無葉片風(fēng)力機變固有頻率系統(tǒng)的渦激擺動特性及捕能效率

龔曙光， 吳興豪， 謝桂蘭， 張建平

(湘潭大學(xué) 機械工程學(xué)院， 湖南 湘潭 411105)

無葉片風(fēng)力機的物理模型，如圖1所示。當(dāng)風(fēng)作用在其捕能柱時，渦激作用力使捕能柱在橫向和流向產(chǎn)生強烈的周期性擺動，再通過其能量轉(zhuǎn)換裝置將擺動機械能轉(zhuǎn)換成電能。特別是當(dāng)捕能柱橫向擺動的固有頻率與渦激頻率接近時即出現(xiàn)“鎖頻”，捕能柱將產(chǎn)生共振，即捕能柱能獲得最大的振幅，從而就可捕獲最大的風(fēng)能[1]。

圖1 無葉片風(fēng)力機物理模型

同時在捕能柱的下端連接一個由永磁體構(gòu)成的回復(fù)力裝置，它既可控制捕能柱在共振時其振幅的無限增大，不至于給捕能柱結(jié)構(gòu)帶來破壞，也可給捕能柱一個回復(fù)力，將有利于捕能柱的擺動。

針對渦激振動的發(fā)電裝置，國內(nèi)外學(xué)者已開展了相關(guān)的試驗和理論研究，如Bernitsas等[2]利用渦激振動水生潔凈能源(vortex induced vibration aquatic clean energy，VIVACE)裝置將水流動能轉(zhuǎn)換為電能，實現(xiàn)了水力渦激平動能量的提取。Lee等[3]研究了雷諾數(shù)和系統(tǒng)阻尼等參數(shù)對VIVACE裝置轉(zhuǎn)換功率的影響，指出在渦激振動上部分支柱體振幅比隨雷諾數(shù)的增大而增大，且隨系統(tǒng)阻尼的增大而減小。羅竹梅等[4]通過對水流渦激振動的數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)選取適當(dāng)?shù)恼酆纤俣群唾|(zhì)量阻尼比可使捕能效率最大化，等等。然而目前大部分研究均是針對柱體在水流渦激平行振動下進行。

也有學(xué)者針對回復(fù)力矩開展了相關(guān)的研究，如Mackowski等[5]對渦激平動非線性回復(fù)力系統(tǒng)進行了研究，并指出非線性回復(fù)力系統(tǒng)對柱體高振幅、高功率的雷諾數(shù)范圍產(chǎn)生了較大的影響；Barton等[6]研究了一種基于永磁體的非線性回復(fù)力能量收集裝置，從而使得該裝置在更寬的頻率范圍內(nèi)具有高功率特性；Gammaitoni等[7]研究了非線性回復(fù)力系統(tǒng)對振動壓電能收集裝置性能的影響。同時，Yazdi[8]研究了無葉片風(fēng)力機的一種固有頻率控制器，其結(jié)果表明改變系統(tǒng)固有頻率對無葉片風(fēng)力機的輸出功率影響很大等。

目前針對渦激振動發(fā)電裝置主要以水作為流體介質(zhì)，且基本以柱體渦激平行振動的研究為主，同時回復(fù)力矩對風(fēng)致渦激擺動的影響研究也非常缺乏，因此本文基于計算流體動力學(xué)(computational fluid dynamics, CFD)-剛體動力學(xué)(rigid body dynamics, RBD)的耦合方法，建立無葉片風(fēng)力機捕能柱的三維渦激擺動模型，對非線性回復(fù)力矩系統(tǒng)下的渦激擺動特性及能量捕獲效率進行研究，所得結(jié)果將為無葉片風(fēng)力機的設(shè)計提供指導(dǎo)。

1 模型簡化與理論推導(dǎo)

1.1 橫向擺動的簡化模型

從圖1可知，其捕能柱除要受到渦激作用產(chǎn)生的氣動升力Fl和氣動阻力Fd之外，還受到永磁體作用力、阻尼作用力以及自身重力的作用。其中永磁體為捕能柱渦激擺動提供回復(fù)力矩，但產(chǎn)生的回復(fù)力矩隨捕能柱擺動角度的變化呈非線性關(guān)系[9]，但在擺動角度較少時，回復(fù)力矩與擺動角度之間近似為線性關(guān)系。因此本文首先對永磁體產(chǎn)生作用的力矩進行線性化分析，即將整個裝置視為質(zhì)量-彈簧-阻尼系統(tǒng)，然后再對回復(fù)力矩與擺動角度之間的非線性關(guān)系進行研究。

若將捕能柱底面中心視為擺動中心，則其在渦激作用力下的擺動模型可簡化，如圖2所示。

圖2 捕能柱擺動模型

對于在線性回復(fù)力矩作用下的捕能系統(tǒng)，其捕能柱雙自由度剛性渦激擺動的動力學(xué)響應(yīng)方程可表示為

(1)

捕能柱在任意位置受到其自身重力矩與擺動角度有關(guān)，且重力作用力矩可表示為

(2)

式中：mg為捕能柱自身重力；L為捕能柱質(zhì)心到擺動中心的高度。

當(dāng)捕能柱不受風(fēng)力作用時，由式(1)和式(2)可得柱體單方向擺動的控制方程為

(3)

因式(3)無通解，須對該擺動系統(tǒng)的固有頻率做進一步分析，但當(dāng)柱體擺動幅度較小時即(θ≤0.087 5 rad)，有sinθ≈θ，則由式(3)可得

(4)

且式(4)的特征值為

(5)

式中，ω為該振動系統(tǒng)的固有圓頻率。

則圖2所示剛性振動系統(tǒng)固有頻率fn的計算式可表示為

(6)

即圖2所示簡化模型的固有頻率fn與捕能柱質(zhì)量m、系統(tǒng)阻尼系數(shù)c、回復(fù)力矩系數(shù)k以及質(zhì)心位置L相關(guān)，且在擺動過程中保持不變。

1.2 變固有頻率系統(tǒng)分析

因永磁體構(gòu)建的回復(fù)力裝置，其產(chǎn)生的回復(fù)力矩隨捕能柱擺動角度的變化呈非線性關(guān)系，且在一定擺動角度內(nèi)可擬合成二次函數(shù)。而在Yazdi對回復(fù)力系統(tǒng)的研究指出，可通過改變永磁體結(jié)構(gòu)的參數(shù)值來得到渦激平動所需要的線性或非線性回復(fù)力。因此本文將根據(jù)已有的永磁體結(jié)構(gòu)參數(shù)，構(gòu)建線性回復(fù)力函數(shù)和兩種二次回復(fù)力函數(shù)，以探討其對捕能柱渦激擺動特性及能量捕獲效率的影響，從而為無葉片風(fēng)力機永磁體結(jié)構(gòu)的設(shè)計提供指導(dǎo)。

假定捕能柱采用ABS(Acrylonitrile Butadiene Styrene)塑料薄壁圓柱結(jié)構(gòu)，其材料密度為1 020 kg/m3，選取柱體外直徑D=0.1 m，長徑比L/D=5，壁厚1 mm，系統(tǒng)質(zhì)量阻尼比為0.33，設(shè)置永磁體回復(fù)力矩裝置的線性剛度系數(shù)為k=25.63 N·m/rad，由此構(gòu)建回復(fù)力矩與擺動角度之間的線性函數(shù)與兩種二次函數(shù)表示為

(7)

由式(7)可知，當(dāng)3種函數(shù)關(guān)系在擺動角度為θ=0.017 5 rad(即1°)時具有相同的回復(fù)力矩，而當(dāng)θ=0.034 9 rad(即2°)時函數(shù)關(guān)系s2與函數(shù)關(guān)系s3分別大于函數(shù)關(guān)系s1的回復(fù)力矩0.05 N·m和0.1 N·m。

3種函數(shù)關(guān)系在不同擺動角度時回復(fù)力矩的變化曲線，如圖3所示。

從圖3可知，對具有非線性回復(fù)力矩的捕能系統(tǒng)來說，當(dāng)擺動角度在區(qū)間[θ，θ+Δθ]內(nèi)變化時，可近似采用線性函數(shù)來表示，即有

(8)

這意味著此時回復(fù)力矩的剛度系數(shù)k與θ相關(guān)，由此可定義非線性回復(fù)力矩系統(tǒng)在某一擺動角度下的固有頻率為

(9)

由式(9)可知，在渦激擺動過程中，對具有非線性回復(fù)力矩的捕能系統(tǒng)，其固有頻率與擺動角度下回復(fù)力矩函數(shù)的斜率相關(guān)，即非線性回復(fù)力矩函數(shù)的斜率控制著捕能系統(tǒng)在某個角度下的固有頻率。

結(jié)合式(9)和圖3可知，對具有線性回復(fù)力矩的捕能系統(tǒng)來說，其固有頻率在渦激擺動過程中保持不變。而對具有非線性回復(fù)力矩的捕能系統(tǒng)來說，其固有頻率隨擺動角度的增大而逐漸增大，且非線性化程度越高固有頻率增長速率越快，即非線性回復(fù)力矩捕能系統(tǒng)的固有頻率會隨擺動角度的變化而發(fā)生改變，因此本文定義其為變固有頻率系統(tǒng)。

在擺動角度小于0.017 5 rad時，3種函數(shù)的斜率發(fā)生了切換，即其系統(tǒng)的固有頻率值也將發(fā)生切換(見圖3(b))。

(a) 回復(fù)力矩與擺動角度的關(guān)系

1.3 能量捕獲效率

在捕能柱渦激擺動過程中，風(fēng)力對柱體所做的功可由升力矩M(t)與柱體擺動角速度的乘積得到，即

(10)

則捕能柱在T時間內(nèi)通過渦激擺動捕獲風(fēng)能的功率可表示為

(11)

風(fēng)力場中蘊含的功率用流體產(chǎn)生的動壓與容積流量的乘積表示為

Pfluid=PTQ

(12)

式中：PT為流體動壓；Q為流體容積流量，分別表示為

(13)

Q=AU

(14)

式中：ρ為風(fēng)的密度；U為風(fēng)速；A為迎風(fēng)面積，且有A=DH，其中D為柱體外直徑，H為柱體高度。

則風(fēng)力對圓柱體所做的總功率可表示為

(15)

由式(11)和式(15)得到時間T內(nèi)捕能柱產(chǎn)生的能量捕獲效率為

(16)

采用數(shù)值積分得到式(16)的離散形式

(17)

式中，Δt為數(shù)值計算的時間步長。

2 數(shù)值計算方法及模型驗證

2.1 數(shù)值計算方法

采用CFD軟件Fluent進行數(shù)值計算，柱體在不同時刻所受到的磁性回復(fù)力矩、阻尼力矩和重力力矩通過UDF(user defined function)程序控制。柱體在任意時刻受到的總力矩為風(fēng)力與重力對柱體產(chǎn)生的力矩矢量和再減去該時刻柱體受到的磁性回復(fù)力矩與阻尼力矩。

本文采用六自由度動網(wǎng)格模型求解，動網(wǎng)格的更新采用整體動網(wǎng)格法，即將流體域所有網(wǎng)格均設(shè)置為隨柱體振動的隨動網(wǎng)格，同時將風(fēng)力入口面速度方向設(shè)置為固定不變的來流方向。在其流固耦合計算中，首先得到柱體結(jié)構(gòu)的壓力場，再通過UDF得到捕能柱所受的總力矩，通過求解柱體擺動的角速度及角加速度，進而得到柱體在每個時間步長內(nèi)的擺動角度。在完成每個時間步長的計算后再進行網(wǎng)格更新，然后進行下一個時間步的計算，如此循環(huán)下去。邊界條件及網(wǎng)絡(luò)模型如圖4所示。

按照前述捕能柱的結(jié)構(gòu)參數(shù)，設(shè)置流體域?qū)挾群烷L度大小為20D×30D；流體入口面設(shè)置為速度入口；流體出口面設(shè)置為壓力出口，相對壓力取為0；上、下、左、右面均設(shè)置為對稱邊界條件(見圖4(a))。

基于雷諾平均Navier-Stokes方程，采用SSTk-ω湍流模型求解。柱體壁面第一層網(wǎng)格按照y+～1的要求進行劃分，近壁面網(wǎng)格徑向延伸率設(shè)置為1.08，徑向10D內(nèi)作為O型網(wǎng)格核心加密區(qū)，最大網(wǎng)格尺寸不超過0.1D；柱體高度方向網(wǎng)格尺寸參考文獻[10]給出的公式N=10L/D進行劃分，其中N為柱體高度方向節(jié)點數(shù)，計算網(wǎng)格模型見圖4(b)。

(a) 邊界條件

2.2 模型驗證

本文計算雷諾數(shù)Re范圍為Re=1×104～ 3×104。為驗證本文所構(gòu)建模型的可行性，在雷諾數(shù)分別為Re=2×104,Re=3×104時，將柱體靜止繞流模型所得結(jié)果與文獻結(jié)果進行了對比分析。其中，時均阻力系數(shù)定義為Cd=2Fd/ρU2D(Fd為捕能柱所受到的時均阻力)；斯特勞哈爾數(shù)定義為St=fD/U(f為旋渦脫落頻率)，通過數(shù)值仿真計算，所得結(jié)果如圖5所示。

從圖5可知，在亞臨界雷諾數(shù)區(qū)間內(nèi)，本文數(shù)值模擬所得到的時均阻力系數(shù)Cd和與Achenbach[11]的和Wieselsberger[12]的試驗結(jié)果符合程度較好，而斯特勞哈爾數(shù)St與Norberg[13]的試驗結(jié)果較為接近，這說明本文所建立的數(shù)值模型是可行的。

(a) 時均阻力系數(shù)Cd與Achenbach和Wieselsberger的試驗對比

3 數(shù)值模擬結(jié)果及分析

下面將針對式(7)所示3種回復(fù)力矩函數(shù)所構(gòu)建的變固有頻率系統(tǒng)，探討其對捕能柱渦激橫向擺動特性的影響。

3.1 對橫向擺動角度的影響

不同捕能系統(tǒng)橫向擺動角度隨風(fēng)速的變化曲線，如圖6所示。在渦激平動中，常用折合速度Ur=U/fnD取代實際流速，但由于變固有頻率系統(tǒng)fn為非恒定值，本文未作風(fēng)速的無量綱化。

圖6 捕能系統(tǒng)橫向擺動角度隨風(fēng)速的變化

從圖6可知，3種捕能系統(tǒng)在橫向的擺動角度峰值隨回復(fù)力矩非線性化程度的增加呈遞減趨勢，且橫向擺動角度峰值對應(yīng)的風(fēng)速向前推移。這是由于具有函數(shù)s2和s3的捕能系統(tǒng)，其固有頻率初值要小于具有函數(shù)s1的捕能系統(tǒng)，因此使得具有非線性程度高的捕能系統(tǒng)在較小風(fēng)速下就進入了頻率“鎖定”狀態(tài)，這與Mackowski等對渦激平動試驗研究所得結(jié)論相似。同時當(dāng)擺動角度大于1°后，二次函數(shù)s2和s3的回復(fù)力矩逐漸增大，從而也對捕能柱橫向擺動角度的增大起到了抑制作用，這意味著非線性回復(fù)力矩越小越好。

從圖6也可知，具有函數(shù)s1與s2的捕能系統(tǒng)，其“鎖頻”區(qū)間要低于具有函數(shù)s3的捕能系統(tǒng)，這意味著隨著回復(fù)力非線性化程度的增加有助于提高“鎖頻”區(qū)間。同時在風(fēng)速小于3 m/s或大于4 m/s時，3種捕能系統(tǒng)在擺動角度上差異性較小，這意味著回復(fù)力矩非線性化對柱體擺動響應(yīng)兩端風(fēng)速的影響逐漸減小。

3.2 對橫向擺動頻率的影響

不同捕能系統(tǒng)隨風(fēng)速變化的橫向擺動頻譜分析圖及變化趨勢，如圖7所示。其不同風(fēng)速下的橫向擺動頻率值，如表1所示。

(a) 函數(shù)s1

從圖7(a)和表1可知，對于具有函數(shù)s1的捕能系統(tǒng)，其捕能柱橫向擺動頻率首先隨來流風(fēng)速的增加而增加，且均表現(xiàn)為 “單峰”振動；隨著風(fēng)速增加旋渦脫落頻率增大，捕能柱開始出現(xiàn)“雙峰”振動，橫向擺動產(chǎn)生次頻分量并被“鎖定”到固有頻率附近，表現(xiàn)為“拍”的不穩(wěn)定性振動；風(fēng)速繼續(xù)增加即達到了頻率鎖定狀態(tài)，同時在更高風(fēng)速下也產(chǎn)生了接近系統(tǒng)固有頻率的次頻分量。

表1 不同捕能系統(tǒng)在不同風(fēng)速下的橫向擺動頻率

從圖7(b)～圖7(c)和表1可知，對于具有非線性函數(shù)s2和s3的捕能系統(tǒng)，其捕能柱橫向擺動頻率出現(xiàn)了較明顯的“三峰”現(xiàn)象，即擺動頻率產(chǎn)生了3個峰值。這是由于具有非線性函數(shù)的捕能系統(tǒng)，其固有頻率在擺動過程中發(fā)生了變化，所以產(chǎn)生了更多的次頻分量，其相應(yīng)固有頻率波動帶寬也就增加。當(dāng)系統(tǒng)的固有頻率可變時，結(jié)構(gòu)體與流場將產(chǎn)生更自由的耦合，從而激發(fā)更寬泛的振動模態(tài)。當(dāng)非線性捕能系統(tǒng)捕能柱擺動幅度增大時，其系統(tǒng)固有頻率能在不同風(fēng)速下隨之增大到與旋渦脫落頻率相匹配，這將有助于增大主頻鎖定的區(qū)間。

3.3 對氣動力參數(shù)的影響

不同捕能系統(tǒng)其升力系數(shù)均方根Cl,rms和時均阻力系數(shù)Cd統(tǒng)計值隨風(fēng)速的變化曲線，如圖8所示。

從圖8可知，3種捕能系統(tǒng)在最大擺動角度所對應(yīng)風(fēng)速下的氣動力參數(shù)均了產(chǎn)生波峰。此時旋渦脫落頻率與系統(tǒng)固有頻率相匹配，結(jié)構(gòu)體與流場強烈耦合，從而增大了柱體的氣動力參數(shù)。

圖8 不同捕能系統(tǒng)氣動力參數(shù)統(tǒng)計值隨風(fēng)速的變化

對具有非線性回復(fù)力的捕能系統(tǒng)，即使其固有頻率隨擺動角度發(fā)生了改變，但也同樣能達到頻率鎖定的強耦合狀態(tài)，但是其氣動升力系數(shù)的波峰有所降低。在具有函數(shù)s3的捕能系統(tǒng)中，當(dāng)風(fēng)速為3.1 m/s時，其柱體的橫向擺動表現(xiàn)為“拍”現(xiàn)象，氣動升力均方根值相比最大擺動角度下降更為明顯。

同時對于遠離頻率鎖定風(fēng)速區(qū)間的“初始分支始端”與“下部分支末端”，回復(fù)力矩的非線性化對捕能系統(tǒng)氣動力參數(shù)的影響逐漸變小。

3.4 對能量捕獲效率的影響

不同捕能系統(tǒng)能量捕獲效率隨風(fēng)速的變化，如圖9所示。

圖9 捕能系統(tǒng)能量捕獲效率隨風(fēng)速的變化

由圖9可知，不同捕能系統(tǒng)能量捕獲效率與氣動升力系數(shù)呈現(xiàn)相應(yīng)的趨勢，峰值能量捕獲效率隨回復(fù)力矩非線性化程度的增加而減小，對應(yīng)的風(fēng)速向前推移。在氣動升力產(chǎn)生“拍”現(xiàn)象時，能量捕獲效率計算值同樣表現(xiàn)出較大幅度的減小。

3.5 渦激擺動尾渦結(jié)構(gòu)場

具有函數(shù)s1的捕能系統(tǒng)在擺幅峰值風(fēng)速下一個擺動周期T的三維RANS湍流模型尾渦結(jié)構(gòu)場，如圖10所示。

從圖10可知，捕能柱向兩側(cè)橫向擺動時產(chǎn)生了較明顯的斜渦脫落，柱體回復(fù)到平衡位置時表現(xiàn)為在流向方向交替渦脫落。

(a) t=T+0.25T

相比柱體渦激平行振動，在擺動運動過程中柱體尾渦脫落受到擺動角度的影響，尾渦結(jié)構(gòu)在柱體高度方向發(fā)生了不同程度的脫落模態(tài)。而渦激平動尾渦脫落模式在柱體高度方向較保持一致，這也可能是導(dǎo)致渦激擺動頻率“鎖定”區(qū)間較窄的一個原因。

4 結(jié) 論

本文基于計算流體動力學(xué)-剛體動力學(xué)耦合的方法，結(jié)合SSTk-ω湍流模型和六自由度動網(wǎng)格技術(shù)，建立了無葉片風(fēng)力機捕能柱的三維渦激擺動模型，對無葉片風(fēng)力機變固有頻率系統(tǒng)進行了理論分析，在對所建擺動模型進行驗證的基礎(chǔ)上，研究了變固有頻率系統(tǒng)對捕能柱渦激擺動特性及能量捕獲效率的影響，得到以下結(jié)論：

(1) 非線性回復(fù)力矩函數(shù)的斜率控制著捕能系統(tǒng)的固有頻率，且回復(fù)力矩非線性化程度越大系統(tǒng)固有頻率的變化速率越快。

(2) 回復(fù)力矩的非線性化程度越大，捕能柱峰值擺幅和能量捕獲效率越小，且對應(yīng)的風(fēng)速向較小雷諾數(shù)方向推移。

(3) 在變固有頻率捕能系統(tǒng)中，捕能柱橫向渦激擺動次頻分量帶寬增加，選擇恰當(dāng)?shù)淖児逃蓄l率系統(tǒng)可增加柱體主頻鎖定區(qū)間和高擺幅區(qū)間。

(4) 捕能柱在渦激擺動過程中，隨高度方向的變化產(chǎn)生不同程度的斜渦脫落，對渦激擺動頻率鎖定具有一定的影響。

本文僅對回復(fù)力矩的非線性程度進行了探討，但影響變固有頻率的因素還有系統(tǒng)阻尼系數(shù)、捕能柱的質(zhì)量等因素，且針對本文內(nèi)容的試驗測試研究均將是本文作者后續(xù)的研究內(nèi)容。