多環諧振微陀螺結構參數對性能的影響分析

谷留濤，張衛平，馮 軍

（微米納米加工技術國家級重點實驗室，上海交通大學 電子信息與電氣工程學院微納電子學系， 上海 200240）

微機電(Micro Electromechanical System, MEMS)諧振陀螺儀因其體積小、功耗低、可批量制造等優勢，在消費電子、工業和航天領域越來越受到青睞[1]。在各種MEMS 諧振陀螺儀中，盤形諧振微陀螺儀（Disk Resonator Micro-gyroscope, DRG），特別是多環諧振微陀螺儀（Ring-like Disk Resonator Gyroscope, RDRG），由于諧振器結構的對稱性、低錨定損耗、大模態質量和對外部振動的免疫力而受到了廣泛的關注[2-4]。目前常見的設計高性能多環諧振微陀螺的思路主要分為兩種：（1）不改變多環諧振微陀螺的拓撲結構，僅改變其結構參數，實現性能的提高。輻條長度對多環諧振微陀螺的性能具有一定的影響[5]，斯坦福大學通過有限元仿真分析了環寬、環數、輻條角度、輻條寬度對多環諧振微陀螺諧振頻率和品質因子的影響，并通過加工制造樣機的方式證明了結構參數優化提升陀螺儀性能的可行性[6]。國防科技大學提出了一種基于改進粒子群算法的多環諧振微陀螺結構優化設計方法，解決了多參數在固定情況下的優化問題[7]；（2）改進多環諧振微陀螺的拓撲結構使其達到更高的性能。在環形諧振微陀螺的拓撲優化方面，國內的上海交通大學、國防科技大學、蘇州大學分別提出了齒輪環、蜂窩狀環[8]和蛛網狀環形結構[9]，增加了環形諧振微陀螺對徑向誤差和制造誤差的免疫力，降低了微陀螺的頻率裂解，提高了機械靈敏度。

為了進一步提高多環諧振微陀螺的性能，需要更加全面地了解其結構參數對關鍵性能的影響。本文采取控制變量的方法研究了各個結構參數對微陀螺諧振頻率、品質因子、有效質量、角度增益、機械靈敏度和機械熱噪聲的影響，并對其進行了理論解釋，提供了多環諧振微陀螺結構設計的合理建議。

1 結構與理論分析

1.1 基本結構

多環諧振微陀螺整體上是全對稱的二維平面結構。其中，中央錨點為圓盤形狀，位于整個陀螺的中心位置，并固定于下面的基底上；相鄰諧振環之間以及最內層諧振環和中央錨點之間都通過相間分布的輻條連接；諧振環和輻條為懸空結構，與中央錨點一起構成諧振子；外圍有16 個周期分布的電極，電極與最外層諧振環之間留有一定間隙，從而形成若干組電容器，這些電容器可以用于驅動、檢測和調諧等。微陀螺模型結構參數標注如圖1，包括諧振子半徑R，中央錨點半徑r，諧振環寬度Wr，輻條寬度Ws，輻條長度Ls，諧振子厚度H，電容間隙d0，諧振環數目N。

圖1 多環諧振微陀螺結構參數示意圖Fig.1 Structure parameters schematic of disk resonator gyroscope

1.2 機械靈敏度

機械靈敏度定義為檢測軸方向的振動幅值與輸入角速度之比，它表示微陀螺在結構上對于輸入角速度的靈敏性，單位為m/(rad/s)。由于加工誤差，驅動軸和檢測軸的剛度和阻尼并不完全一樣，從而導致驅動模態和檢測模態的不對稱性。根據微陀螺動力學方程可以推導出存在頻率裂解情況下的機械靈敏度表達式：

其中，Ag表示微陀螺的角度增益，meff表示有效質量，F 表示驅動力大小，wA和wB分別表示驅動和檢測模態的諧振角頻率，QA和QB分別表示驅動和檢測模態的品質因子。當不存在頻率裂解時(wA= wB)，機械靈敏度達到最大：

其中，w0表示不存在頻率裂解時的諧振角頻率，滿足：w0= wA= wB；Q 表示不存在頻率裂解時的品質因子，滿足：Q = QA= QB。

1.3 機械熱噪聲

機械熱噪聲的物理機制是布朗運動，由分子碰撞引起。根據漲落耗散定理機械熱噪聲對于微陀螺的影響可以等效為一個隨機的、高斯分布的、平均值為零的漲落力。這個力的譜密度可以表示為式(3)[10]，其單位是

其中，KB是玻爾茲曼常數，為1.38065×10-23J/K；γ 是阻尼系數，驅動模態和檢測模態分別取γA、γB。該力會對微陀螺驅動軸和檢測軸的運動均產生影響。驅動軸的位移可以由驅動電壓控制并保持在恒定的幅值，因此機械熱噪聲對于驅動軸的影響可以忽略。可以得到檢測軸方向布朗運動位移的譜密度，如式(4)所示，其單位是

于是，機械熱噪聲的影響可表示為一個額外的輸入角速度，這個角速度的譜密度大小可以由式(5)求得，其單位是

當不存在頻率裂解時，機械熱噪聲的大小為：

2 結構參數對性能的影響

為了研究各個結構參數對微陀螺性能的影響，采取控制變量的方法：改變其中某一個結構參數的值，并保持其他結構參數不變，然后對比其性能參數（諧振頻率f0、品質因子Q、有效質量meff、角度增益Ag、機械靈敏度Smech和機械熱噪聲Ωmech）。諧振頻率、品質因子、有效質量、角度增益都可以由COMSOL 單獨求解，其中品質因子用熱彈性品質因子QTED表示。這里僅考慮結構參數對性能的影響，暫不考慮由于結構不對稱導致的頻率裂解，因此機械靈敏度和機械熱噪聲分別由式(2)和式(6)求解。驅動力大小F 由電路控制，與施加的電壓大小和驅動方式有關。由于本文僅考慮結構對性能的影響，因此在計算機械靈敏度和機械熱噪聲時可以假設驅動位移為定值，這里取1 μm。

2.1 諧振子寬度（Wrs）的影響

諧振子寬度是指組成諧振子的諧振環和輻條的寬度，假設兩者具有相同的寬度，記為Wrs。將諧振子寬度由10 μm 變為50 μm，得到的結果繪制于圖2(a)。隨著諧振子寬度變大，諧振頻率變大，品質因子變小，有效質量增大，角度增益幾乎不變，機械靈敏度降低。機械熱噪聲并非單調變化，且變化幅度不大。整體而言，諧振子寬度較小時的機械熱噪聲更小。雖然諧振子寬度變大可以增大有效質量，但由于其他性能降低太多，最終導致機械靈敏度和機械熱噪聲變差。因此，要提高微陀螺的整體性能應該盡量減小諧振子寬度。然而，由于微加工技術的一些限制因素（如加工精度的限制、加工過程中的散熱問題等），諧振子寬度不可以無限制地縮小。需要根據實際加工條件，設計合理的寬度。此外，過窄的諧振子在加工過程中有可能出現斷裂，在工作過程中的抗沖擊能力也會降低。

圖2 諧振子寬度和厚度對性能的影響Fig.2 Influence of resonator width and thickness on performance

2.2 諧振子厚度(H)的影響

諧振子厚度H 對微陀螺性能的影響如圖2(b)。可以看出，諧振子厚度對諧振頻率和角度增益幾乎沒有影響，且對品質因子和機械靈敏度的影響很小。不過隨著諧振子變厚，有效質量變大，機械熱噪聲變小。這說明，諧振子厚度并不是影響性能的主要因素，不過在加工條件達到要求的情況下，應該盡量設計較厚的諧振子。這里的加工條件主要是指刻蝕深寬比，由于在電容間隙一定的情況下，諧振子越厚，則要求更大的刻蝕深寬比，然而過大的刻蝕深寬比并不容易實現。

2.3 諧振環寬度（Wr）和輻條寬度（Ws）的影響

前面討論了在諧振環和輻條寬度相等的情況下，諧振子寬度對性能的影響。然而諧振環和輻條寬度對微陀螺性能的影響不一定相同。因此有必要分別對兩者的影響進行研究。諧振環寬度和輻條寬度的影響如圖3 所示。可以看出，諧振環寬度或輻條寬度對角度增益均無影響。兩者寬度變大會導致諧振頻率變大、品質因子變小、機械靈敏度降低、機械熱噪聲增大，其中輻條寬度對這些性能的影響相對較小。此外，諧振環寬度變大可以較明顯地增大有效質量，而輻條寬度的變化幾乎對有效質量無影響，這說明諧振子的有效質量主要由諧振環決定。

圖3 諧振環寬和輻條寬度對性能的影響 Fig.3 Influence of ring width and spoke width on performance

2.4 中央錨點半徑（r）的影響

中央錨點的尺寸決定了整個諧振子固定部分所占的比例，該比例可以用中央錨點半徑與諧振子半徑之比AOR 來表示：

在諧振子半徑一定的情況下，中央錨點半徑變化會影響 AOR 的大小。將中央錨點半徑設置在0.4 mm～2.4 mm 的變化范圍內，并觀察各性能參數的變化，如圖4(a)所示。隨著中央錨點尺寸的變大，諧振頻率增大、品質因子減小、有效質量增大，角度增益幾乎不變，且機械靈敏度和機械熱噪聲均減小。

圖4 中央錨點半徑和諧振子半徑對性能的影響Fig.4 Influence of center anchor radius and resonator radius on performance

2.5 諧振子半徑（R）的影響（r 不變，AOR 變化）

諧振子半徑也是微陀螺的一個關鍵結構參數。這里先討論在中央錨點半徑不變時諧振子半徑的影響，注意，此時AOR 是變化的。如圖4(b)，隨著諧振子半徑的增大，微陀螺的整體性能將得到提高，主要表現在品質因子增大、有效質量增大、機械靈敏度增大、機械熱噪聲減小。同時還可以觀察到諧振子半徑對角度增益幾乎沒有影響。因此要提高微陀螺的性能，可以增大諧振子半徑。然而需要注意的是，諧振子半徑將直接決定微陀螺整體尺寸，由于MEMS 小尺寸的要求，諧振子半徑不能太大。此外，對比中央錨點半徑和諧振子半徑對微陀螺性能的影響可以發現，諧振子半徑的影響更明顯。

2.6 諧振子半徑（R）的影響（AOR 不變）

前面分別分析了中央錨點半徑和諧振子半徑的影響，但這兩者單獨變化時會使得AOR 發生變化，不能觀察出在AOR 不變時諧振子半徑的影響。這里將AOR 設置為定值（AOR=0.45））并討論此時諧振子半徑的影響，如圖5(a)所示。通過對比圖4(b)與圖5(a)可知，AOR 一定或r 一定時，諧振子半徑對微陀螺性能的影響趨勢是相似的，且影響均較大。這進一步說明，與中央錨點半徑相比，諧振子半徑對微陀螺性能的影響大得多。

2.7 諧振子環數（N）的影響

諧振子由同心的圓形諧振環嵌套而成，因此諧振環數目也可能對性能產生影響。將諧振環數目由3 變為25，并將結果繪制于圖5(b)。

圖5 諧振子半徑（AOR 不變）和諧振環數目對性能的影響Fig.5 Influence of resonator radius (AOR unchanged) and ring number on performance

諧振頻率和品質因子受諧振環數目的影響較小，且兩者的變化均不是單調的。隨著諧振環變多，有效質量變大，且角度增益幾乎不變。機械靈敏度的變化也不是單調的，且變化較小。機械熱噪聲隨著諧振環數目的增加會逐漸降低。需要注意的是，隨著諧振環數目增大，諧振環之間的間隙會逐漸變小，這同樣會受到刻蝕深寬比的限制，因此需要綜合考慮性能和工藝條件，設計合理的諧振環數目。

3 結構參數對性能影響的解釋

通過上述分析可知，多環諧振微陀螺的熱彈性品質因子QTED與諧振頻率之間存在密切聯系，這與Zener 熱彈性阻尼理論[11]十分相似。因此多環諧振微陀螺的熱彈性阻尼可能與Zener 熱彈性阻尼理論存在一定聯系。將多環諧振微陀螺的熱彈性品質因子和諧振頻率的仿真結果與Zener 熱彈性阻尼理論繪制于同一張坐標圖上，如圖6 所示。為了便于觀察，圖中每個結構參數只顯示4～6 個取值。可以看出，多環諧振微陀螺的熱彈性品質因子可以與Zener 曲線很好地擬合。這說明多環諧振微陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener 熱彈性阻尼理論來近似。

圖6 Zener 曲線與多環諧振微陀螺熱彈性阻尼的對比Fig. 6 Comparison of Zener curve and thermoelastic damping of disk resonator gyroscope

增大諧振環寬度或輻條寬度會增加諧振子實際質量，因此有助于增大有效質量。同時這也導致有效剛度明顯增加，最終諧振頻率增大。此外，由于諧振子在彎曲方向的寬度變大，熱弛豫時間增大。這使得微陀螺工作在更靠近德拜峰的位置，從而品質因子降低。根據式(2)，機械靈敏度隨之降低。根據式(6)，機械熱噪聲與成反比，由于有效質量增大、諧振頻率增大、品質因子降低，三者乘積并不一定呈現單調變化，因此機械熱噪聲的變化也不一定是單調的。

當諧振環和輻條寬度不變時，其他結構參數的變化幾乎不會對熱弛豫時間產生影響，此時諧振頻率與品質因子具有相反的變化趨勢。根據式(2)，機械靈敏度與成正比。因此只要降低諧振頻率就能提高機械靈敏度。這些結構參數對諧振頻率的影響如下：中央錨點變大會使得微陀螺被固定的部分變多，從而諧振頻率增大；諧振子半徑增大會使得微陀螺尺寸變大，從而更容易起振，即諧振頻率降低；諧振環數目變多一方面會增大微陀螺的實際質量，從而使得有效質量增大，另一方面也會增大有效剛度，因而此時諧振頻率并不是單調變化。機械熱噪聲由于與0w Q 成反比，因此也不會呈現單調變化。此外，環形諧振陀螺的角度增益約為0.4，這一結論同樣適用于多環諧振微陀螺，因而角度增益不會隨著結構參數發生變化。有效質量的增加主要是因為這些結構參數的變化增加了微陀螺的實際質量。

4 結 論

本文使用有限元方法分析了多環諧振微陀螺結構參數對性能的影響，對于設計高品質因數的多環諧振微陀螺具有一定的指導作用。結果表明：（1）相比于其他結構參數，諧振環寬度和諧振子半徑是影響微陀螺性能最主要的兩個因素。減小諧振環寬度、增大諧振子半徑可以有效地提高微陀螺的性能；（2）多環諧振微陀螺的熱彈性阻尼可以用Zener 熱彈性阻尼理論近似；（3）多環諧振微陀螺角度增益大小約為0.4，結構參數的變化對微陀螺的角度增益幾乎無影響；（4）微陀螺的有效質量主要由諧振子中的諧振環決定，因此增大諧振環寬度、增加諧振環數目可以明顯增大有效質量。根據上述特點，在設計微陀螺結構參數時，可以采取以下設計思路：首先根據性能要求和工藝條件初步確定諧振子半徑和諧振環寬度，然后再綜合考慮工藝上的限制、抗沖擊能力等因素，確定諧振子厚度、諧振環數目、中央錨點半徑等。