，即

(48)

式中Kp——比例項系數(shù)

Ki——積分項系數(shù)

Kd——微分項系數(shù)

e——位移誤差

4.2 位移跟蹤實驗

基于xPC半物理仿真環(huán)境構(gòu)建微操作機構(gòu)的運動控制實驗系統(tǒng)。采用Pst120/7/20VS12型PEA和E00.6型電壓放大器。PEA位移信號由LK-H020型激光位移傳感器采集，其測量精度為0.02 μm。

流程框圖如圖10所示，控制算法運行于宿主機上，經(jīng)過編譯后下載到目標機中。目標機輸出的數(shù)字信號經(jīng)數(shù)模轉(zhuǎn)變，由電壓放大器進行放大，然后驅(qū)動PEA運動。激光位移傳感器采集的位移信號，經(jīng)過模數(shù)轉(zhuǎn)變后，再經(jīng)過低通濾波器，輸入到目標機中。半物理仿真實驗平臺如圖11所示。

利用試錯法對控制器的參數(shù)進行調(diào)整，并且綜合考量抖振程度、均方根誤差(Root mean square error，RMSE)和最大誤差(Maximum error，ME)[25]，選擇的參數(shù)為Kp=5×107、Ki=8×107、Kd=100、k1=5×105、k2=50。

為了使仿真結(jié)果更具代表性，選擇幅值為100 μm、周期為2 s的正弦信號作為期望軌跡，其軌跡曲線如圖12所示。

由圖13可看出，所提控制器和PID控制器都能實現(xiàn)對正弦信號的軌跡跟蹤。兩個控制器產(chǎn)生的位移誤差曲線隨正弦曲線發(fā)生同步波動，但所提控制器產(chǎn)生的誤差波動遠小于PID控制器的誤差。對位移誤差曲線進行量化分析可得，所提控制器的RMSE為0.071 μm、ME為0.128 μm；PID控制器的RMSE為0.322 μm、ME為0.506 μm。可見所提控制器具有更優(yōu)的運動跟蹤精度。

如圖14所示控制律曲線表示控制器中PID項、觀測器項和總控制律的構(gòu)成與占比。觀測器的主要作用在于實現(xiàn)對未知項的估計，因此，也間接反映了未知項在被控系統(tǒng)中所占的比例。對傳統(tǒng)PID控制而言，未知項所占比例越高，對運動控制精度的影響將越大。所提控制器利用觀測器對未知項進行在線補償，在總的控制律構(gòu)成中，觀測器項承擔了大部分的控制輸出，能夠大大減輕PID項所承受的負擔。

從圖14還可看出，PID項、觀測器項和總控制律這三者基本呈現(xiàn)同步波動的狀態(tài)，從另外一個角度驗證了觀測器設(shè)計的正確性，說明了觀測器項能夠積極補償PID項的輸出，起到了正相關(guān)作用。

此外，觀測器項的輸出曲線呈現(xiàn)光滑變化，而PID項的輸出曲線表現(xiàn)出一定幅度的抖振。因為，在觀測器的設(shè)計中，通過積分實現(xiàn)未知項的估計，噪聲信號經(jīng)過積分運算后會趨于平滑。而PID項中的微分項對噪聲比較敏感，噪聲會引發(fā)PID項的輸出發(fā)生抖振。

面對存在較大比例未知項的被控對象，基于干擾觀測器的PID控制策略相比于傳統(tǒng)的PID控制而言，更適合應用于微操作機構(gòu)的運動控制。

4.3 細胞顯微穿刺實驗

通過電子顯微鏡拍攝細胞顯微穿刺過程，透過斑馬魚胚胎透明的細胞膜，可以清晰地觀察到注射針所處的狀態(tài)。

斑馬魚胚胎顯微穿刺過程見圖15，圖15a是注射針剛剛接觸到細胞膜時，細胞膜未發(fā)生變形；圖15b細胞穿刺機構(gòu)驅(qū)動注射針擠壓細胞膜，使細胞膜發(fā)生彈性變形；圖15c注射針穿透細胞膜，細胞膜恢復球狀。可見，微操作機構(gòu)能夠有效應用于斑馬魚胚胎細胞的顯微穿刺之中。

5 結(jié)論

(1)基于柔順機構(gòu)原理，設(shè)計了一種由壓電作動器驅(qū)動的能實現(xiàn)無間隙傳動的微操作機構(gòu)，在保證運動精度的前提下擴大了PEA的行程。

(2)利用偽剛體法和Euler-Bernoulli柔性梁理論，并結(jié)合Lagrange方法獲得了微操作機構(gòu)的動力學方程，進而獲得機構(gòu)的自然頻率。

(3)構(gòu)建了基于差分進化算法的幾何優(yōu)化算法，在相關(guān)邊界條件的約束下計算得到了位移放大機構(gòu)的一系列結(jié)構(gòu)尺寸，并和有限元分析方法實現(xiàn)了交叉驗證。

(4)基于xPC半物理仿真環(huán)境構(gòu)建了微操作機構(gòu)的運動控制實驗系統(tǒng)，利用基于干擾觀測器的PID控制策略實現(xiàn)了對微操作機構(gòu)的運動控制實驗，微操作機構(gòu)RMSE和ME分別為0.071、0.128 μm。