靜電負剛度調諧加速度計的力平衡閉環檢測控制方法

張 晶，劉雨東，王 皓，蘇 巖，朱欣華

（南京理工大學 機械工程學院，南京 210094）

靜電負剛度調諧加速度計（Electrostatic Negative Stiffness Frequency Modulation Accelerometer, EFMA）基于硅微機械加工工藝制作而成，通過加速度產生的位移引起諧振器與靜電調諧電極間的電容變化，利用靜電負剛度軟化諧振器固有頻率的原理實現了加速度的頻率調制，通過檢測敏感質量塊自身諧振頻率的變化來感測加速度[1,2]，實現了加速度a—位移x—頻率f的傳遞。該原理結合了諧振式加速度計[3-5]的頻率檢測不易受電路噪聲干擾與電容式加速度計[6-8]靜電梳齒位移變化的溫度系數較低的特點，使EFMA 具有兼顧兩種加速度計相關優點的潛力。目前沒有專門針對EFMA 測控電路的報道，一般采用類似諧振式加速度計的自激振蕩閉環驅動和高精度測頻電路的測控電路，開環檢測頻率的方式讀取信號[3,9,10]；相比于同是頻率檢測的諧振式加速度計，EFMA 諧振器的溫度特性更接近于硅材料的溫度特性，易于補償[11]，但該方案為了實現靜電調諧，通常需要在諧振器上設計大量平板電容以提高標度因數，因此相比于諧振式加速度計，EFMA 的諧振器在開環檢測狀態下的電容變化極易受到非線性影響，很大程度上限制其量程的進一步提升，只能在±1 g 的量程內實現較好的線性度，制約其應用范圍[9,12]。

早期的電容式加速度計也存在量程小的問題，通過力平衡閉環檢測的控制方式將結構的平衡位置鎖定在初始位置，將位移量轉換為電壓作為控制量反饋的輸入端，平衡外界輸入加速度產生的慣性力，以避免靜電負剛度效應引起較大的非線性，實現大的量程和高線性的標度因數，從而提升整表性能，有效降低平板電容非線性效應的影響[13,14]。然而相比于電容式加速度計，EFMA 是頻率檢測，無法直接檢測質量塊的位移量，若想實現力平衡則需根據其靜電負剛度調諧原理選取包含諧振頻率的力平衡控制量；而采用頻率值作為反饋量，則測頻電路也需納入閉環控制環路，其性能將直接影響整體環路的性能。因此，在合理選取力平衡控制量、保證測頻精度的同時，也需要提升測頻電路的線性、實時性等性能。

針對現有研究中存在的不足，本文根據EFMA 靜電調諧的原理，推導獲取實際可行的力平衡控制量，提出EFMA 專用的力平衡控制方法，并實現了對應力平衡檢測電路的設計；最后搭建了EFMA 實驗室樣機及測試系統，完成關鍵性能的測試，對比了開環檢測和力平衡閉環檢測電路的量程與標度因數非線性，驗證了該力平衡控制方法的可行性與優勢。

1 EFMA 靜電負剛度調諧原理

如圖1(a)所示，EFMA 敏感結構由兩個相似的諧振器組成，每個諧振器由兩個敏感質量塊以及一些連接梁（錨點與質量塊的支撐梁、質量塊之間的諧振連接梁）組成；每個敏感質量塊包括一對差分驅動梳齒，一對差分檢測梳齒和用于靜電調諧的平行板電容組成。兩個質量塊構成一個諧振器，這兩個質量塊的同向運動模態為加速度敏感模態（如圖1(b)），兩質量塊的反向振動模態為加速度調制模態（如圖1(c)）。在設計的過程中，反向模態（加速度調制）高Q 值，降低機械噪聲，實現較高的分辨率；同向模態（加速度敏感）低Q 值，保證結構的機械帶寬[15]。

圖1 EFMA 敏感結構及諧振器振動示意圖Fig.1 Schematic diagram of EFMA structure and resonator vibration

EFMA 的諧振器靜電負剛度調諧原理簡化為質量-彈簧-阻尼二階線性系統，如圖2 所示。

圖2 簡化的EFMA 諧振器動力學模型Fig.2 Simplified EFMA resonator dynamic model

當有外界加速度加在EFMA 上時，質量塊會受到慣性力而發生偏移，受力平衡如下：

其中，x 為質量塊的位移，m 為質量塊質量，c 為系統阻尼，k 為等效剛度，電力Fe的大小可以表示為[15]：

其中，C 為極板之間電容，V 為調諧電壓。

EFMA 是變間距電容檢測，一個諧振器的極板總電容計算為[11]：

其中C1和C2為可動極板和兩端固定極板形成的平板電容，ε0為相對介電常數，N 為電極對數，d1和d2為調諧電極左右極板分別與質量塊極板的間距，S 為極板之間正對的面積。

將式(3)代入式(2)可得靜電力Fe為：

靜電力Fe會使得系統穩定在一個新的平衡位置，進一步引起靜電剛度ke發生改變。由于ke會軟化系統等效剛度k，所以稱其為靜電負剛度，可以通過計算單位位移上靜電力變化量獲得：

系統的固有諧振角頻率可以表示為[9]：

開環檢測模式下，EFMA 的標度因數為：

2 EFMA 力平衡控制方法理論分析

靜電負剛度的非線性效應導致加速度計標度因數非線性過大，量程難以提升；而力平衡閉環控制可以通過對調諧電壓進行調控（開環檢測模式下調諧電壓恒定），能夠讓質量塊一直穩定在初始位置，最大限度減弱靜電負剛度非線性效應的影響[16]。但由于EFMA 不是位移檢測的模式，很難直接控制位移實現力平衡，因此，本文從力平衡的最終目標出發，基于EFMA 頻率輸出的特點推導與頻率相關的力平衡控制量，以實現質量塊穩定在初始位置的根本目的。

2.1 EFMA 的力平衡控制量選取與模型搭建

實現EFMA 的力平衡需保證質量塊維持在初始平衡位置，即d1和d2的距離不發生改變，位移x 為零，假設初始調諧電壓為V0，則由式(4)可得初始靜電力Fe0為：

同時，式(5)可以簡化為：

將式(9)代入式(6)可得：

其中令

將式(11)代入式(10)可以簡化表達為：

其中α 、β 是只與結構相關的參數。

因此，可以通過控制諧振角頻率ωn和調諧電壓V 使其滿足式(12)中的固定關系，即可實現敏感結構的力平衡狀態，保證質量塊能夠一直穩定在初始位置不變化。搭建如圖3 所示的力平衡閉環檢測系統反饋環路理論模型，根據輸入的角頻率值ωn產生對應的調諧電壓V 控制敏感結構質量塊的位置。

圖3 力平衡閉環檢測電路理論框圖Fig.3 Theoretical block diagram of force balance closed loop detection circuit

2.2 EFMA 力平衡控制的標度因數分析

當有加速度a 輸入的情況下，改變調諧電壓Vt即可改變靜電力，從而平衡質量塊在加速度環境中產生的慣性力ma：

由式(13)可得調諧電壓V 和加速度a 的關系為：

代入式(10)，加速度a 與諧振角頻率ωn的關系為：

其中令：

將式(16)代入式(15)化簡得到閉環檢測控制中加速度a與諧振頻率ωn的物理關系：

式中φ、φ 為只與結構相關的參數。進一步可得力平衡檢測模式下EFMA 的標度因數SFcl：

將本課題組設計的EFMA 結構參數分別代入式(7)和式(18)，改變圖1 所示調諧電容間距d1，繪制開環檢測和閉環檢測模式下標度因數與d1之間的曲線，如圖4 所示。

圖4 開環、閉環檢測模式標度因數對比Fig.4 Comparison of scale factors in open-loop and closed-loop detection modes

分析可知，在力平衡閉環檢測模式下，標度因數與電容間距d1非線性正相關（同理適用于電容間距d2），標度因數能達到的最大值遠遠大于開環檢測模式，力平衡閉環檢測模式下標度因數有更大的提升空間。為避免靜電吸合，本結構設計時最終選取d1=12 μm，開環檢測的標度因數為5 Hz/g，閉環標度因數提升到24.5 Hz/g。

3 力平衡閉環檢測電路設計與實現

如圖3 所示的力平衡環路模型中有平方模塊，因此反饋環路為非線性系統，其分析方法是在其穩定點附近進行線性展開[17]，即調諧電壓Vt的平方模塊進行線性展開，設置平衡點的調諧電壓值Vt0為10 V，相當于一個固定的增益值Ks=10。此時閉環反饋的環路增益為Kf=KeKSβ。力平衡閉環檢測系統線性化為一階系統，閉環傳遞函數Hf(s)可以表示為：

經過simulink 仿真與實際調試，確定最終參數如表1 所示。利用FPGA 數字電路模塊實現力平衡檢測電路，硬件平臺使用Digilent 公司的Nexys4 DDR 開發板，開發板上搭載了Xilinx 公司的Artix-7 FPGA 芯片。在Vivado 中搭建了如圖5 所示的力平衡檢測電路，其中平方模塊和閉環驅動電路中的解調乘法模塊類似，均利用乘法器實現。

表1 閉環檢測電路參數值Tab.1 Closed loop detection circuit parameter value

與開環檢測不同，力平衡閉環檢測控制電路采用測量頻率值作為反饋量，測頻電路處在閉環控制環路中，其性能直接影響著整體環路的性能。對于測頻電路的性能要求不僅僅要保證測頻精度，同時對線性、實時性等性能也有要求。因此，圖3 所示的測頻電路采用基于鎖相環（Phase locked loop, PLL）的測頻環路，它既能在閉環驅動電路中鎖定EFMA 諧振器的固有諧振頻率，提供電路中的解調參考信號，又能為力平衡檢測環路能夠直接輸出精確的頻率值。其數字振蕩器與頻率成線性關系，可以根據需要調節時鐘頻率達到很高的實時性。

圖6 為EFMA 整體數字電路RTL 總視圖，PLL作為閉環驅動電路的反饋端也作為力平衡頻率信號的輸入端。最終搭建如圖7 所示的力平衡閉環檢測電路系統，信號發生器產生一組不同頻率的正弦波信號，信號直接通過模/數轉換器ADC 進入數字力平衡環路中，經過如圖5 所示的力平衡閉環控制與信號處理，即可在數/模轉換器DAC 的輸出端采集調諧電壓信號，如表2 所示。可以看出數字力平衡環路的控制精度優于千分之一，驗證了力平衡控制環路的正確性，環路可以完成精確測頻以及產生正確的調諧電壓保證ωn2+βVt2為常數。

圖5 力平衡數字閉環檢測電路RTL 視圖Fig.5 RTL view of force balance digital closed loop detection circuit

圖6 整體數字電路RTL 視圖Fig.6 RTL view of the overall digital circuit

圖7 力平衡閉環檢測電路驗證實驗設備圖Fig.7 Force balance closed-loop detection circuit verification experimental equipment diagram

表2 力平衡反饋環路驗證試驗采集結果Tab.2 Force balance feedback loop verification test results

4 EFMA 樣機性能測試及分析

根據EFMA 的工作原理及開環檢測和力平衡閉環檢測電路兩種檢測模式，構建EFMA 實驗樣機。圖8 為MEMS 結構芯片經陶瓷管殼封裝完后的加速度計表頭，將其焊接在模擬電路PCB 上，模擬電路、ADC電路、DAC 電路通過PCB 實現，閉環驅動與檢測控制電路在FPGA 中實現，如圖9 為實驗室樣機實物。

圖8 陶瓷管殼封裝的EFMA 結構芯片Fig.8 EFMA die in ceramic package

圖9 EFMA 實驗樣機實物圖Fig.9 The Experimental prototype of EFMA

依據《IEEE 線性、單軸、無回旋裝置加速度計的標準規范格式指南和試驗規程》，分別在開環和閉環檢測模式下對EFMA 樣機進行標度因數、標度因數穩定性、零偏穩定性、量程和標度因數非線性測試（測試環境如圖10 所示）。圖11 為開環檢測模式和閉環檢測模式的輸出頻率f-加速度a 曲線圖。

圖10 EFMA 關鍵性能測試環境Fig.10 EFMA key performance test environment

圖11 兩種檢測模式下輸出頻率f-加速度a 關系曲線圖Fig.11 The prototype’s f-a curve in two detection modes

結果表明，開環檢測模式下EFMA 測量加速度量程為±1.6 g 時標度因數非線性小于1000 ppm；如果將量程擴大到±5 g，則標度因數非線性高達3452 ppm，繼續增大量程樣機會因靜電力吸合效應造成電路短路現象無法正常工作；而閉環檢測模式下EFMA 量程可以達到±25g，標度因數非線性為953 ppm。

分別對兩種不同檢測方式下加速度計的輸出信號進行采集，1 小時零偏數據的噪聲功率譜密度如圖12 所示，由此可讀取開環和閉環檢測模式下的樣機本底噪聲。兩種檢測方式對應的6 項性能測試結果見表3。可以看出，本文提出的力平衡閉環檢測控制方法在不影響EFMA零偏穩定性以及標度因數穩定性的前提下，大大提升了EFMA 的標度因數和量程，改善了標度因數非線性，從而驗證了力平衡閉環檢測控制方式的可行性和優越性。

圖12 開環檢測和閉環檢測模式噪聲功率譜密度對比分析Fig.12 Comparasion of noise power spectrum density between open loop and closed loop detection mode

表3 開環、閉環檢測對應的EFMA 性能Tab.3 EFMA performance corresponding to open loop and closed loop detection

5 結 論

本文針對靜電負剛度調諧加速度計（EFMA）標度因數非線性差、量程低的特點，開展其專用力平衡閉環檢測控制方法研究。首先闡述了EFMA 的敏感結構及工作原理，著重介紹了新型EFMA 閉環檢測電路的力平衡控制量選取，并對比了開環、閉環兩種頻率檢測模式對標度因數的影響。在此基礎上搭建力平衡控制電路理論模型并對復雜模型進行簡化，根據電路性能要求設計電路參數，實現了新型閉環檢測電路。通過性能實驗驗證，在保證EFMA 零偏穩定性、標度因數穩定性不受影響的情況下，將其標度因數從5 Hz/g 提升到了24.5 Hz/g，量程從±1g 提升到了±25g，驗證了該控制方法的可行性與優勢。該研究針對頻率檢測探討適合的閉環控制方法，為EMFA 增大量程應用范圍提供了一種可行的技術途徑，同時對于其他諧振式器件的閉環檢測也有一定參考意義。