具有外部干擾的混合階多智能體系統的有限時間一致性

崔 艷 喬丹妮 (山西師范大學 山西 臨汾 041004)

0 引 言

近年來，多智能體系統的一致性問題受到很多關注。部分原因是它廣泛應用于解決移動機器人網絡、智能交通管理和監控系統中的協調與合作，為智能制造和系統集成也提供了非常重要的手段。與此同時，一致性理論在某些方面已成為一個挑戰，是控制學科的一個重要研究課題。很多專家學者已經討論并研究了二階系統的相關問題[2-7]。文獻[2]基于齊次理論，為達到有限時間一致性建立一些充分條件。 Khoo等[7]證明了多智能系統可以實現有限時間一致性跟蹤。一些文獻已經討論了帶有外部擾動的一階多智能體系統的一致性收斂問題[8-11]。Cao等[8]通過應用擴展狀態觀測器提出了一致性算法，該觀測器是建立在狀態和擾動基礎上的。文獻[9]對于具有外部擾動和普通Lipschitz型非線性網絡的分布式系統，研究了其分布式一致性問題。

此外，專家學者發現對拉氏矩陣的第二個最小特征值進行改進可以提高系統漸近收斂的速度[1]。同時有限時間一致控制方法比漸近一致性的收斂速度快，而且在存在外部擾動的情況下穩定性更好。因此，討論有限時間一致性問題非常有意義。

大多數學者都討論了線性系統的一致性控制問題。然而，很多現實的控制應用大多涉及非線性和非完整。因此，討論非完整系統的一致性控制問題也是必要的。文獻[12-14]只考慮了每個移動智能體的部分狀態向量的協同控制，而且這些方法專門針對特定類別的多智能體系統。文獻[14]討論了協同控制問題在非完整多智能體之間的研究。但是，有限時間一致性問題在非完整移動多智能體系統中仍然沒有太多討論。基于文獻[3]的研究結果，本文討論了非完整多智能體系統的有限時間一致性問題。

目前大多數專家學者對非完整多智能體系統的討論很少考慮環境不穩定的因素，但是真實網絡往往處于不穩定的通信環境中，如噪聲干擾、天氣不穩定等。因此，在前人研究基礎上，本文通過將非完整多智能體系統轉換為一個等效系統，即一階和二階子系統的混合階系統，分析了具有外部擾動的非完整多智能體系統的有限時間一致性。

1 預備知識

定義1如果存在常數x*<∞、v*<∞，使得一個具有外部擾動的二階多智能體系統滿足如下條件：

引理1[1]對于拓撲結構的無向圖G，L(A)=[lij]∈Rn×n表示G的拉普拉斯矩陣，則L(A)有以下性質成立：

(2) 如果G連通，則L(A)半正定，并且L(A)的特征根滿足0=λ1(L)<λ2(L)≤…≤λn(L)。

引理2[15]對于非Lipschitz連續非線性系統，假設存在一個C1上的函數V(x)定義在原點的鄰域，且實數c>0,α∈(0,1)使得：

(1)V(x)是正定的；

那么原點是局部有限時間穩定的，且有限時間T(x(0))與初始狀態x(0)=x0有關，滿足T(x(0))≤

引理3[3]對于一個具有外部擾動的二階多智能體系統：

(1)

式中：[xi,vi]T、ui和di分別表示智能體i的狀態變量、控制協議和外部干擾。假設通信拓撲是連通的，并且滿足|di(t)|≤l≤+∞，ui設計為：

(2)

引理4對于一個一階多智能體系統：

(3)

式中：xi和ui分別表示智能體i的狀態變量和控制協議。假設通信拓撲是連通的，ui設計為：

(4)

2 問題描述

對于一個具有n個非完整移動多智能體的動態系統，將該系統的狀態描述為：

(5)

式中：q*i=[q1i,q2i,q3i]T表示智能體i的位置狀態;u*i=[u1i,u2i]T表示系統的控制協議;d是外部干擾。

本文目的是尋找分布式控制器：

(6)

式(1)系統的Ki={k1,k2,…,kmi}?{i}∪Ni具有任意的初始條件，可使式(1)系統在有限時間T內實現一致性收斂(qij=qim，1≤i≤3, 1≤j≠m≤n)。

為了解決有限時間一致性問題，受文獻[7,9]的啟發，本文將式(1)系統劃分為一階和二階子系統，分別表示為：

(7)

(8)

3 主要結果

3.1 定拓撲情形

(9)

(10)

證明：

(1) 當T

(11)

由引理3可以得到：

(2) 當T≥T1時，所有智能體的q2i和q3i的狀態都已經達到了一致性。因此，本文接下來只需研究一階子系統式(7)即可。根據引理4，式(7)系統的控制協議可以設計為：

(12)

綜合(1)和(2)可得，當1≤i≤n時，所有智能體的q1i、q2i和q3i的狀態在有限時間T=T1+T2內可以達到一致性。

3.2 切換拓撲情形

在多智能體網絡中，如果兩個智能體之間存在障礙，則某些現有通信鏈路可能會失敗，即這種網絡的拓撲可以是切換的或時變的。因此，具有切換網絡拓撲的有限時間一致性的研究是必要的。下面討論在切換拓撲條件下，混合階系統的有限時間一致性。

假設拓撲圖隨時間改變而改變，但是任意兩個節點的權值不隨時間而變化，LGc為拓撲圖的指標集，Gc為有n個節點的連通圖。ω(t):R+→LGc為切換符，t0=0,(t1，t2,…,ts)為切換時間序列。

證明：與定理1證明過程相似，同樣利用引理3來證明切換拓撲結構的情況，從而達到實現有限時間一致性的要求，此處省略。

4 仿真實驗

本節給出了以下兩個例子：

令網絡拓撲G的鄰接矩陣為A：

圖1-圖3分別表示q1、q2和q3在固定拓撲條件下的狀態軌跡圖。由圖2和圖3可知，當t<15

圖2 定拓撲條件下的q2的狀態軌跡

圖3 定拓撲條件下的q3的狀態軌跡

參數的選取和各智能體的初始狀態與例1中的一樣。令網絡拓撲Gk的鄰接矩陣為Ak，k=1,2,3,4。

圖4、圖5和圖6分別為q1、q2和q3在切換拓撲條件下的狀態軌跡圖。由圖5和圖6可知，當t<15

5 結 語

本文討論了在定變拓撲條件下的帶有外部干擾的混合階系統的有限時間一致性問題。通過將原始系統轉換為一個等效系統，即一個一階子系統和一個二階子系統，得到了解決上述問題的充分條件。先利用有限時間控制器,使二階子系統中的各個狀態達到一致,并獲取達到一致的時間上界,將該上界作為切換時間,切換到另一個有限時間控制器,控制一階子系統，從而控制整個系統,最終使得系統中各個狀態在有限時間內達到一致。利用Lyapunov穩定性理論和圖論等相關知識,從理論上證明了定理的正確性,并且提供了一些仿真實例來驗證獲得的理論結果的可行性。未來工作將針對隨機干擾做進一步的研究，并將相關結果擴展到高階或離散系統。