以“數(shù)形結(jié)合”助“直觀想象”

林賢數(shù)

摘要：本文從一道得分率較低的考題出發(fā)，通過調(diào)查分析制約學(xué)生運(yùn)用“以形助數(shù)”解題的瓶頸，思考學(xué)生“以形助數(shù)”能力提高的策略，從學(xué)生實(shí)際出發(fā)提出三個(gè)教學(xué)關(guān)鍵點(diǎn)：一是如何根據(jù)題中所給條件來畫動(dòng)靜結(jié)合的圖形，進(jìn)行以數(shù)定形;二是在動(dòng)靜結(jié)合的圖形中如何實(shí)施動(dòng)靜互化，揭示圖形的本質(zhì);三是在復(fù)雜圖形中如何實(shí)施動(dòng)中找定，在動(dòng)靜結(jié)合中切實(shí)有效地提高“以形助數(shù)”的能力。從而落實(shí)直觀想象的核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：以形助數(shù);以數(shù)定形;動(dòng)靜互化;動(dòng)中找定

一、提出問題

在第一次數(shù)學(xué)適應(yīng)性測(cè)試中，本人發(fā)現(xiàn)大部分考生都被本題第一問給難住了。問題再現(xiàn)：

⑴求角C的取值范圍;⑵略

二、調(diào)查分析

為何考試效果不盡如人意呢？為了探明問題的根源，本人對(duì)做錯(cuò)的學(xué)生進(jìn)行了走訪調(diào)查，請(qǐng)他們?cè)敿?xì)說明不能完成的原因。學(xué)生普遍反映：問題中已知條件太少，由正弦定理知道 ，但由于不知道角B的范圍，就不敢往下求了。

在試卷講評(píng)課上，當(dāng)個(gè)別學(xué)生提出 時(shí)，很多學(xué)生都還將信將疑。為了一窺究竟，老師便引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)已知條件畫出圖形，但發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生沒法畫出圖形。

如圖， 取線段AC長為1，動(dòng)點(diǎn)B在以點(diǎn)A為圓心、 為半徑的圓上（但不與AC共線）。通過結(jié)合定點(diǎn)C 與點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)，便很容易得到答案，這里不再贅敘。

大部分學(xué)生在豁然于圖形的直觀之余，也感嘆數(shù)形結(jié)合思想的妙用。

三、深度反思、追溯缺失

3.1源于學(xué)生的因素：

⑴學(xué)生受困于不會(huì)作圖，即“以數(shù)定形”能力的缺失，沒有圖也就談不上 “以形助數(shù)”解決問題了，暴露出學(xué)生平時(shí)不原意動(dòng)手畫圖的壞習(xí)慣;

⑵缺少對(duì)數(shù)的分析能力，也不善于從數(shù)聯(lián)想形，從數(shù)到形的轉(zhuǎn)化能力較差;

⑶平時(shí)學(xué)生在用“以形助數(shù)”解決較復(fù)雜問題時(shí)，缺少用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)看待運(yùn)動(dòng)變化全過程的意識(shí)，使得把握“動(dòng)靜結(jié)合”解決問題的能力不足。

3.2源于教師的因素：

⑴平時(shí)教學(xué)中，教師只注重對(duì)解題思路、方法的分析，所以往往是直接為學(xué)生畫出圖形，導(dǎo)致學(xué)生“以數(shù)定形”時(shí)畫圖的動(dòng)手能力缺失;

⑵平時(shí)教學(xué)中，教師在用“以形助數(shù)”解決問題時(shí)，沒有很好地引導(dǎo)學(xué)生去觀察運(yùn)動(dòng)變化過程中的一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，使化動(dòng)為靜、動(dòng)中找定能力不足。

四、方法策略、提高能力

4.1培養(yǎng)“以數(shù)定形”的能力

解析：⑴先讓學(xué)生嘗試根據(jù)題中條件畫出以下兩個(gè)動(dòng)態(tài)圖形：圖⑴是固定角B的頂點(diǎn)，讓長為1的邊AC運(yùn)動(dòng);圖⑵是固定長為1的邊AC，讓角B的頂點(diǎn)運(yùn)動(dòng)（由于 大小不變，故知點(diǎn)B在一個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)）;

⑵再根據(jù)本題的解題目標(biāo)------即求△ 的面積的最大值，來討論哪一個(gè)圖形更容易解決該問題？

顯然圖⑵更容易，預(yù)設(shè)理由：由于 ，轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離 的最大值，在這一動(dòng)一靜中，容易確定。（其它解法不再展開贅敘）

評(píng)注：“一動(dòng)一靜”是“以形助數(shù)”解決問題時(shí)，所畫圖形必須具備的重要特征，而且動(dòng)點(diǎn)的軌跡在圖形中必須是清楚的。

例2、若平面向量 滿足 ，且以向量 為鄰邊的平行四邊形的面積為 ，則 與 的夾角 的取值范圍是。

如圖⑶，因?yàn)?，作 ，所以固定線段OA長為1，動(dòng)點(diǎn)B在以O(shè)為圓心、1為半徑的圓上或圓內(nèi)。又以向量 為鄰邊的平行四邊形記為OACB，邊OA上的高為定值 ，知點(diǎn)B在與直線OA平行且與直線OA距離為 的直線上。綜上知點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段 （包括端點(diǎn)）。所以答案為 。

評(píng)注：畫圖時(shí)要先通過分析已知數(shù)據(jù)中的穩(wěn)定量（即向量 ）與不穩(wěn)定量（即向量 ），再確立圖形中靜的元素（即線段 ）與動(dòng)的元素（即線段 ）。

4.2培養(yǎng)“動(dòng)靜互化”的能力

例3、如圖⑷，放置的邊長為1的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸正半軸上滑動(dòng)，則 的最大值是（）

解析：正方形ABCD分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，導(dǎo)致多個(gè)點(diǎn)都在動(dòng)，問題難以入手，現(xiàn)在我們換個(gè)角度，因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)是相對(duì)的，所以問題就可以等價(jià)看作正方形固定，原點(diǎn)O以AD為直徑作半圓周運(yùn)動(dòng)，那么問題就轉(zhuǎn)化為如圖⑸所示，只有點(diǎn)O是動(dòng)點(diǎn)，且在以AD為半徑的半圓周上運(yùn)動(dòng)，從而大大減少了思維量。

如圖⑻，若過點(diǎn)P作已知定直線的平行線，再通過點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)帶動(dòng)平行線的運(yùn)動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)P為切點(diǎn)時(shí)， 取最小值。因此只要求出切線方程的縱截距為 ，便可得“折線距離”的最小值為

評(píng)注：本題的難點(diǎn)在于點(diǎn)P與點(diǎn)Q均為運(yùn)動(dòng)中的點(diǎn)，為了降低解題難度，可以先固定其中一點(diǎn)，化動(dòng)為靜，在一動(dòng)一靜中，實(shí)現(xiàn)動(dòng)中找定;然后再運(yùn)動(dòng)原先固定的點(diǎn)，在一動(dòng)一靜中， 通過又一次的動(dòng)中找定，達(dá)到解決問題的目的。

五、反思

分析評(píng)價(jià)學(xué)生的錯(cuò)誤，我們不能只滿足于告訴學(xué)生正確的答案，而應(yīng)該關(guān)注錯(cuò)誤背后，學(xué)生在知識(shí)、方法、思想層面上的缺失。找準(zhǔn)契機(jī)，以學(xué)生現(xiàn)有思維能力為起點(diǎn)，循序漸進(jìn)引領(lǐng)開展數(shù)形結(jié)合的探究，這也是落實(shí)數(shù)學(xué)直觀想象核心素養(yǎng)的體現(xiàn)。