回應(yīng)學(xué)生思路 促進(jìn)素養(yǎng)發(fā)展

王盈慧

摘要：在《對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》一課的教學(xué)中，學(xué)生提出從指、對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度展開研究。指數(shù)與對數(shù)本質(zhì)是同一數(shù)量關(guān)系，正是本單元的“大觀念”，教師積極回應(yīng)學(xué)生的思路，優(yōu)化調(diào)整原有設(shè)計(jì)，在關(guān)鍵處、疑難處設(shè)計(jì)問題串，讓全體學(xué)生充分活動(dòng)思考，從而使其數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到發(fā)展。

關(guān)鍵詞：對數(shù)函數(shù);反函數(shù);學(xué)生思路;問題串

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）17-092

在教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中，教師要根據(jù)學(xué)生的思路、體驗(yàn)等學(xué)情優(yōu)化問題任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生去把握學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，促進(jìn)其深度思維，從而有利于學(xué)生主動(dòng)發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

下面，筆者以人教A版必修第一冊4.4.2《對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)》的設(shè)計(jì)為例，預(yù)設(shè)的研究思路是類比冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)，從特殊的y=log2x入手，列表、描點(diǎn)、畫圖，再畫出更多不同底數(shù)的對數(shù)函數(shù)圖象，然后利用GeoGebra軟件中的“滑動(dòng)條”畫出y=logax（a>0，a≠1）的圖象，最后，歸納出對數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)。

問題1：請你說出對數(shù)函數(shù)的概念？并談?wù)劇皩?shù)源出于指數(shù)——?dú)W拉”的理解。

學(xué)生：y=logax（a>0，a≠1）叫作對數(shù)函數(shù);y=ax（a>0，a≠1）與y=logax（a>0，a≠1）在本質(zhì)上是同一數(shù)量關(guān)系，只不過字母x，y對調(diào)了。

問題2：y=logax（a>0，a≠1）是一類新函數(shù)，我們研究它的什么？怎樣研究？說說你的研究思路。

設(shè)計(jì)意圖：1.鞏固研究函數(shù)的一般方法，這是本章著重培養(yǎng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng);2.啟發(fā)學(xué)生回憶冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的研究過程。

學(xué)生1：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了對數(shù)函數(shù)的概念和定義域，還要研究它的圖象，并進(jìn)一步得出其性質(zhì);我想先由特殊的y=2x的圖象得到y(tǒng)=log2x的圖象，進(jìn)而解決一般的對數(shù)函數(shù)的圖象。

或許學(xué)生對對數(shù)運(yùn)算還不熟悉，沒有對y=log2x列表、描點(diǎn)、畫圖，而是想從問題1揭示的y=2x與y=log2x的聯(lián)系入手。

學(xué)生2：由20=1知y=2x的圖象過點(diǎn)（0，1），y=log2x的圖象過點(diǎn)（1，0），由21=2知y=2x的圖象過點(diǎn)（1，2），y=log2x的圖象過點(diǎn)（2，1），這是兩對關(guān)于直線y=x對稱的點(diǎn)，所以函數(shù)圖象也關(guān)于直線y=x對稱，再由換底公式y(tǒng)=logax（a>0，a≠1）=1log2alog2x，就能變換得到一般的對數(shù)函數(shù)的圖象。

學(xué)生的回答并不是教材預(yù)設(shè)的研究思路，但對“指對數(shù)的統(tǒng)一性”的理解契合我對這一章的整體設(shè)想，換底公式的運(yùn)用更是超出了我的預(yù)期。我積極評價(jià)了兩位同學(xué)的研究思路，調(diào)整教學(xué)設(shè)計(jì)，提出了如下問題串：

問題串：（1）對比畫函數(shù)y=2x圖象時(shí)的表格，完成畫函數(shù)y=log2x的列表，表格當(dāng)中你有什么發(fā)現(xiàn)？

（2）函數(shù)y=2x圖象上任意一點(diǎn)M，記為M（a，b），則點(diǎn) 在函數(shù)y=log2x的圖象上。這兩點(diǎn)有怎樣的位置關(guān)系？

（3）對于函數(shù)y=log2x圖象上任意一點(diǎn)P，是否也有（2）中的特征？

（4）函數(shù)y=2x與y=log2x的圖象有什么關(guān)系？它們的定義域、值域之間有什么關(guān)系？展示你得到的對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象及性質(zhì)。

（5）類比y=ax（a>0，a≠1）的圖象和性質(zhì)，給出你對對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）的圖象與性質(zhì)的歸納整理。

設(shè)計(jì)意圖：y=ax與y=logax（a>0，a≠1）本質(zhì)上是同一數(shù)量關(guān)系，是本章的“大觀念”，這樣對數(shù)函數(shù)的研究也要對底數(shù)a分類討論，對數(shù)函數(shù)圖象的位置、公共點(diǎn)和變化趨勢都能由指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)推得。

因勢利導(dǎo)，在歸納對數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)后，指出“指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）互為反函數(shù)”。

設(shè)計(jì)意圖：將反函數(shù)調(diào)整為本節(jié)課的目標(biāo)之一。

例題：1.比較下列各題中數(shù)值的大小：

2.解下列關(guān)于x的不等式：

設(shè)計(jì)意圖：1.學(xué)會(huì)構(gòu)造函數(shù)并用函數(shù)性質(zhì)解題;2.體會(huì)分類討論的數(shù)學(xué)思想;3.體會(huì)借助中間量比較大小的方法;4.引導(dǎo)學(xué)生注意對數(shù)函數(shù)真數(shù)、底數(shù)的限制。

課堂小結(jié)：

問題3：結(jié)合圖象，我們得出了對數(shù)函數(shù)的哪些性質(zhì)？

問題4：本節(jié)課的學(xué)習(xí)歷程是怎樣的，體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想和研究方法？

設(shè)計(jì)意圖：1.知識(shí)上引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)，并能初步運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問題。

2.本節(jié)課帶給學(xué)生的思想方法和學(xué)法更為重要，通過學(xué)生的課堂小結(jié)可以進(jìn)一步落實(shí)直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)學(xué)研究方法。

教后反思：

問題2引導(dǎo)學(xué)生從關(guān)注知識(shí)轉(zhuǎn)向關(guān)注方法，學(xué)生成為研究思路的主人，從而習(xí)得數(shù)學(xué)思維方法。學(xué)生的學(xué)習(xí)是建立在已有認(rèn)知和體驗(yàn)基礎(chǔ)之上的，他們有能力從對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)的角度考慮問題，甚至推及一般情形也是以換底公式為依據(jù)，值得肯定。客觀上，沿著學(xué)生的思路加大了難度，為突破難點(diǎn)，面向全體同學(xué)的素養(yǎng)發(fā)展，問題串的設(shè)計(jì)就很有必要，這一環(huán)節(jié)提供了學(xué)習(xí)的支架，要讓學(xué)生充分活動(dòng)思考，與學(xué)習(xí)任務(wù)深度互動(dòng)。實(shí)踐表明，學(xué)生是優(yōu)秀的研究者，在解決問題中達(dá)到了對知識(shí)深層次的理解。

（作者單位：江蘇省前黃高級中學(xué)，江蘇 常州213100）