螺旋錐齒輪三維齒面接觸分析研究 *

李敬財 霍津海 滿 佳 王 鵬

(①天津職業(yè)技術師范大學機械工程學院，天津 300222； ②天津精誠機床股份有限公司，天津 300400)

螺旋錐齒輪作為空間相交軸(弧齒錐齒輪)和空間交錯軸(準雙曲面齒輪)的動力傳動的核心部件，廣泛應用于汽車、航空航天、船舶和電動工具等行業(yè)的動力傳動中。在實際應用中通常是以齒面接觸區(qū)作為評價齒面嚙合質(zhì)量的關鍵手段，而影響齒面接觸區(qū)的主要是與齒輪的修形量以及所對應加工調(diào)整參數(shù)有很大的關系，而作為加工前的接觸質(zhì)量預報，通常是根據(jù)基于加工調(diào)整參數(shù)的齒面接觸分析實現(xiàn)。20世紀60年代早期，提出采用齒面接觸分析(TCA)技術對弧齒錐齒輪及準雙曲面齒輪副的接觸特性及運行質(zhì)量進行理論分析。最初采用TCA技術作為齒面接觸分析技術的是Litvin F L等[1]以及Baxter M L[2]。美國格里森公司(Gleason Works)、德國克林貝格集團( Klingelnberg)的科學家和工程師們對TCA技術的發(fā)展做出了很大的貢獻[3]，并開發(fā)出商用軟件[4-6]。由于采用TCA程序可以大大減少螺旋錐齒輪設計和制造過程中的反復進行試算、試切過程所需的時間，目前廣泛用于齒輪工業(yè)中。目前齒面接觸分析計算的齒面接觸區(qū)算法都是基于齒面誘導曲率來計算，其計算結果是二維的[7-8]，不具有直觀性，為獲得更具直觀的三維齒面接觸區(qū)，作者提出采用數(shù)值法求解齒面接觸區(qū)。

1 螺旋錐齒輪齒面數(shù)學模型的建立

螺旋錐齒輪齒面是由加工其刀具表面包絡而成，具有直線刃的刀盤可以認為是個錐面。切削大輪和小輪刀具的錐面在坐標系Sc(與切削刀具固連)中的位置矢量、單位法矢量和單位切矢量為

(1)

其中：(ui,θi)是錐面參數(shù)，i=1表示切削小輪刀具，i=2 表示切削大輪刀具。

基于自由曲面加工的 CNC螺旋錐齒輪加工設備和傳統(tǒng)采用搖臺機構的螺旋錐齒輪加工設備都用于螺旋錐齒輪的加工。通常齒面數(shù)學模型在與齒輪i固連的坐標系Si下表示為(i=1,2)。

(2)

式中：φi是被加工齒輪的轉角;fi=0為嚙合方程(i=1,2)。

2 齒面接觸跡線求解

修形后螺旋錐齒輪理論嚙合齒面為點φ2接觸嚙合齒面，在嚙合過程中接觸點的連線稱為接觸跡線。圖1為嚙合齒面Σ1和Σ2在安裝坐標系下示意圖，用于模擬嚙合過程的坐標系Sf與機座固連。齒面Σ1及Σ2在M點嚙合,T是在點M處的切平面。φ1和φ2分別是小輪和大輪的角位移，小輪和大輪在點M處嚙合。小輪和大輪在Sf坐標下的位置矢量和單位法矢量方程為

(3)

(4)

通常情況下，用于齒面接觸分析TCA計算的方程組是基于在接觸點出位置矢量和法矢量相等條件下建立的(圖1)，在坐標系Sf下其數(shù)學表達式為[9]:

(5)

(6)

f1(u1,θ1,φ1)=0

(7)

f2(u2,θ2,φ2)=0

(8)

當φ1為輸入?yún)?shù)，方程(5)～(8)組成的方程組是由具有7個變量的非線性方程組成。其中u1、θ1、φ1、φ1、u2、θ2、φ2、φ2為由方程(5)～(8)組成的方程組的未知數(shù)。

為了減少迭代方程的數(shù)目和提高迭代過程的收斂性，方程(6)～(8)可以分別用u1、u2、φ1, 顯性表達出來。圖2、圖3分別為大輪和小輪的切齒坐標系，Sm1和Sm2分別為加工大輪和小輪的機床坐標系，坐標系S1、S2分別與小輪和大輪固連。方程(7) 、(8) 可以用u1、u2表達，在此僅給出結果:

(9)

(10)

其中：

方程(6)可以用φ1,φ2顯示表達。

(11)

(12)

其中：p1、p2分別為與小輪和大輪軸線共線的單位矢量 (圖4 )。

由式 (9)、(10)可知，u1、u2可被顯示表達為

u1=u1(θ1,φ1)

(13)

u2=u2(θ2,φ2)

(14)

由公式(11) ～(14) ，φ1、φ2顯示表達為

φ1=φ1(θ1,φ1,θ2,φ2)

(15)

φ2=φ2(θ1,φ1,θ2,φ2)

(16)

因此，用于TCA迭代的方程組 (5) ～ (8)可以減少為由方程組 (13)～(16)

(17)

由公式(17)進行TCA計算的方程組僅包括3個非線性方程。當給定參數(shù)φ1時，用公式(17)計算出瞬時嚙合齒面點坐標值，當φ1變化時可求得一系列齒面嚙合坐標點，求得齒面接觸跡線。

3 數(shù)值法求解瞬時接觸區(qū)域

盡管螺旋錐齒輪是理論點嚙合，但是其在輕載下其齒面會有輕微的塑性變形，當齒面接觸時會在接觸點周圍擴展一個橢圓區(qū)域，在接觸點法矢量方向，當間隙小于δ時，便認為這兩個齒面是在瞬時的接觸區(qū)域(圖5)，通常δ=0.006 35 mm[10]。以往算法是通過計算兩個齒面誘導曲率獲得齒面瞬時接觸橢圓，但是僅能得到二維的接觸橢圓參數(shù)以及二維齒面接觸區(qū)。本文采用數(shù)值法求解齒面瞬時接觸區(qū)域，可獲得三維齒面接觸橢圓，從而獲得三維齒面接觸區(qū)，使得接觸區(qū)更加直觀。

3.1 局部坐標系的建立

螺旋錐齒輪齒面Σ1、Σ2在點M接觸，局部坐標系SM(M;i′,j′,k′) 原點是在當前接觸點處，j′、k′在切平面T(圖6)，其中

(18)

(19)

k′=i′×j′

(20)

在局部坐標系SM下，Σ1、Σ2位置矢量可由下式表示

(21)

其中：MMf為由Sf到SM變換矩陣。

3.2 數(shù)值法求解瞬時接觸邊界

瞬時接觸邊界可以認為是由一系列沿著接觸點處法矢量方向間隙值為δ的點組成。其詳細描述如下。

在圖7中，Mp為切平面上的一個線段，在SM坐標系下，端點p可以表示為：

(22)

如圖8,p(1)、p(2)為由點p沿著i′分別與小輪和大輪齒面交點，這兩點在SM坐標系下可表示為：

(23)

(24)

沿著i′方向，p(1)、p(2)兩點距離為δ(圖 5), 距離公式可由下式表達:

(25)

由式(23)、(24) 及(25),用于求解瞬時接觸橢圓的方程組為

(26)

其中：(θ1(α),φ1(α),θ2(α),φ2(α),Mp(α))為需要求解未知數(shù)，α(α∈[0,2π))和δ為已知值。方程組(13)為非線性方程組，改進的Powell 混合算法用

于求解該方程組[11-12]。在由式(26)求解出未知數(shù)(θ1,φ1,θ2,φ2,Mp)基礎上,由式(2)求解出在齒面Σ1、Σ2的瞬時接觸邊界，由式(25)可以求解出瞬時接觸邊界在嚙合點出的切平面T上的投影，該投影類似橢圓。

3.3 瞬時接觸區(qū)域的方向求解

如上所述，瞬時接觸區(qū)域類似橢圓，由式(26)可以求解出4個解Mpi(αi)(i=1,...,4)，這4個解的關系為：

Dmax≈Mp1(α1)+Mp2(α2)

(27)

Dmin≈Mp3(α3)+Mp4(α4)

(28)

其中：Dmax(Dmin) 為瞬時接觸橢圓的長軸(短軸)。

在切平面T上對應的瞬時接觸橢圓的方向可由αi(i=1,...,4)表示(圖9)。 瞬時接觸橢圓求解流程如圖8所示。

表1 齒坯參數(shù)

4 算例

本算例中給出的齒輪為9×35準雙曲面齒輪。表1為齒坯參數(shù)，表2為加工調(diào)整參數(shù)，根據(jù)表1、表2給定參數(shù)通過公式17求解的一個瞬時點對應的參數(shù)值(見表3)，根據(jù)公式(26)、公式(30)、公式(31)求解該給定嚙合點處接觸橢圓在切平面上的接觸邊界(圖9)，由計算結果可知實際上接觸邊界不是嚴格意義上的橢圓，其形狀類似橢圓，圖10為該瞬時接觸橢圓在大輪三維齒面上計算結果。圖11為計算一系列瞬時接觸橢圓形成的三維齒面接觸區(qū)。

表2 加工調(diào)整參數(shù)

表3 嚙合點處瞬時接觸橢圓

值得說明的是，由于加工不可避免產(chǎn)生齒面誤差，無法通過試切法滾檢得到接觸區(qū)與理論計算結果(圖10、圖11)對比驗證該算法的正確性。但是通過將新算法得到的三維齒面接觸區(qū)參數(shù)轉化二維齒面接觸區(qū)并與美國格里森公式的商業(yè)軟件(CAGE)齒面接觸分析計算結果對比，結果表明二者總體趨勢是一致的。

5 結語

以往采用嚙合齒面誘導曲率方式求解瞬時接觸區(qū)是在假設該瞬時接觸邊界符合理論橢圓公式基礎上求得的，可獲得二維齒面接觸區(qū)；本文采用數(shù)值算法求解了瞬時齒面接觸區(qū)，計算結果表明在輕載下齒面瞬時接觸邊界為類似橢圓形狀的三維空間曲線，采用數(shù)值法可獲得輕載下螺旋錐齒輪的三維齒面接觸區(qū)。