外加諧振電壓時電容器的電容和電感

孫玉明

(煙臺大學光電信息科學技術學院,山東 煙臺 264005)

量子計算因其重要性,成為當前科學研究的重點[1]。量子計算的單元是量子位,量子位的構造基礎是量子態(tài)可控的量子系統(tǒng),比如光子的極化、原子或者原子核的自旋、約瑟夫森結等。基于約瑟夫森結的超導量子計算是一個主要研究方向[2-3]。 一個最簡單的超導量子位由一個約瑟夫森結和一個門電容器構成。在2能級的1/2自旋近似下,它的量子態(tài)由偏移能和隧穿能決定[1],前者的控制參數(shù)是門電壓,后者由約瑟夫森結臨界電流決定。在直流驅動情況下量子位只有門電壓一個控制參數(shù),不是一個理想的量子位[2]。為了解決這個問題發(fā)展出了基于超導量子干涉器件(SQUID)的量子位,它引入新的控制參數(shù)是通過SQUID的磁通[4]。這個磁通實際上是賦予了臨界電流一個可控的相位。這樣的量子相位雖然是理想的,但受襯底低頻電荷漲落和磁通漲落引起的噪音困擾[3,5]。本文從電磁場理論的角度設計1種門電容器,無需外部磁通就可以引進一個控制參數(shù),而且有利于消除噪音。

電容器的電容可以定義為電極上積累的電量Q與電極間電壓u的比值,C=Q/u,也可以用電容器存儲的電場能量We和電壓來定義,即We=Cu2/2。這2種方法是等價的,因為電極上電荷積累就是電場建立的過程,期間電荷克服電場力做的功轉化為電場能量。這2種定義無論是靜態(tài)還是時變情況下都成立,不過這并非意味著2種情況下的電容相同。靜態(tài)情況下,只要已知電極上的電量或者電極間的電壓,就可以唯一地確定電場的分布。不論電壓和電量如何變化,電容器的靜態(tài)電容不變,是一個常數(shù)。時變場情況下,頻率不同,電容器的電磁場分布不同,存儲的電場能量不僅與幾何構型有關,還跟場的模式有關,那么電容器的電容應該有所區(qū)別。另一個變化是電感的出現(xiàn),因為時變場具有磁場能量Wm,它可以用電感L和電流I表示為Wm=LI2/2。就是說,同樣一個電容器,靜態(tài)場情況下只須考慮它的電容,而時變情況下則須考慮電容和電感。時變情況下電容器中的能量在電場與磁場能量間的周期性轉化,類似于LC諧振電路,所以一個電容等效于一個LC電路。

2 腔型門電容器的電磁學特點

本文不討論腔電容器的量子力學特性,而是以圓柱形諧振腔為基礎構造2種電容器,從電磁場理論出發(fā)分析可能出現(xiàn)的諧振模,以及相應的電容和電容器中電磁場的特性。為了方便計算,我們選擇了兩種簡單的電容器。一種是如圖1(a)所示的平板電容器,它是一個用理想金屬做成的圓柱形腔體。它的側面是一個半徑為a,高為d的圓柱面,圓柱面的兩端用相同半徑的理想金屬圓盤封閉起來,并且圓盤與圓柱面是絕緣的。之所以稱這種形式的電容為平板電容器,是因為電極是兩端的金屬圓盤,它們互相平行。第二種是如圖1(b)所示的圓柱電容器,它的2個電極的選擇與第一種不同,是2個理想金屬同軸圓柱面,內外圓柱面的半徑分別是a和b,高為d,在電極的兩端用理想金屬圓環(huán)面封閉,圓柱電極和端面間同樣是絕緣的。兩種電容器內均填充各向同性、均勻且無源的理想介質 (介電常數(shù)ε,磁導率μ)。

圖1 2種由圓柱形諧振腔改造的封閉電容器

對于隨時間以正弦或余弦形式變化的時諧場,可以借助復變函數(shù)的知識把空間變量和時間變量分離:E=Re[E(r)eiωt]和H=Re[H(r)eiωt]。其中ω是角頻率,Re表示求實部,而E(r)和H(r)是一般意義上含有復相位的復矢量,它們滿足復矢量形式的麥克斯韋方程[9-10]:

×E=-iωμH,

由此很容易得到E(r)和H(r)滿足的矢量亥姆霍茲方程:

2E(r)+ω2μεE(r)=0,

從微分方程理論可以知道,給定邊界條件,就可以求解這2個方程,得到電容器的本征電磁場模式。

電容器外接電源時,它與電源發(fā)生能量交換,并且滿足電磁場能量守恒定律,即坡印廷定理[9-10]。 電源輸入的平均功率用輸入電流Ii和電容器的輸入阻抗Zi表示為Zi|Ii|2/2。輸入的能量部分通過極化損耗和焦耳熱損耗的形式轉化為熱能,其余能量以電磁場的形式存儲起來。因為本文討論的電容器中填充理想介質,沒有上述損耗,所以輸入的全部能量以電磁場能量的方式存儲在電容器內。求解得到外加電源時電容器的本征電磁場模式后,進而就可以計算存儲的能量,再根據(jù)坡印廷定理計算輸入阻抗Zi。輸入阻抗包含電阻Ri和電抗Xi兩部分,Zi=Ri+Xi。本文中電容器內部沒有導電性,所以Ri=0, 那么電容器就是一個純電抗器件。這樣就可以得到特定電磁場模式對應的電抗,進而求得電容和電感。

2.1 矢量亥姆霍茲方程的解

圖1所示的2種電容器具有軸對稱性,所以選擇圓柱坐標系討論起來會比較方便。圓柱坐標系中空間1點的坐標用該點處3個正交曲面的交點表示,3個曲面分別是半徑ρ的圓柱面、過對稱軸并與x的夾角為φ的半平面,以及與對稱軸垂直的平面。空間1點處3個正交曲面的單位法線矢量分別是eρ、eφ和ez,是該點的坐標單位矢量。一個點的位置矢量用坐標單位矢量表示為r=eρρ+ezz。在圓柱坐標系中,矢量亥姆霍茲方程的縱向分量Ez和Hz的標量亥姆霍茲方程是:

2Ez(r)+ω2μεEz(r)=0,

應用分離變量法可以得到它們的一般解:

Ez(r)=EmJm(kcρ)eimφe±iβz,

Hz(r)=HmJm(kcρ)eimφe±iβz,

如果Ez=0,Hz≠0,稱之為橫電場(TE);如果Ez≠0,Hz=0則為橫磁場(TM)。

2.2 TM模式電磁場

因為電容的兩端是封閉的,電容內電磁場是沿z軸傳播方向相反的波的疊加,即

E(r)=E(iβ,r)+E(-iβ,r)

H(r)=H(iβ,r)+H(-iβ,r)。

(1)

(2)

(4)

(5)

2.3 TM模式下電容器的輸入阻抗

假設對電容器外加簡諧電壓u(t)=v0cosωt。先考慮平板電容器,它的上下電極內表面的電荷密度分別是ρ1=ez·εE|z=0和ρ2=-ez×εE|z=d。它們在電極內表面的積分

Q1=?-iEmJm(kcρ) e-imφρdρdφ,

Q2=?iEmJm(kcρ) e-imφcos(nπ)ρdρdφ。

只有在m=0時,才具有非零的積分結果,即

兩個電極上的電性必須相反, 所以上式中cos(nπ)=1，即n只能取0或者偶數(shù)。電容器的輸入電流強度Ii=iωQ1。電容器內填充理想介質，沒有電極化和磁極化損耗，并且電導率σ=0,即沒有焦耳熱損耗。電容器是封閉的，所以也沒有輻射損耗。根據(jù)復矢量坡印廷定理[9-10]:

-Sc·dA=i 2ω?(wm-we)dV。

(6)

等式的左邊是復坡印廷矢量Sc=E×H*/2在電容器表面的通量積分，其中的負號表示凈輸入電容器的能量，也就是復平均輸入功率。右邊的積分中wm=μ|H|2/4是磁場的時間平均能量密度，we=ε|E|2/4是電場的時間平均能量密度。式(6)的功率應該等于電路輸入功率Zi|Ii|2/2, 所以有

(7)

該式說明電容器的阻抗包含兩部分,分別由磁場和電場能量確定。純粹的電感儲存磁場能量, 而純粹的電容儲存電場能量。可見電容器的輸入阻抗由感抗XL和容抗XC構成, 電容器確實等效于LC的諧振電路[13-14]。通過計算發(fā)現(xiàn)電容器內電場與磁場的時間平均能量相等，即

將它和Ii=iωQ1代入式(7), 可以得到平板電容器的感抗和容抗：

2.4 TM模式電磁場的確切解

Re(iE0eiωt)，然后通過Q1(t)=Cu(t)求電容C。兩種方法得到相同的結果，即

將m=0和E0代入式(1)—(5)，得到外加諧振電壓時平行板電容器內電磁場的復數(shù)形式

Eφ=Hρ=Hz=0。電場相位滯后于磁場π/2, 電場強度最大時,磁場強度等于零,反之亦然。電容器的輸入電流強度

顯然電流與磁場同步。這些特點與LC串聯(lián)諧振電路完全一致[13-14]。

為了直觀地認識電容中場的特點,計算了電容器內電場強度。因為軸對稱性,圖2(b)給出了x-z平面內t=0時刻一個本征電場強度的電力線和等值圖。電場強度最大值出現(xiàn)在對稱軸z軸，并沿徑向衰減，因為J0(kcρ) 在ρ=0具有最大值，并隨ρ增大而振蕩衰減。沿z軸，電場強度以周期d/2變化。

圖2中粗實線代表電強度的矢量線，背景是電場強度的等值圖，顏色越淺，電場強度越強。

圖2 2種電容器中電場強度分布

2.5 圓柱電容器TM模式

以及電場強度復振幅:

以及相應的電磁場:

與平板電容器一樣, 磁場比電場超前π/2。 電流強度

可見電流與磁場同步。圖2(b)是同軸電容器x-z縱切面中一個本征模的電場強度在t=0時刻的分布。 相較于平板電容器, 電場變得復雜得多。

3 結束語

超導電荷量子位是量子計算的一種基本邏輯單元,為了提高其中約瑟夫森結的量子態(tài)的控制自由度,需要門電壓和磁通2種外接參數(shù),一是增加了結構的復雜度,二是增加了量子位與環(huán)境的作用。這些問題也許可以通過門電容器的新設計得以避免。本文為此以圓柱形電磁諧振腔為基礎,設計了2種電容器。這2種電容器結構簡單,電磁場的模式可以從電磁場理論得到解析解,有利于分析和判斷。雖然理論上這樣的腔型電容器具有無限多的本征模,但在外加時諧電壓源時,只有特定的模式被有效激發(fā)。每個激發(fā)模的等效電容與共振頻率有關,但是電感對所有模式是一個常數(shù),這可以有效減輕后續(xù)進行量子力學研究的難度。盡管電容是變化的,但是仍滿足LC串聯(lián)電路的諧振關系。從量子力學上看,這樣簡單的受迫LC諧振電路的量子態(tài)是相干態(tài),有很好的經(jīng)典力學量對應,其中一個就是極板上的電荷,它的振蕩賦予超導電流一個不同于波函數(shù)相位差的新相位,可以作為一個控制參數(shù)。