調(diào)諧質(zhì)量阻尼器基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)

張 雪,潘 超,韓 笑,柯永賢

(1. 煙臺(tái)大學(xué)土木工程學(xué)院,山東 煙臺(tái)264005;2.同濟(jì)大學(xué)結(jié)構(gòu)防災(zāi)減災(zāi)工程系,上海 200092)

大量研究表明,減震裝置[1]可以有效降低風(fēng)和地震作用引起的結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)[2-3]。其中,調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(Tuned Mass Damper, TMD)作為一種吸振減震裝置,因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、使用方便而受到較多的關(guān)注。TMD系統(tǒng)[4]主要是由質(zhì)量塊、彈簧和阻尼3個(gè)基本元件構(gòu)成,其作用機(jī)理是通過(guò)調(diào)整TMD系統(tǒng)的頻率使之與主結(jié)構(gòu)基本周期相近,使主結(jié)構(gòu)的振動(dòng)能量向TMD轉(zhuǎn)移并由其耗散,從而降低主結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

不少學(xué)者針對(duì)TMD系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)計(jì)方法開(kāi)展了研究工作。DEN提出了TMD基于定點(diǎn)理論的設(shè)計(jì)方法,但由于所需質(zhì)量比較大,減震裝置的質(zhì)量足夠大時(shí)才能達(dá)到理想的減震效果[5]。隨著TMD減震系統(tǒng)不斷應(yīng)用于結(jié)構(gòu)風(fēng)振控制,歐進(jìn)萍等[6]根據(jù)風(fēng)荷載規(guī)范提出了設(shè)置TMD減震系統(tǒng)控制結(jié)構(gòu)風(fēng)振的實(shí)用方法;李春祥團(tuán)隊(duì)[7]研究了TMD-高層鋼結(jié)構(gòu)系統(tǒng)風(fēng)振舒適度的設(shè)計(jì)方法;李創(chuàng)第等[8]基于復(fù)模態(tài)理論推導(dǎo)了TMD減震結(jié)構(gòu)的風(fēng)振、抗風(fēng)可靠度約束抗風(fēng)優(yōu)化設(shè)計(jì)公式。上述傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法主要是控制主結(jié)構(gòu)加速度響應(yīng),未考慮附加減震裝置的響應(yīng)問(wèn)題。基于此,汪正興等[9]提出了控制主結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)為主、兼顧TMD子系統(tǒng)相對(duì)位移響應(yīng)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法;李創(chuàng)第等[10]在結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)的基礎(chǔ)上,提出了TMD基于動(dòng)力可靠性約束的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。上述方法保證了結(jié)構(gòu)在外激勵(lì)下的整體性,TMD子結(jié)構(gòu)對(duì)主結(jié)構(gòu)不一定有最大耗能效果。SADEK等[11]在TMD減震結(jié)構(gòu)前兩階模態(tài)阻尼比相等且最大的情況下,提出了確定TMD系統(tǒng)阻尼比和最優(yōu)頻率比的方法;卜國(guó)雄等[12]以主結(jié)構(gòu)吸收的能量最少為優(yōu)化目標(biāo),通過(guò)非線性規(guī)劃方法得到TMD系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比和最優(yōu)阻尼比;李祥秀等[13]從功率法角度出發(fā),以主結(jié)構(gòu)耗能功率最小為優(yōu)化目標(biāo)獲得了TMD系統(tǒng)的最優(yōu)頻率比與阻尼比。然而,基于定點(diǎn)理論的設(shè)計(jì)方法只對(duì)主結(jié)構(gòu)為無(wú)阻尼的結(jié)構(gòu)體系有效;而且已有設(shè)計(jì)方法未明確給出質(zhì)量比的設(shè)計(jì)公式,設(shè)計(jì)過(guò)程中未考慮性能目標(biāo)和控制成本等問(wèn)題。

鑒于此,本文提出了TMD基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論,推導(dǎo)了TMD有阻尼單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下的解析解,將TMD減震結(jié)構(gòu)的性能目標(biāo)導(dǎo)向設(shè)計(jì)[14-15]問(wèn)題等價(jià)為約束優(yōu)化問(wèn)題,編制計(jì)算機(jī)程序在滿足結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)的前提下實(shí)現(xiàn)成本最小化，得到TMD的設(shè)計(jì)參數(shù)結(jié)果,目標(biāo)性能指標(biāo)選為隨機(jī)響應(yīng)減震比,減震裝置的制作成本會(huì)隨著建筑物重量的增加而增大,故將TMD的質(zhì)量比選定為成本控制指標(biāo),最后通過(guò)設(shè)計(jì)實(shí)例驗(yàn)證了此方法的合理性和有效性。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 TMD的運(yùn)動(dòng)方程

承受地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)的單自由度結(jié)構(gòu),設(shè)置TMD后(圖1),其動(dòng)力平衡方程為

圖1 TMD單自由度減震結(jié)構(gòu)力學(xué)模型

(1)

式(1)中,m、k、c分別為主結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù),mt、kt、ct分別為TMD系統(tǒng)的質(zhì)量、剛度和阻尼系數(shù),u表示為主結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移,ut表示為TMD相對(duì)于地面的位移,ag為地面運(yùn)動(dòng)加速度。

對(duì)于單自由度TMD結(jié)構(gòu)而言,其在白噪聲激勵(lì)下的均方響應(yīng)可以表達(dá)為關(guān)于質(zhì)量比μ、剛度比κ、阻尼比ξ和結(jié)構(gòu)固有阻尼比ζ的解析表達(dá)式。定義如式(2)所示的無(wú)量綱參數(shù):

(2)

則式(1)的無(wú)量綱形式可表示為

1.2 設(shè)置TMD有阻尼單自由度結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)

通過(guò)拉普拉斯變換,式(3)可以轉(zhuǎn)化為方程:

(4)

其中,Ag,U,Ut為ag,u,ut的拉普拉斯變換形式。

線性方程組關(guān)于U,Ut的解如下:

(5)

(6)

則結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的傳遞函數(shù)為

(7)

令s=iω,位移響應(yīng)傳遞函數(shù)的幅值為

(8)

假設(shè)地面運(yùn)動(dòng)激勵(lì)為白噪聲過(guò)程,其功率譜密度為S0,則結(jié)構(gòu)均方響應(yīng)可表示為

(9)

將式(7)代入式(9),可得設(shè)置TMD單自由度結(jié)構(gòu)的位移均方響應(yīng)解析表達(dá)式為[15]

(10)

式(10)中,

A=4ξ2+4μ3ξ(ξ+ζ)+4μξ(3ξ+ζ)+μ2(1+12ξ2+8ξζ) ,

(11)

B=4ξ2ζ+μ4(ξ+ζ)+4μ3ξζ(ξ+ζ)+

2μξ(-1+6ξζ+2ζ2)+μ2ξ(-3+12ξζ+8ζ2),

(12)

C=ξ2+(1+κ2)ξζ+κ2ζ2,

(13)

D=κ2+2ξ(ξ+ζ)+κ(-1+2ξζ+2ζ2) 。

(14)

2 TMD的性能導(dǎo)向設(shè)計(jì)

單自由度TMD結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的核心任務(wù)是確定3個(gè)關(guān)鍵參數(shù):質(zhì)量比μ、剛度比κ、阻尼比ξ。本文采取性能需求為導(dǎo)向的設(shè)計(jì)思想,即在滿足性能需求的前提下,尋找一組設(shè)計(jì)參數(shù)使減震控制的成本最小。性能需求指標(biāo)選為隨機(jī)響應(yīng)減震比,成本控制指標(biāo)為TMD的質(zhì)量比。設(shè)計(jì)過(guò)程中結(jié)構(gòu)響應(yīng)通過(guò)隨機(jī)振動(dòng)分析求得。

將設(shè)置TMD結(jié)構(gòu)的減震比定義如下:

(15)

設(shè)計(jì)過(guò)程中需確立一個(gè)期望達(dá)到的減震比作為設(shè)計(jì)目標(biāo),目標(biāo)減震比可通過(guò)對(duì)原結(jié)構(gòu)進(jìn)行初步分析并結(jié)合性能需求和安全裕度確定[16]:

(16)

對(duì)于設(shè)置TMD的單自由度結(jié)構(gòu),基于隨機(jī)振動(dòng)均方響應(yīng)的減震比可表示為式(17):

(17)

將式(10)代入式(17),可得設(shè)置TMD系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵(lì)下隨機(jī)響應(yīng)減震比的解析表達(dá)式

γ=

(18)

上述單自由度TMD結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以表示為如下形式:

(19)

式(19)中,f(μ,ξ,κ)為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù),γt為目標(biāo)減震比。

可用懲罰函數(shù)法將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束問(wèn)題形式為

(20)

其中,h為懲罰權(quán)重。

由于減震比解析表達(dá)式較繁瑣,式(19)或(20)所述優(yōu)化問(wèn)題難以用解析的方式得到顯式的表達(dá)式。而采用經(jīng)典數(shù)值優(yōu)化方法一般需要目標(biāo)函數(shù)對(duì)優(yōu)化變量的偏導(dǎo)數(shù)表達(dá)式,且需要對(duì)初始解有較好的估計(jì), 求解過(guò)程繁瑣,效果不夠理想。故本文選擇概念簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)、魯棒性好的粒子群算法進(jìn)行設(shè)置TMD的單自由度結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

3 自適應(yīng)權(quán)重粒子群優(yōu)化算法

粒子群算法源于對(duì)鳥(niǎo)群捕食行為的研究,是一種基于迭代的優(yōu)化工具,適用于求解大量非線性的復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題。因粒子群算法需要調(diào)整的參數(shù)較少,且易于程序編程,已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于多個(gè)科學(xué)和工程領(lǐng)域。與傳統(tǒng)算法不同,粒子群算法不用對(duì)函數(shù)求導(dǎo),可直接將目標(biāo)函數(shù)值作為搜索信息[17],進(jìn)而解決許多較復(fù)雜目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。

粒子群算法[18]首先初始化一群隨機(jī)粒子(隨機(jī)解),然后粒子們追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索,即通過(guò)迭代找到最優(yōu)解。假設(shè)d維搜索空間中的第i個(gè)粒子的位置和速度分別為Xi,Vi,在每次迭代過(guò)程中,粒子通過(guò)跟蹤兩個(gè)最優(yōu)解來(lái)更新自己,即個(gè)體極值pbest和全局最優(yōu)解gbest。在找到這兩個(gè)最優(yōu)值時(shí),粒子根據(jù)如下的公式來(lái)更新自己的速度和位置:

(21)

式(21)中,c1和c2為正的學(xué)習(xí)因子,r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù),w(t)為慣性權(quán)重。

粒子群算法在隨機(jī)搜索中存在易陷入局部最優(yōu)的問(wèn)題。慣性權(quán)重越大,越有利于提高算法的全局搜索能力,反之,則會(huì)增強(qiáng)算法的局部搜索能力。因此,可通過(guò)改變慣性權(quán)重來(lái)動(dòng)態(tài)地平衡全局和局部搜索能力,進(jìn)而加速算法的收斂速度。

本文所采用自適應(yīng)慣性權(quán)重系數(shù)的表達(dá)式為

w(t)=(wmax-wmin)Ps(t)+wmin,

(22)

式(22)中,Ps(t)為成功例子比例,即每次迭代后搜索到更優(yōu)解的粒子數(shù)量占粒子總數(shù)量的比值,其表達(dá)式為

(23)

式(23)中,Si(t)為粒子成功函數(shù),表達(dá)式為

(24)

進(jìn)化算法作為模擬自然進(jìn)化過(guò)程的優(yōu)化方法,其本質(zhì)是一種無(wú)約束搜索技術(shù),故將粒子群算法用于求解本文的約束優(yōu)化問(wèn)題時(shí),使用懲罰函數(shù)法[19]進(jìn)行約束優(yōu)化。懲罰權(quán)重的引入可以將約束優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題,對(duì)適應(yīng)度函數(shù)添加懲罰項(xiàng)可以剔除不滿足約束條件的個(gè)體。如果懲罰權(quán)重選取過(guò)大,會(huì)遠(yuǎn)離目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點(diǎn),需要增加迭代次數(shù)長(zhǎng)時(shí)間搜索,若懲罰權(quán)重選取過(guò)小,則會(huì)導(dǎo)致算法穩(wěn)定性、可靠性變差。鑒于此,本文算法使用自適應(yīng)約束懲罰權(quán)重進(jìn)行算法約束,其表達(dá)式為

(25)

式(25)中,t為飛行時(shí)間步。

4 設(shè)計(jì)算例

本節(jié)將運(yùn)用上文提出的基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)某單自由度TMD結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。與基于定點(diǎn)理論的參數(shù)設(shè)計(jì)方法比較可知,本文提出的方法考慮了主結(jié)構(gòu)的固有阻尼比。本文設(shè)定單自由度結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵參數(shù):質(zhì)量m0=200 t,剛度k0=19 980 kN/m,固有阻尼比ζ=0.05。由此得到結(jié)構(gòu)的自振頻率及自振周期分別為

考慮固有阻尼比ζ和目標(biāo)減震比γt不同的4個(gè)設(shè)計(jì)工況,基于Python語(yǔ)言編寫自適應(yīng)粒子群算法的程序PSO,對(duì)表 1所列工況進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化求解。

表1 基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的TMD參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)果

觀察表1數(shù)據(jù)可知,基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法設(shè)計(jì)得到的TMD減震結(jié)構(gòu)的實(shí)際減震比基本與目標(biāo)減震比保持一致;在目標(biāo)減震比相同的前提下,質(zhì)量比隨結(jié)構(gòu)固有阻尼比的增加而增加。

為了驗(yàn)證自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的性能,各參數(shù)設(shè)置如下:粒子數(shù)量設(shè)置為100,最大迭代次數(shù)設(shè)置為100,自適應(yīng)慣性權(quán)重中wmax=1.0,wmin=0.3。各進(jìn)行100次尋優(yōu)運(yùn)算并對(duì)比平均迭代次數(shù),選取首次收斂到目標(biāo)值時(shí)的次數(shù)作為迭代次數(shù)的判定標(biāo)準(zhǔn)。分別作如下對(duì)比:首先將自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子群算法(APSO)與固定慣性權(quán)重、自適應(yīng)懲罰權(quán)重粒子群算法(FPSO,慣性權(quán)重設(shè)為1.0)進(jìn)行迭代次數(shù)對(duì)比;其次,對(duì)比使用自適應(yīng)慣性權(quán)重、固定懲罰權(quán)重粒子群算法(GPSO，懲罰權(quán)重設(shè)為50)的迭代次數(shù)。對(duì)比結(jié)果如表2。最后,為了驗(yàn)證結(jié)果的正確性,將自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法與隨機(jī)給定初始解的“二次規(guī)劃法”對(duì)比成功率,成功率為多次運(yùn)算后收斂到正確解的次數(shù)與總實(shí)驗(yàn)次數(shù)的比值,算法運(yùn)行30次,對(duì)比結(jié)果見(jiàn)表3。

觀察表2、表3數(shù)據(jù)可知,本文提出的自適應(yīng)慣性權(quán)重和自適應(yīng)懲罰權(quán)重算法所需迭代次數(shù)更少一些,收斂速度更快一些,與二次規(guī)劃法對(duì)比發(fā)現(xiàn)自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法成功率可高達(dá)90%～100%,自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法避免了算法陷入局部最優(yōu)運(yùn)算,可動(dòng)態(tài)平衡全局和局部搜索能力進(jìn)而加速收斂速度,而且成功率更高。

表2 不同策略粒子群算法迭代次數(shù)對(duì)比

表3 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法優(yōu)化求解成功率對(duì)比

根據(jù)定點(diǎn)理論,可得到不同工況下TMD系統(tǒng)的設(shè)計(jì)參數(shù)數(shù)值,結(jié)果如表4。與表1中數(shù)據(jù)對(duì)比可知,在目標(biāo)隨機(jī)響應(yīng)減震比一致的情況下,基于自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法得到的TMD質(zhì)量比μ的數(shù)值更小一些,即制作阻尼器的成本較低一些,這說(shuō)明本文提出的方法可以在保證結(jié)構(gòu)性能需求的前提下將減震控制的成本控制在較低水平。

表4 基于定點(diǎn)理論的參數(shù)設(shè)計(jì)結(jié)果

表1、表4中參數(shù)分別代入位移響應(yīng)頻響函數(shù)解析表達(dá)式中,可得到基于2種不同方法的頻響曲線如圖2。從傳遞函數(shù)曲線可看出,在目標(biāo)隨機(jī)響應(yīng)比一致時(shí),隨著等效阻尼比增大,結(jié)構(gòu)的共振峰值隨之降低;而且等效阻尼比相同時(shí),共振峰值則隨著隨機(jī)響應(yīng)減震比的增加而增加。

圖2 單自由度TMD結(jié)構(gòu)的頻響曲線

為了驗(yàn)證自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法所求得參數(shù)的減震效果， 以工況3為例， 分別對(duì)原結(jié)構(gòu)、減震結(jié)構(gòu)進(jìn)行時(shí)程分析，輸入不同頻譜特性的地震動(dòng)：白噪聲、人造地震動(dòng)[20-21]、天然地震動(dòng)(選自美國(guó)太平洋地震工程研究中心的強(qiáng)震觀測(cè)數(shù)據(jù)庫(kù)https://peer.berkeley.edu/)，得到各自對(duì)應(yīng)的位移響應(yīng)曲線(圖 3)。由圖 3可知，時(shí)程響應(yīng)結(jié)果計(jì)算得到的均方響應(yīng)減震比均接近目標(biāo)減震比0.5，這說(shuō)明本文方法設(shè)計(jì)的TMD系統(tǒng)可以有效控制結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，即在滿足結(jié)構(gòu)性能目標(biāo)需求的前提下得到的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器參數(shù)是正確的。

圖3 不同地震激勵(lì)下的原結(jié)構(gòu)與TMD減震結(jié)構(gòu)的時(shí)程曲線(γt=5)

5 小 結(jié)

本文將自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法用于TMD減震結(jié)構(gòu)的性能導(dǎo)向優(yōu)化設(shè)計(jì),并通過(guò)設(shè)計(jì)算例驗(yàn)證了設(shè)計(jì)原則與算法的可行性與有效性。

(1) 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法能有效求解TMD減震結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題,易于編程實(shí)現(xiàn)且魯棒性好。

(2) 性能目標(biāo)導(dǎo)向設(shè)計(jì)原則可以同時(shí)兼顧TMD減震結(jié)構(gòu)的減震性能與控制成本。

(3) 在目標(biāo)減震比相同的前提下,與經(jīng)典的定點(diǎn)理論相比,按本文方法計(jì)算所需的TMD的調(diào)諧質(zhì)量更小。