回應學生思路 促進素養(yǎng)發(fā)展

王盈慧

摘要：在《對數(shù)函數(shù)的圖象和性質》一課的教學中，學生提出從指、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度展開研究。指數(shù)與對數(shù)本質是同一數(shù)量關系，正是本單元的“大觀念”，教師積極回應學生的思路，優(yōu)化調整原有設計，在關鍵處、疑難處設計問題串，讓全體學生充分活動思考，從而使其數(shù)學素養(yǎng)得到發(fā)展。

關鍵詞：對數(shù)函數(shù);反函數(shù);學生思路;問題串

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2021）17-092

在教學設計與實施中，教師要根據(jù)學生的思路、體驗等學情優(yōu)化問題任務，引導學生去把握學習內容的本質，促進其深度思維，從而有利于學生主動發(fā)展數(shù)學素養(yǎng)。

下面，筆者以人教A版必修第一冊4.4.2《對數(shù)函數(shù)的圖象和性質》的設計為例，預設的研究思路是類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，從特殊的y=log2x入手，列表、描點、畫圖，再畫出更多不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)圖象，然后利用GeoGebra軟件中的“滑動條”畫出y=logax（a>0，a≠1）的圖象，最后，歸納出對數(shù)函數(shù)圖象及其性質。

問題1：請你說出對數(shù)函數(shù)的概念？并談談“對數(shù)源出于指數(shù)——歐拉”的理解。

學生：y=logax（a>0，a≠1）叫作對數(shù)函數(shù);y=ax（a>0，a≠1）與y=logax（a>0，a≠1）在本質上是同一數(shù)量關系，只不過字母x，y對調了。

問題2：y=logax（a>0，a≠1）是一類新函數(shù)，我們研究它的什么？怎樣研究？說說你的研究思路。

設計意圖：1.鞏固研究函數(shù)的一般方法，這是本章著重培養(yǎng)的數(shù)學素養(yǎng);2.啟發(fā)學生回憶冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究過程。

學生1：我們已經學習了對數(shù)函數(shù)的概念和定義域，還要研究它的圖象，并進一步得出其性質;我想先由特殊的y=2x的圖象得到y(tǒng)=log2x的圖象，進而解決一般的對數(shù)函數(shù)的圖象。

或許學生對對數(shù)運算還不熟悉，沒有對y=log2x列表、描點、畫圖，而是想從問題1揭示的y=2x與y=log2x的聯(lián)系入手。

學生2：由20=1知y=2x的圖象過點（0，1），y=log2x的圖象過點（1，0），由21=2知y=2x的圖象過點（1，2），y=log2x的圖象過點（2，1），這是兩對關于直線y=x對稱的點，所以函數(shù)圖象也關于直線y=x對稱，再由換底公式y(tǒng)=logax（a>0，a≠1）=1log2alog2x，就能變換得到一般的對數(shù)函數(shù)的圖象。

學生的回答并不是教材預設的研究思路，但對“指對數(shù)的統(tǒng)一性”的理解契合我對這一章的整體設想，換底公式的運用更是超出了我的預期。我積極評價了兩位同學的研究思路，調整教學設計，提出了如下問題串：

問題串：（1）對比畫函數(shù)y=2x圖象時的表格，完成畫函數(shù)y=log2x的列表，表格當中你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）函數(shù)y=2x圖象上任意一點M，記為M（a，b），則點 在函數(shù)y=log2x的圖象上。這兩點有怎樣的位置關系？

（3）對于函數(shù)y=log2x圖象上任意一點P，是否也有（2）中的特征？

（4）函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象有什么關系？它們的定義域、值域之間有什么關系？展示你得到的對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象及性質。

（5）類比y=ax（a>0，a≠1）的圖象和性質，給出你對對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）的圖象與性質的歸納整理。

設計意圖：y=ax與y=logax（a>0，a≠1）本質上是同一數(shù)量關系，是本章的“大觀念”，這樣對數(shù)函數(shù)的研究也要對底數(shù)a分類討論，對數(shù)函數(shù)圖象的位置、公共點和變化趨勢都能由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質推得。

因勢利導，在歸納對數(shù)函數(shù)圖象和性質后，指出“指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）互為反函數(shù)”。

設計意圖：將反函數(shù)調整為本節(jié)課的目標之一。

例題：1.比較下列各題中數(shù)值的大?。?/p>

2.解下列關于x的不等式：

設計意圖：1.學會構造函數(shù)并用函數(shù)性質解題;2.體會分類討論的數(shù)學思想;3.體會借助中間量比較大小的方法;4.引導學生注意對數(shù)函數(shù)真數(shù)、底數(shù)的限制。

課堂小結：

問題3：結合圖象，我們得出了對數(shù)函數(shù)的哪些性質？

問題4：本節(jié)課的學習歷程是怎樣的，體現(xiàn)了哪些數(shù)學思想和研究方法？

設計意圖：1.知識上引導學生總結指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象及性質，并能初步運用函數(shù)性質解決問題。

2.本節(jié)課帶給學生的思想方法和學法更為重要，通過學生的課堂小結可以進一步落實直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學生形成數(shù)學研究方法。

教后反思：

問題2引導學生從關注知識轉向關注方法，學生成為研究思路的主人，從而習得數(shù)學思維方法。學生的學習是建立在已有認知和體驗基礎之上的，他們有能力從對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度考慮問題，甚至推及一般情形也是以換底公式為依據(jù)，值得肯定?？陀^上，沿著學生的思路加大了難度，為突破難點，面向全體同學的素養(yǎng)發(fā)展，問題串的設計就很有必要，這一環(huán)節(jié)提供了學習的支架，要讓學生充分活動思考，與學習任務深度互動。實踐表明，學生是優(yōu)秀的研究者，在解決問題中達到了對知識深層次的理解。

（作者單位：江蘇省前黃高級中學，江蘇 常州213100）