無葉片風力機變固有頻率系統的渦激擺動特性及捕能效率

龔曙光， 吳興豪， 謝桂蘭， 張建平

(湘潭大學 機械工程學院， 湖南 湘潭 411105)

無葉片風力機的物理模型，如圖1所示。當風作用在其捕能柱時，渦激作用力使捕能柱在橫向和流向產生強烈的周期性擺動，再通過其能量轉換裝置將擺動機械能轉換成電能。特別是當捕能柱橫向擺動的固有頻率與渦激頻率接近時即出現“鎖頻”，捕能柱將產生共振，即捕能柱能獲得最大的振幅，從而就可捕獲最大的風能[1]。

圖1 無葉片風力機物理模型

同時在捕能柱的下端連接一個由永磁體構成的回復力裝置，它既可控制捕能柱在共振時其振幅的無限增大，不至于給捕能柱結構帶來破壞，也可給捕能柱一個回復力，將有利于捕能柱的擺動。

針對渦激振動的發電裝置，國內外學者已開展了相關的試驗和理論研究，如Bernitsas等[2]利用渦激振動水生潔凈能源(vortex induced vibration aquatic clean energy，VIVACE)裝置將水流動能轉換為電能，實現了水力渦激平動能量的提取。Lee等[3]研究了雷諾數和系統阻尼等參數對VIVACE裝置轉換功率的影響，指出在渦激振動上部分支柱體振幅比隨雷諾數的增大而增大，且隨系統阻尼的增大而減小。羅竹梅等[4]通過對水流渦激振動的數值模擬，發現選取適當的折合速度和質量阻尼比可使捕能效率最大化，等等。然而目前大部分研究均是針對柱體在水流渦激平行振動下進行。

也有學者針對回復力矩開展了相關的研究，如Mackowski等[5]對渦激平動非線性回復力系統進行了研究，并指出非線性回復力系統對柱體高振幅、高功率的雷諾數范圍產生了較大的影響；Barton等[6]研究了一種基于永磁體的非線性回復力能量收集裝置，從而使得該裝置在更寬的頻率范圍內具有高功率特性；Gammaitoni等[7]研究了非線性回復力系統對振動壓電能收集裝置性能的影響。同時，Yazdi[8]研究了無葉片風力機的一種固有頻率控制器，其結果表明改變系統固有頻率對無葉片風力機的輸出功率影響很大等。

目前針對渦激振動發電裝置主要以水作為流體介質，且基本以柱體渦激平行振動的研究為主，同時回復力矩對風致渦激擺動的影響研究也非常缺乏，因此本文基于計算流體動力學(computational fluid dynamics, CFD)-剛體動力學(rigid body dynamics, RBD)的耦合方法，建立無葉片風力機捕能柱的三維渦激擺動模型，對非線性回復力矩系統下的渦激擺動特性及能量捕獲效率進行研究，所得結果將為無葉片風力機的設計提供指導。

1 模型簡化與理論推導

1.1 橫向擺動的簡化模型

從圖1可知，其捕能柱除要受到渦激作用產生的氣動升力Fl和氣動阻力Fd之外，還受到永磁體作用力、阻尼作用力以及自身重力的作用。其中永磁體為捕能柱渦激擺動提供回復力矩，但產生的回復力矩隨捕能柱擺動角度的變化呈非線性關系[9]，但在擺動角度較少時，回復力矩與擺動角度之間近似為線性關系。因此本文首先對永磁體產生作用的力矩進行線性化分析，即將整個裝置視為質量-彈簧-阻尼系統，然后再對回復力矩與擺動角度之間的非線性關系進行研究。

若將捕能柱底面中心視為擺動中心，則其在渦激作用力下的擺動模型可簡化，如圖2所示。

圖2 捕能柱擺動模型

對于在線性回復力矩作用下的捕能系統，其捕能柱雙自由度剛性渦激擺動的動力學響應方程可表示為

(1)

捕能柱在任意位置受到其自身重力矩與擺動角度有關，且重力作用力矩可表示為

(2)

式中：mg為捕能柱自身重力；L為捕能柱質心到擺動中心的高度。

當捕能柱不受風力作用時，由式(1)和式(2)可得柱體單方向擺動的控制方程為

(3)

因式(3)無通解，須對該擺動系統的固有頻率做進一步分析，但當柱體擺動幅度較小時即(θ≤0.087 5 rad)，有sinθ≈θ，則由式(3)可得

(4)

且式(4)的特征值為

(5)

式中，ω為該振動系統的固有圓頻率。

則圖2所示剛性振動系統固有頻率fn的計算式可表示為

(6)

即圖2所示簡化模型的固有頻率fn與捕能柱質量m、系統阻尼系數c、回復力矩系數k以及質心位置L相關，且在擺動過程中保持不變。

1.2 變固有頻率系統分析

因永磁體構建的回復力裝置，其產生的回復力矩隨捕能柱擺動角度的變化呈非線性關系，且在一定擺動角度內可擬合成二次函數。而在Yazdi對回復力系統的研究指出，可通過改變永磁體結構的參數值來得到渦激平動所需要的線性或非線性回復力。因此本文將根據已有的永磁體結構參數，構建線性回復力函數和兩種二次回復力函數，以探討其對捕能柱渦激擺動特性及能量捕獲效率的影響，從而為無葉片風力機永磁體結構的設計提供指導。

假定捕能柱采用ABS(Acrylonitrile Butadiene Styrene)塑料薄壁圓柱結構，其材料密度為1 020 kg/m3，選取柱體外直徑D=0.1 m，長徑比L/D=5，壁厚1 mm，系統質量阻尼比為0.33，設置永磁體回復力矩裝置的線性剛度系數為k=25.63 N·m/rad，由此構建回復力矩與擺動角度之間的線性函數與兩種二次函數表示為

(7)

由式(7)可知，當3種函數關系在擺動角度為θ=0.017 5 rad(即1°)時具有相同的回復力矩，而當θ=0.034 9 rad(即2°)時函數關系s2與函數關系s3分別大于函數關系s1的回復力矩0.05 N·m和0.1 N·m。

3種函數關系在不同擺動角度時回復力矩的變化曲線，如圖3所示。

從圖3可知，對具有非線性回復力矩的捕能系統來說，當擺動角度在區間[θ，θ+Δθ]內變化時，可近似采用線性函數來表示，即有

(8)

這意味著此時回復力矩的剛度系數k與θ相關，由此可定義非線性回復力矩系統在某一擺動角度下的固有頻率為

(9)

由式(9)可知，在渦激擺動過程中，對具有非線性回復力矩的捕能系統，其固有頻率與擺動角度下回復力矩函數的斜率相關，即非線性回復力矩函數的斜率控制著捕能系統在某個角度下的固有頻率。

結合式(9)和圖3可知，對具有線性回復力矩的捕能系統來說，其固有頻率在渦激擺動過程中保持不變。而對具有非線性回復力矩的捕能系統來說，其固有頻率隨擺動角度的增大而逐漸增大，且非線性化程度越高固有頻率增長速率越快，即非線性回復力矩捕能系統的固有頻率會隨擺動角度的變化而發生改變，因此本文定義其為變固有頻率系統。

在擺動角度小于0.017 5 rad時，3種函數的斜率發生了切換，即其系統的固有頻率值也將發生切換(見圖3(b))。

(a) 回復力矩與擺動角度的關系

1.3 能量捕獲效率

在捕能柱渦激擺動過程中，風力對柱體所做的功可由升力矩M(t)與柱體擺動角速度的乘積得到，即

(10)

則捕能柱在T時間內通過渦激擺動捕獲風能的功率可表示為

(11)

風力場中蘊含的功率用流體產生的動壓與容積流量的乘積表示為

Pfluid=PTQ

(12)

式中：PT為流體動壓；Q為流體容積流量，分別表示為

(13)

Q=AU

(14)

式中：ρ為風的密度；U為風速；A為迎風面積，且有A=DH，其中D為柱體外直徑，H為柱體高度。

則風力對圓柱體所做的總功率可表示為

(15)

由式(11)和式(15)得到時間T內捕能柱產生的能量捕獲效率為

(16)

采用數值積分得到式(16)的離散形式

(17)

式中，Δt為數值計算的時間步長。

2 數值計算方法及模型驗證

2.1 數值計算方法

采用CFD軟件Fluent進行數值計算，柱體在不同時刻所受到的磁性回復力矩、阻尼力矩和重力力矩通過UDF(user defined function)程序控制。柱體在任意時刻受到的總力矩為風力與重力對柱體產生的力矩矢量和再減去該時刻柱體受到的磁性回復力矩與阻尼力矩。

本文采用六自由度動網格模型求解，動網格的更新采用整體動網格法，即將流體域所有網格均設置為隨柱體振動的隨動網格，同時將風力入口面速度方向設置為固定不變的來流方向。在其流固耦合計算中，首先得到柱體結構的壓力場，再通過UDF得到捕能柱所受的總力矩，通過求解柱體擺動的角速度及角加速度，進而得到柱體在每個時間步長內的擺動角度。在完成每個時間步長的計算后再進行網格更新，然后進行下一個時間步的計算，如此循環下去。邊界條件及網絡模型如圖4所示。

按照前述捕能柱的結構參數，設置流體域寬度和長度大小為20D×30D；流體入口面設置為速度入口；流體出口面設置為壓力出口，相對壓力取為0；上、下、左、右面均設置為對稱邊界條件(見圖4(a))。

基于雷諾平均Navier-Stokes方程，采用SSTk-ω湍流模型求解。柱體壁面第一層網格按照y+～1的要求進行劃分，近壁面網格徑向延伸率設置為1.08，徑向10D內作為O型網格核心加密區，最大網格尺寸不超過0.1D；柱體高度方向網格尺寸參考文獻[10]給出的公式N=10L/D進行劃分，其中N為柱體高度方向節點數，計算網格模型見圖4(b)。

(a) 邊界條件

2.2 模型驗證

本文計算雷諾數Re范圍為Re=1×104～ 3×104。為驗證本文所構建模型的可行性，在雷諾數分別為Re=2×104,Re=3×104時，將柱體靜止繞流模型所得結果與文獻結果進行了對比分析。其中，時均阻力系數定義為Cd=2Fd/ρU2D(Fd為捕能柱所受到的時均阻力)；斯特勞哈爾數定義為St=fD/U(f為旋渦脫落頻率)，通過數值仿真計算，所得結果如圖5所示。

從圖5可知，在亞臨界雷諾數區間內，本文數值模擬所得到的時均阻力系數Cd和與Achenbach[11]的和Wieselsberger[12]的試驗結果符合程度較好，而斯特勞哈爾數St與Norberg[13]的試驗結果較為接近，這說明本文所建立的數值模型是可行的。

(a) 時均阻力系數Cd與Achenbach和Wieselsberger的試驗對比

3 數值模擬結果及分析

下面將針對式(7)所示3種回復力矩函數所構建的變固有頻率系統，探討其對捕能柱渦激橫向擺動特性的影響。

3.1 對橫向擺動角度的影響

不同捕能系統橫向擺動角度隨風速的變化曲線，如圖6所示。在渦激平動中，常用折合速度Ur=U/fnD取代實際流速，但由于變固有頻率系統fn為非恒定值，本文未作風速的無量綱化。

圖6 捕能系統橫向擺動角度隨風速的變化

從圖6可知，3種捕能系統在橫向的擺動角度峰值隨回復力矩非線性化程度的增加呈遞減趨勢，且橫向擺動角度峰值對應的風速向前推移。這是由于具有函數s2和s3的捕能系統，其固有頻率初值要小于具有函數s1的捕能系統，因此使得具有非線性程度高的捕能系統在較小風速下就進入了頻率“鎖定”狀態，這與Mackowski等對渦激平動試驗研究所得結論相似。同時當擺動角度大于1°后，二次函數s2和s3的回復力矩逐漸增大，從而也對捕能柱橫向擺動角度的增大起到了抑制作用，這意味著非線性回復力矩越小越好。

從圖6也可知，具有函數s1與s2的捕能系統，其“鎖頻”區間要低于具有函數s3的捕能系統，這意味著隨著回復力非線性化程度的增加有助于提高“鎖頻”區間。同時在風速小于3 m/s或大于4 m/s時，3種捕能系統在擺動角度上差異性較小，這意味著回復力矩非線性化對柱體擺動響應兩端風速的影響逐漸減小。

3.2 對橫向擺動頻率的影響

不同捕能系統隨風速變化的橫向擺動頻譜分析圖及變化趨勢，如圖7所示。其不同風速下的橫向擺動頻率值，如表1所示。

(a) 函數s1

從圖7(a)和表1可知，對于具有函數s1的捕能系統，其捕能柱橫向擺動頻率首先隨來流風速的增加而增加，且均表現為 “單峰”振動；隨著風速增加旋渦脫落頻率增大，捕能柱開始出現“雙峰”振動，橫向擺動產生次頻分量并被“鎖定”到固有頻率附近，表現為“拍”的不穩定性振動；風速繼續增加即達到了頻率鎖定狀態，同時在更高風速下也產生了接近系統固有頻率的次頻分量。

表1 不同捕能系統在不同風速下的橫向擺動頻率

從圖7(b)～圖7(c)和表1可知，對于具有非線性函數s2和s3的捕能系統，其捕能柱橫向擺動頻率出現了較明顯的“三峰”現象，即擺動頻率產生了3個峰值。這是由于具有非線性函數的捕能系統，其固有頻率在擺動過程中發生了變化，所以產生了更多的次頻分量，其相應固有頻率波動帶寬也就增加。當系統的固有頻率可變時，結構體與流場將產生更自由的耦合，從而激發更寬泛的振動模態。當非線性捕能系統捕能柱擺動幅度增大時，其系統固有頻率能在不同風速下隨之增大到與旋渦脫落頻率相匹配，這將有助于增大主頻鎖定的區間。

3.3 對氣動力參數的影響

不同捕能系統其升力系數均方根Cl,rms和時均阻力系數Cd統計值隨風速的變化曲線，如圖8所示。

從圖8可知，3種捕能系統在最大擺動角度所對應風速下的氣動力參數均了產生波峰。此時旋渦脫落頻率與系統固有頻率相匹配，結構體與流場強烈耦合，從而增大了柱體的氣動力參數。

圖8 不同捕能系統氣動力參數統計值隨風速的變化

對具有非線性回復力的捕能系統，即使其固有頻率隨擺動角度發生了改變，但也同樣能達到頻率鎖定的強耦合狀態，但是其氣動升力系數的波峰有所降低。在具有函數s3的捕能系統中，當風速為3.1 m/s時，其柱體的橫向擺動表現為“拍”現象，氣動升力均方根值相比最大擺動角度下降更為明顯。

同時對于遠離頻率鎖定風速區間的“初始分支始端”與“下部分支末端”，回復力矩的非線性化對捕能系統氣動力參數的影響逐漸變小。

3.4 對能量捕獲效率的影響

不同捕能系統能量捕獲效率隨風速的變化，如圖9所示。

圖9 捕能系統能量捕獲效率隨風速的變化

由圖9可知，不同捕能系統能量捕獲效率與氣動升力系數呈現相應的趨勢，峰值能量捕獲效率隨回復力矩非線性化程度的增加而減小，對應的風速向前推移。在氣動升力產生“拍”現象時，能量捕獲效率計算值同樣表現出較大幅度的減小。

3.5 渦激擺動尾渦結構場

具有函數s1的捕能系統在擺幅峰值風速下一個擺動周期T的三維RANS湍流模型尾渦結構場，如圖10所示。

從圖10可知，捕能柱向兩側橫向擺動時產生了較明顯的斜渦脫落，柱體回復到平衡位置時表現為在流向方向交替渦脫落。

(a) t=T+0.25T

相比柱體渦激平行振動，在擺動運動過程中柱體尾渦脫落受到擺動角度的影響，尾渦結構在柱體高度方向發生了不同程度的脫落模態。而渦激平動尾渦脫落模式在柱體高度方向較保持一致，這也可能是導致渦激擺動頻率“鎖定”區間較窄的一個原因。

4 結 論

本文基于計算流體動力學-剛體動力學耦合的方法，結合SSTk-ω湍流模型和六自由度動網格技術，建立了無葉片風力機捕能柱的三維渦激擺動模型，對無葉片風力機變固有頻率系統進行了理論分析，在對所建擺動模型進行驗證的基礎上，研究了變固有頻率系統對捕能柱渦激擺動特性及能量捕獲效率的影響，得到以下結論：

(1) 非線性回復力矩函數的斜率控制著捕能系統的固有頻率，且回復力矩非線性化程度越大系統固有頻率的變化速率越快。

(2) 回復力矩的非線性化程度越大，捕能柱峰值擺幅和能量捕獲效率越小，且對應的風速向較小雷諾數方向推移。

(3) 在變固有頻率捕能系統中，捕能柱橫向渦激擺動次頻分量帶寬增加，選擇恰當的變固有頻率系統可增加柱體主頻鎖定區間和高擺幅區間。

(4) 捕能柱在渦激擺動過程中，隨高度方向的變化產生不同程度的斜渦脫落，對渦激擺動頻率鎖定具有一定的影響。

本文僅對回復力矩的非線性程度進行了探討，但影響變固有頻率的因素還有系統阻尼系數、捕能柱的質量等因素，且針對本文內容的試驗測試研究均將是本文作者后續的研究內容。