基于BDS-3五頻超寬巷/寬巷組合的中長(zhǎng)基線單歷元定位方法

高 旺，潘樹(shù)國(guó)，劉力瑋，李 陽(yáng)，惠 哲

（1. 東南大學(xué) 儀器科學(xué)與工程學(xué)院，南京 210096； 2. 自然資源部大地測(cè)量數(shù)據(jù)處理中心，西安 710054）

我國(guó)北斗三號(hào)（BDS-3）全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)已于2020 年7 月31 日正式開(kāi)通，標(biāo)志著北斗正式邁進(jìn)全球服務(wù)時(shí)代。與北斗二號(hào)（BDS-2）在 B1I（ 1561.098 MHz ）、 B2I （ 1207.14 MHz ）、 B3I（1268.52 MHz）上播發(fā)三個(gè)頻率信號(hào)相比，BDS-3在B1C（1575.42 MHz）、B1I（1561.098 MHz）、B2a（ 1176.45 MHz ）、 B2b （ 1207.14 MHz ） 和 B3I（1268.52 MHz）上播發(fā)五個(gè)頻率信號(hào)[1]。更多的觀測(cè)頻率除了增加可用觀測(cè)數(shù)量上的冗余外，還能通過(guò)組合構(gòu)造出更多具有優(yōu)良特性的組合觀測(cè)值，通常具有長(zhǎng)波長(zhǎng)、弱電離層影響以及低噪聲等特性。這些優(yōu)勢(shì)對(duì)于提升整周模糊度解算、周跳探測(cè)以及定位解算性能等具有顯著的意義[2,3]。

使用多頻組合觀測(cè)值，最為突出的優(yōu)勢(shì)是一些整系數(shù)之和為零的超寬巷/寬巷模糊度能夠較容易地求解。經(jīng)典的三頻模糊度解算方法，如TCAR 方法[4]、CIR 方法[5]，均是先解算出最易求解的超寬巷模糊度，在此基礎(chǔ)上利用模糊度固定的超寬巷輔助寬巷解算，進(jìn)而利用寬巷輔助窄巷解算。早期模型主要針對(duì)短基線并采用簡(jiǎn)單的無(wú)幾何模型，在此前提下通常忽略電離層延遲的影響。后續(xù)學(xué)者在此基礎(chǔ)上陸續(xù)提出了一系列改進(jìn)的算法，更多地考慮了中長(zhǎng)基線情況下電離層延遲的影響以及采用多星聯(lián)立的幾何相關(guān)模型，一定程度上擴(kuò)展了三頻模糊度解算模型的適用性和可靠性[6-8]。但是，需要指出的是，在中長(zhǎng)基線情況下，由于非模型化誤差、觀測(cè)噪聲等的存在以及受限于自身的觀測(cè)值波長(zhǎng)較短，窄巷模糊度仍然難以實(shí)現(xiàn)單歷元瞬時(shí)固定，通常需要數(shù)個(gè)歷元進(jìn)行平滑或?yàn)V波。

盡管在中長(zhǎng)基線情況下，窄巷模糊度難以實(shí)現(xiàn)瞬時(shí)固定，但如能充分利用模糊度容易固定的超寬巷/寬巷觀測(cè)值，對(duì)于提升定位性能同樣具有較大的價(jià)值。模糊度固定后的超寬巷/寬巷即類似于高精度的“偽距”，盡管無(wú)法提供類似窄巷的厘米級(jí)定位，但相比偽距觀測(cè)值仍然具有較大的提升，且具有和偽距定位相當(dāng)?shù)膶?shí)時(shí)性和連續(xù)性[9]。事實(shí)上，一些定位應(yīng)用場(chǎng)景如車道級(jí)車輛導(dǎo)航、航道測(cè)量、高精度人員定位等，分米至亞米級(jí)的定位即可滿足其精度要求，而在定位的連續(xù)性方面具有更高的要求。針對(duì)這一需求，文獻(xiàn)[8-10]等利用GPS 或BDS-2 三頻數(shù)據(jù)，提出采用三頻超寬巷/寬巷觀測(cè)值進(jìn)行長(zhǎng)距離實(shí)時(shí)精密定位，結(jié)果驗(yàn)證了中長(zhǎng)基線情況下，三頻超寬巷/寬巷觀測(cè)值能提供單歷元無(wú)需初始化的分米至亞米級(jí)定位。

針對(duì)BDS-3 五頻信號(hào)，文獻(xiàn)[3]研究了無(wú)幾何模型應(yīng)用于不同組合的模糊度解算性能，在82.5 km 的中長(zhǎng)基線情況下，三個(gè)超寬巷模糊度單歷元固定成功率接近100%，但寬巷和基礎(chǔ)模糊度固定成功率僅分別為95.97%和75.88%，表明無(wú)幾何模型有時(shí)難以實(shí)現(xiàn)中長(zhǎng)基線寬巷和基礎(chǔ)模糊度的單歷元可靠固定。本文在已有三頻超寬巷/寬巷單歷元定位及BDS-3 五頻模糊度解算研究的基礎(chǔ)上，以實(shí)現(xiàn)可靠的中長(zhǎng)基線單歷元分米級(jí)定位為目標(biāo)，研究無(wú)幾何和幾何相關(guān)模型相結(jié)合的BDS-3 五頻超寬巷/寬巷組合模糊度單歷元可靠解算模型和相應(yīng)的單歷元定位方法，并從理論和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)兩個(gè)角度對(duì)模糊度解算和定位的性能進(jìn)行分析和驗(yàn)證。

1 BDS-3 五頻載波觀測(cè)值組合模型

針對(duì)中長(zhǎng)基線情況，考慮對(duì)流層和一階電離層延遲影響的BDS-3 載波和偽距觀測(cè)方程可表示為：

式中，Δ 表示站間星間二次差分算子；φ 和P 分別表示以距離為單位的載波和偽距觀測(cè)值；下標(biāo)j 表示衛(wèi)星觀測(cè)頻率；ρ 表示站星距離；T 表示對(duì)流層延遲;1I 表示對(duì)應(yīng)第一個(gè)頻點(diǎn)上的一階電離層延遲；表示第j 個(gè)頻點(diǎn)上的電離層延遲系數(shù)， fj表示信號(hào)頻率；λ 表示載波信號(hào)波長(zhǎng)；N 表示整周模糊度；ε 表示觀測(cè)值噪聲。

對(duì)于式(1)中所示的觀測(cè)方程，可對(duì)其進(jìn)行觀測(cè)值線性組合。五頻情況下，按周以整系數(shù)組合的載波觀測(cè)值可表示為[2-3]：

相對(duì)應(yīng)的觀測(cè)方程可表示為：

式(2)(3)中， ik( k=1,2, … ,5)表示組合系數(shù)。組合觀測(cè)值相應(yīng)的頻率電離層延遲系數(shù)整周模糊度以及噪聲放大系數(shù)可表示為：

2 長(zhǎng)基線五頻超寬巷/寬巷模糊度解算及定位模型

聯(lián)立式(1)中所示的偽距方程以及式(3)所示的組合載波方程，可得式(5)所示觀測(cè)方程。對(duì)于五頻觀測(cè)值，在滿足整系數(shù)之和為零的眾多組合中，僅有四個(gè)線性無(wú)關(guān)組合，即任意一個(gè)組合系數(shù)為零的整數(shù)組合均可由這四個(gè)線性無(wú)關(guān)組合通過(guò)線性組合得到[8]?？紤]組合系數(shù)的任意性，式(5)中的四個(gè)超寬巷/寬巷組合理論上可有無(wú)窮多種選擇。為了選取最優(yōu)組合觀測(cè)量，可采用分步解算的方法逐步選取最優(yōu)的組合觀測(cè)量[11]，具體步驟為：

（1）聯(lián)立式(5)中的五個(gè)偽距觀測(cè)方程與第一個(gè)超寬巷/寬巷觀測(cè)方程進(jìn)行聯(lián)合解算，采用無(wú)幾何無(wú)電離層（GIF）模型，共同估計(jì)雙差幾何項(xiàng) Δρ + ΔT 、雙差電離層延遲 ΔI 以及組合模糊度在[-10,10]的系數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行遍歷，選取求解精度最優(yōu)的組合系數(shù)。由于消除了幾何項(xiàng)和電離層項(xiàng)的影響，在忽略多路徑誤差影響的前提下，該模糊度的求解理論上僅受觀測(cè)噪聲的影響。通過(guò)遍歷搜索，可得BDS-3五頻組合中，模糊度求解精度最高的組合為(1,-1,0,0,0)，取雙差偽距和載波觀測(cè)值精度 σΔP和 σΔφ分別為0.5 m 和0.5 cm 時(shí)，模糊度先驗(yàn)求解精度為0.041 周，如表1 所示；

（2）當(dāng)（1）中最優(yōu)的(1,-1,0,0,0)超寬巷模糊度固定后，即可視為高精度的“偽距”觀測(cè)值，與五個(gè)偽距觀測(cè)方程共同輔助求解第二個(gè)超寬巷模糊度，同樣按照（1）中的搜索原則進(jìn)行遍歷，可得次優(yōu)的觀測(cè)組合。需要說(shuō)明的是，兩個(gè)載波組合觀測(cè)值聯(lián)立解算時(shí)需要考慮組合觀測(cè)值之間的交叉相關(guān)性[8]。通過(guò)遍歷搜索可知，次優(yōu)組合不唯一，有若干個(gè)組合的模糊度解算精度均為 0.043 周，選取其中組合系數(shù)較小的(0,0,-1,1,0)作為次優(yōu)組合；

（3）次優(yōu)組合確定后，兩個(gè)超寬巷方程與偽距組合進(jìn)一步聯(lián)立解算，同樣可得若干個(gè)解算精度相同的觀測(cè)組合，選擇(0,0,0,-1,1)作為第三個(gè)最優(yōu)組合；按照同樣的方式可得第四個(gè)最優(yōu)組合(0,1,-1,0,0)。

上述各步驟中，各模糊度求解精度分別如表1 中模糊度固定數(shù)量為0～3 時(shí)對(duì)應(yīng)精度所示，為了對(duì)比分析模糊度固定對(duì)后續(xù)模糊度解算的影響，模糊度固定數(shù)量為0 對(duì)應(yīng)的列也給出了各組合直接與偽距觀測(cè)值聯(lián)合求解的模糊度精度。同時(shí)表1 的最后一行也給出了在不同模糊度固定數(shù)量情況下的站星距離估計(jì)精度，如模糊度固定數(shù)為 0 時(shí)的站星距離精度為0.960 m，即表示偽距求解的站星距離精度；而模糊度固定數(shù)為4 時(shí)，即表示四個(gè)超寬巷/寬巷均固定后的站星距離精度可達(dá)0.206 m。

表1 BDS-3 五頻超寬巷（EWL）/寬巷(WL)模糊度及相應(yīng)的站星距離估計(jì)精度Tab.1 Precision of BDS-3 EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

從表1 中所示結(jié)果可以看出，采用無(wú)幾何無(wú)電離層模型時(shí)，BDS-3 五頻組合中，有三個(gè)超寬巷的模糊度求解精度較高，分別為0.041 周、0.043 周和0.061周，且該模型中不受幾何項(xiàng)誤差和電離層誤差的影響，按照如式(6)所示的先驗(yàn)成功率計(jì)算公式，可得其四舍五入取整的成功率幾乎為100%。同時(shí)可發(fā)現(xiàn)，第二和第三個(gè)組合觀測(cè)值直接與偽距觀測(cè)值聯(lián)立求解也可獲得較高的精度，尤其是第二個(gè)超寬巷組合，解算精度幾乎相同。這表明在實(shí)際解算時(shí)，為簡(jiǎn)化計(jì)算的流程，可同步將該三個(gè)超寬巷組合與偽距聯(lián)合求解，而無(wú)需分步解算。

式(6)中，σ 為觀測(cè)值噪聲造成的模糊度隨機(jī)性誤差。

當(dāng)最優(yōu)的三個(gè)超寬巷模糊度固定后，對(duì)應(yīng)的站星距離估計(jì)精度可從0.960 m 提升至0.805 m，表明此時(shí)能實(shí)現(xiàn)定位精度的提升，但提升幅度非常有限，仍需繼續(xù)求解第四個(gè)寬巷模糊度。與上述三個(gè)較易固定的超寬巷組合不同，第四個(gè)寬巷組合對(duì)應(yīng)的求解精度僅為0.207 周，對(duì)應(yīng)的取整成功率為98.43%，表明此時(shí)直接取整存在一定的風(fēng)險(xiǎn)。但如果第四個(gè)寬巷模糊度能夠正確求解，對(duì)應(yīng)的站星距離估計(jì)精度將可大幅提升至0.206 m，這意味著當(dāng)定位精度因子（Position Dilution of Precision, PDOP）為1 時(shí)，對(duì)應(yīng)的三維定位精度將達(dá)到0.206 m。

為了提高上述第四個(gè)寬巷模糊度的求解精度，可聯(lián)立多個(gè)衛(wèi)星對(duì)的雙差觀測(cè)方程（包括偽距和模糊度固定的超寬巷方程），采用幾何相關(guān)模型進(jìn)行最小二乘聯(lián)合求解。此時(shí)式(5)中的雙差站星距參數(shù) Δρ 將分解為[d x, d y ,d z ]三個(gè)坐標(biāo)分量與對(duì)應(yīng)方向余弦的乘積。由于對(duì)流層參數(shù) ΔT 與坐標(biāo)中的高程分量具有較強(qiáng)的相關(guān)性，為了保證參數(shù)之間的非耦合性，且考慮到對(duì)流層延遲的大部分可通過(guò)模型予以改正，因此在寬巷模糊度求解時(shí)忽略殘余對(duì)流層延遲的影響，而不作為參數(shù)估計(jì)。此時(shí)的未知參數(shù)X 為：

求得寬巷模糊度的浮點(diǎn)解及其對(duì)應(yīng)的方差-協(xié)方差矩陣后，采用最小二乘降相關(guān)（Least-Squares Ambiguity Decorrelation Adjustment, LAMBDA）方法進(jìn)行模糊度的搜索和固定。模糊度固定后回代入觀測(cè)方程，即可求得固定解情況下的坐標(biāo)解d x, d y,dz。

為對(duì)比分析BDS-3 五頻的優(yōu)勢(shì)，表2 給出了BDS-2 和GPS 三頻觀測(cè)值采用上述超寬巷/寬巷分步解算時(shí)的模糊度求解精度及最終的站星距離精度。聯(lián)合表1 和表2 可以看出，BDS-3 在模糊度的解算和站星距離精度方面均優(yōu)于BDS-2 和GPS，尤其在站星距離精度方面，BDS-3 相比BDS-2 和GPS 分別提升了60.08%和57.35%。

表2 BDS-2 和GPS 超寬巷（EWL）/寬巷(WL)模糊度及站星距離估計(jì)精度Tab.2 Precision of BDS-2 and GPS EWL/WL ambiguity resolution and corresponding station-to-satellite distance estimation

3 解算實(shí)驗(yàn)

為驗(yàn)證上述單歷元超寬巷/寬巷模糊度解算和定位的性能，采用一組實(shí)測(cè)的BDS-3 五頻中長(zhǎng)基線數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。該基線數(shù)據(jù)來(lái)源于陜西省參考站網(wǎng)，觀測(cè)日期為2020 年9 月22 日（24 小時(shí)），基線長(zhǎng)度106.3 km，采樣間隔為10 s。解算過(guò)程中，設(shè)定參與解算的衛(wèi)星截止高度角為10 °，觀測(cè)值隨機(jī)模型采用指數(shù)高度角模型[12]，其中非差的偽距和載波精度分別設(shè)定為0.3 m 和2 mm。單歷元解算時(shí)，首先采用無(wú)幾何無(wú)電離層模型對(duì)單個(gè)衛(wèi)星對(duì)的超寬巷進(jìn)行解算，其中三個(gè)超寬巷模糊度與偽距觀測(cè)方程同步解算（非分步）；其次利用模糊度固定的超寬巷方程聯(lián)立偽距觀測(cè)方程，采用幾何相關(guān)模型，解算第四個(gè)寬巷模糊度。為減弱殘余對(duì)流層延遲等非模型化誤差對(duì)模糊度固定的影響，僅對(duì)高度角大于20 °的寬巷模糊度進(jìn)行整數(shù)搜索。

該時(shí)段內(nèi)包含五頻數(shù)據(jù)的BDS-3衛(wèi)星數(shù)及其對(duì)應(yīng)的PDOP 如圖1 所示，其中可視衛(wèi)星數(shù)量在7～11 顆范圍內(nèi)波動(dòng)，相應(yīng)的PDOP 值在1.5～3.5 范圍內(nèi)，可以看出單BDS-3 系統(tǒng)滿足獨(dú)立進(jìn)行定位的觀測(cè)條件。

圖1 BDS-3 可視衛(wèi)星數(shù)及對(duì)應(yīng)的定位精度因子Fig.1 Visible satellites of BDS-3 and corresponding position dilution of precision (PDOP)

超寬巷模糊度采用GIF 模型的解算偏差如圖2 所示，圖中不同的顏色對(duì)應(yīng)不同BDS-3 衛(wèi)星的結(jié)果，模糊度結(jié)果的比較真值采用多歷元平滑的結(jié)果。為了對(duì)比分析第四個(gè)寬巷模糊度解算的效果，圖2(d)也給出了第四個(gè)寬巷（0, 1, -1, 0, 0）組合采用GIF 模型解算的結(jié)果。四類模糊度結(jié)果的統(tǒng)計(jì)如表3 所示，表中給出了各個(gè)模糊度組合偏差的均方根（Root Mean Square, RMS）誤差，以及模糊度偏差b 的分布情況。從圖2(a)-(c)可以看出，（1, -1, 0, 0, 0）、（0, 0, -1, 1, 0）和（0, 0, 0, -1, 1）三個(gè)超寬巷組合的單歷元模糊度偏差均在 0.5± 周內(nèi)，對(duì)應(yīng)的RMS 統(tǒng)計(jì)值均小于0.04 周，且在 0.2± 周以內(nèi)的比例高于99.99%，這表明采用四舍五入取整方法即能夠可靠固定。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，為了將取整的納偽概率控制在較低的水平，可采用縮小的取整區(qū)間，根據(jù)本文實(shí)驗(yàn)，建議采用 0.2± 作為三個(gè)超寬巷的取整區(qū)間。從圖2(d)可以看出，（0, 1, -1, 0, 0）寬巷組合則無(wú)法取得上述三個(gè)超寬巷相當(dāng)?shù)慕馑阈Ч?，其RMS 統(tǒng)計(jì)值為0.161 周，且有較多的模糊度偏差接近甚至超出 0.5± 周，這意味著如果直接采用四舍五入取整將存在較大的風(fēng)險(xiǎn)甚至導(dǎo)致取整錯(cuò)誤。

圖2 超寬巷/寬巷模糊度采用GIF 模型時(shí)的單歷元模糊度偏差Fig.2 Single-epoch EWL/WL ambiguity biases with GIF mode

表3 超寬巷/寬巷模糊度解算結(jié)果統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistics of the EWL/WL ambiguity resolution

由于采用GIF 模型無(wú)法實(shí)現(xiàn)單歷元可靠固定，因此對(duì)第四個(gè)寬巷模糊度采用幾何相關(guān)模型進(jìn)行多星聯(lián)合解算。采用最小二乘計(jì)算后，根據(jù)模糊度浮點(diǎn)解及其相應(yīng)的方差-協(xié)方差矩陣，可計(jì)算模糊度解算精度因子（Ambiguity Dilution of Precision, ADOP）和模糊度次優(yōu)/最優(yōu)方差比值（Ratio），分別如圖3 和圖4 所示。其中ADOP 表征了模糊度求解的先驗(yàn)精度，是從模型強(qiáng)度的角度評(píng)估模糊度解算的可靠性；而Ratio 則是通過(guò)比較最優(yōu)固定解和次優(yōu)固定解方差二次型，從后驗(yàn)角度評(píng)估解算的效果，一般設(shè)定為2～3，本文采用2.5 作為其閾值。

圖3 寬巷模糊度精度因子Fig.3 WL ambiguity dilution of precision (ADOP)

從圖3 可以看出，單歷元寬巷模糊度解算的ADOP 均在0.12 周以內(nèi)，等效于模糊度解算的先驗(yàn)成功率高于99.9%[13]；從圖4 中可以看出絕大部分歷元均能通過(guò)Ratio 閾值檢驗(yàn)，僅有10 個(gè)歷元低于該閾值，固定率可達(dá)99.88%。

圖4 (0,1,-1,0,0)寬巷模糊度固定Ratio 值Fig.4 Ratio of (0,1,-1,0,0) WL ambiguity fixing

寬巷模糊度固定后，將模糊度回代入觀測(cè)方程，即可求得固定解情況下的坐標(biāo)解，通過(guò)與坐標(biāo)真值比較，在北（N）、東（E）和天（U）三個(gè)方向上的定位誤差結(jié)果如圖5 所示。為了體現(xiàn)單歷元超寬巷/寬巷定位解相比偽距定位的優(yōu)勢(shì)，圖5(b)中也給出了采用式(5)中偽距觀測(cè)值的定位解。兩種模型的定位精度統(tǒng)計(jì)如表4 所示。采用單歷元超寬巷/寬巷固定解模型，N/E/U 三個(gè)方向上的定位精度分別為0.161 m、0.187 m和0.457 m，可實(shí)現(xiàn)單歷元分米級(jí)定位；而采用偽距觀測(cè)值時(shí)，定位精度分別為0.386 m、0.389 m 和0.872 m，超寬巷/寬巷固定解相比偽距的定位精度在三個(gè)方向上分別提升了58.29%、51.93%和47.59%。

表4 超寬巷/寬巷及偽距定位精度統(tǒng)計(jì)(RMS)Tab.4 Statistics of the positioning results with EWL/WL and pseudorange observations

圖5 超寬巷/寬巷及偽距定位精度對(duì)比Fig.5 Positioning error comparison with EWL/WL and pseudorange

4 結(jié) 論

以實(shí)現(xiàn)可靠的中長(zhǎng)基線單歷元分米級(jí)定位為目標(biāo)，本文研究提出了一種基于BDS-3 五頻超寬巷/寬巷組合的中長(zhǎng)基線單歷元定位方法。首先采用偽距/載波聯(lián)合的無(wú)幾何無(wú)電離層模型解算三個(gè)超寬巷模糊度，理論分析和實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)均表明三個(gè)超寬巷模糊度具有較高的解算精度，單歷元即可通過(guò)取整可靠固定；然后采用幾何相關(guān)模型，聯(lián)立多個(gè)衛(wèi)星對(duì)的雙差觀測(cè)方程（包括偽距和模糊度固定的超寬巷方程），進(jìn)行最小二乘求解第四個(gè)寬巷模糊度，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明單歷元模糊度固定率可達(dá)99.88%。

通過(guò)理論分析可得，BDS-3 固定四個(gè)超寬巷/寬巷模糊度后，站星距離精度可達(dá)0.206 m，相比三頻BDS-2 和GPS 分別提升60.08%和57.35%；中長(zhǎng)基線實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)結(jié)果表明，利用BDS-3 五頻觀測(cè)值，超寬巷/寬巷模糊度固定后在北/東/天三個(gè)方向的定位精度分別為0.161 m、0.187 m 和0.457 m，能夠?qū)崿F(xiàn)單歷元實(shí)時(shí)分米級(jí)定位。