關(guān)于McKay箭圖的一點(diǎn)注記

侯汝臣

(煙臺(tái)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,山東 煙臺(tái) 264005)

1 引言及準(zhǔn)備工作

“表示理論是代數(shù)學(xué)中具有根本性的問(wèn)題,是當(dāng)前國(guó)際上數(shù)學(xué)研究的前沿重點(diǎn)課題,在數(shù)學(xué)的其他分支,量子物理學(xué)以及化學(xué)等其他學(xué)科中有深刻而廣泛的應(yīng)用”[1]。 “群對(duì)稱是數(shù)學(xué)的靈魂,而研究群對(duì)稱的基本工具是群表示論”[2]。 1980 年,MCKAY引入了McKay 箭圖的概念[3],它揭示了有限單群的表示和李代數(shù)、Klein 奇點(diǎn)等數(shù)學(xué)領(lǐng)域的聯(lián)系,這就是經(jīng)典的McKay 對(duì)應(yīng)[4]。 在代數(shù)表示論中,McKay 箭圖在研究 Cohen Macaulay 模的 Auslander Reiten 箭圖,溫馴型遺傳代數(shù)的預(yù)投射代數(shù),箭圖簇,以及復(fù)雜度為2的自內(nèi)射Koszul代數(shù)等多個(gè)方面起到重要作用[5-12]。

設(shè)G?GL(m,)=GL(V)是一個(gè)有限子群，這里V表示上的一個(gè)m維向量空間。 設(shè) {Si|i=1,2,…,n}是G在上不可約表示的完全集。 對(duì)每一Si,將G的張量積表示V?Si分解為G的不可約表示的直和:群G的McKay 箭圖Q=Q(G) 定義為:頂點(diǎn)集Q0是G在上不可約表示同構(gòu)類下標(biāo)的集合,從頂點(diǎn)i到頂點(diǎn)j有ai,j條箭向。 特別地,頂點(diǎn)i到i的箭向稱為環(huán)。

一般情況下,計(jì)算McKay箭圖比較困難[13]。 郭晉云利用代數(shù)表示論中的方法,即在文獻(xiàn)[14]中利用文獻(xiàn)[15]中外代數(shù)的斜群代數(shù)的箭圖即為群的McKay箭圖的方法,對(duì)有限循環(huán)群的McKay箭圖進(jìn)行了一般概括性刻畫。 而因?yàn)橛邢扪h(huán)群作為一般線性群GL(m,) 的子群的矩陣表現(xiàn)形式多樣,相應(yīng)的群-表示m分解為群-的不可約表示的直和的分解形式也不相同,這就使得群的McKay箭圖也在變化。 關(guān)于群的不可約表示,可參閱文獻(xiàn)[16-17]。 一般線性群GL(m,) 的其他有限子群的McKay箭圖也有類似的情況。 為了研究這種現(xiàn)象,本文在第2節(jié)定理2 中利用群表示論中的方法精確刻畫了有限循環(huán)群 的所有各類McKay 箭圖。

證明因?yàn)?g>是一個(gè)有限阿貝爾群,所以的任一不可約復(fù)表示均是一維的(參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]第一章引理4.4)。 設(shè)ρ: →GL(1,) 是 的一個(gè)不可約復(fù)表示,ρ(g)(1)=a, 則ρ(gn)(1)=ρ(g)n(1)=an,ρ(gn)(1)=ρ(1)(1)=1, 所以an=1,即a為n次單位根。

設(shè)(ρ1,), (ρ2,) 為的兩個(gè)不可約復(fù)表示,ρ1,ρ2分別對(duì)應(yīng)于n次單位根a和b。 設(shè)ψ為(ρ1,)到(ρ2,)的一個(gè)表示同態(tài),ψ(1)=c。 則有ρ2ψ(1)=ψρ1(1), 即bc=ca。 所以若ψ≠0, 必有a=b, 即(ρ1,)=(ρ2,)。 所以引理1得證。

設(shè)G是一個(gè)n階有限循環(huán)子群。 易知,在單同態(tài)意義下,G總可以看做一般線性群GL(m,) 的子群,m∈+。 而在相似等價(jià)意義下,G在GL(m,)中的矩陣表現(xiàn)形式有哪些,是一個(gè)值得研究的問(wèn)題。 引理2對(duì)此進(jìn)行了刻畫。

引理2在相似等價(jià)意義下,可以以如下方式嵌入GL(m,):→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次單位根,并且ωi的階數(shù)的最小公倍數(shù)是n。

證明根據(jù)文獻(xiàn)[16]中14節(jié)命題(4)(i),g可以相似對(duì)角化,再由引理1,g的特征值為n次單位根,所以存在群同態(tài)φ:→GL(m,),

其中ωi(i=1,…,m)是n次單位根。 若要此同態(tài)為單同態(tài),必須

且對(duì)任意p∈, 0

這就等價(jià)于要求n次單位根ωi(i=1,…,m)的階數(shù)的最小公倍數(shù)為n。

依據(jù)GL(m,)對(duì)m矩陣乘法作用,m自然成為群G-表示。根據(jù)Maschke定理,群G-表示m可以分解為群G的不可約表示Si的直和,i=1,2,…,n。 但G在GL(m,)中的矩陣表現(xiàn)形式不同,所得到的m的不可約表示Si的直和分解也會(huì)不同。 下面定理1對(duì)此種現(xiàn)象進(jìn)行了刻畫。 在此基礎(chǔ)上,自然地,在Grothedieck群意義下,以Si為基底,我們就可以得到群G-表示m的維數(shù)向量。 此向量在利用群的特征標(biāo)求群的McKay箭圖時(shí)也會(huì)起到重要作用。 我們回憶一下,設(shè)V是一個(gè)群G-表示,則V的維數(shù)向量定義為:dim(V)=(k1,k2,…,kn)T。

定理1設(shè)是一個(gè)以g為生成元的n階群,則存在群?jiǎn)瓮瑧B(tài)φ:→GL(m,)。在相似等價(jià)意義下,設(shè)

(1)此時(shí)的群-表示m有群-不可約表示分解

(2) 群-表示m的維數(shù)向量dim(m)=(d1,d2,…,dn)T。

證明根據(jù)引理2,在相似等價(jià)意義下, 設(shè)n階循環(huán)群作為一般線性群GL(m,)的有限子群的嵌入方式為

其中ωu(u=1,2,…,m) 為n次單位根,并且ωu(u=1,…,m)的階數(shù)的最小公倍數(shù)為n。

設(shè)j∈{1,2,…,n},則由引理1, 欲求群-表示m的不可約表示分解中, 群-不可約表示Sj的重?cái)?shù),只需考慮以下以k1,k2,…,km為未知量的齊次線性方程組的解空間的維數(shù),

即

例1設(shè)為一個(gè)6階循環(huán)群。 若嵌入GL(4,)的方式為

則此時(shí)dim(4)=(0,2,2,0,0,0)T。 若嵌入GL(4,)的方式為

則此時(shí)dim(4)=(1,1,0,1,0,1)T。

2 有限循環(huán)群的McKay箭圖

定理2設(shè)是一個(gè)以g為生成元的n階循環(huán)群,則存在群?jiǎn)瓮瑧B(tài)φ:→GL(m,)。在相似等價(jià)意義下,設(shè)

推論1n階循環(huán)群的McKay箭圖的各個(gè)頂點(diǎn)有相同個(gè)數(shù)的環(huán)。

證明任取的一個(gè)McKay箭圖Γ,任取Γ的頂點(diǎn)i,根據(jù)定理2,頂點(diǎn)i的環(huán)的個(gè)數(shù)是ai,i=di-i=dn, 得證。

由定理2,在不同單同態(tài)下,的McKay箭圖也不同,但這些McKay箭圖有一些共同的性質(zhì)。

推論2設(shè)是一個(gè)以g為生成元的n階循環(huán)群,在任一單同態(tài)下都可把看作GL(m,)的子群。 則對(duì)應(yīng)的的所有McKay箭圖頂點(diǎn)個(gè)數(shù)固定為n,箭向個(gè)數(shù)固定為mn。

證明根據(jù)McKay箭圖的定義,顯然的所有McKay箭圖頂點(diǎn)個(gè)數(shù)固定為n。 從任一頂點(diǎn)i出發(fā)的箭向個(gè)數(shù)為ai,1+ai,2+…+ai,n,根據(jù)定理2,即為d1-i+d2-i+…+dn-i=d1+d2+…+dn=m。 而的McKay箭圖頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為n,所以箭向個(gè)數(shù)為mn。

現(xiàn)在就文獻(xiàn)[15]中例4.3中的3個(gè)例子對(duì)定理2的應(yīng)用加以說(shuō)明。

例2設(shè)為一個(gè)2階循環(huán)群。 若嵌入GL(3,)的方式為

則此時(shí)dim(3)=(2,1)T,3?2S1⊕S2。 我們有a1,1=d2=1,a1,2=d1=2,a2,1=d1=2,a2,2=d2=1。 McKay箭圖見(jiàn)圖1(a)。

若嵌入GL(3,)的方式為

則此時(shí)dim(3)=(3,0)T,3?3S1。 我們有a1,1=d2=0,a1,2=d1=3,a2,1=d1=3,a2,2=d2=0。 McKay箭圖見(jiàn)圖1(b)。

若嵌入GL(3,)的方式為

則此時(shí)dim(3)=(1,2)T,3?S1⊕ 2S2。 我們有a1,1=d2=2,a1,2=d1=1,a2,1=d1=1,a2,2=d2=2。 McKay箭圖見(jiàn)圖1(c)。

圖1 McKay箭圖

通過(guò)和文獻(xiàn)[15]比較我們不難發(fā)現(xiàn),通過(guò)定理2的方法計(jì)算有限循環(huán)群的McKay箭圖更簡(jiǎn)單。