數(shù)列收斂的一個判定定理

杜先云 任秋道

【摘要】本文從新的角度認(rèn)識收斂數(shù)列的漸進(jìn)性，利用數(shù)列各項變化的微小性來判定數(shù)列收斂。獲得數(shù)列收斂的判定方法：有界數(shù)列{xn}收斂的充分條件：？坌？著>0，？堝N∈Z+，當(dāng)n>N時，有|xn-xn-1|<？著;級數(shù)收斂的判定方法：如果級數(shù)an有界，且an=0，則級數(shù)收斂。并且證明了數(shù)列收斂的判定定理與柯西收斂定理等價。

【關(guān)鍵詞】數(shù)列 ?數(shù)列收斂 ?級數(shù)收斂

【基金項目】四川省教育廳基金資助（16ZB0314）。

【中圖分類號】O186.1 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）05-0034-02

1.引入

本文從新的角度去認(rèn)識收斂數(shù)列的漸進(jìn)過程：數(shù)列極限來源于用一系列近似值去逼近問題的精確值[1-2]。容易知道：收斂數(shù)列{xn}從某一項起所有的項在任何精度下都有相同的近似值（實際問題的精確值）[3-4]。我們在中學(xué)學(xué)過等差數(shù)列，公差為零數(shù)列是常數(shù)數(shù)列。如果一個數(shù)列{xn}相鄰兩項的差xn-xn-1（n>2），當(dāng)n無限增大時，無限接近0，它有什么性質(zhì)？本文利用xn-xn-1趨于0來判斷數(shù)列{xn}收斂，給出了數(shù)列收斂的一個判定定理，推廣了數(shù)列單調(diào)收斂準(zhǔn)則，并且證明了這個定理與柯西收斂定理等價。

2.數(shù)列收斂的判定定理

目前定義法是使用最多的判定數(shù)列收斂方法。這個方法首先要知道極限存在，判斷過程抽象，因而該方法本身有不足之處。大學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)榇蟊娊逃螅芏鄬W(xué)生理解能力較低，要理解這個方法就更困難。下面我們給出一個不需要事先知道極限，簡便運算后，便于用描述性定義就能夠直觀判斷數(shù)列是否收斂的方法。

定理1與柯西收斂定理等價，可以作為數(shù)列收斂的判定定理。有些情況，利用定理1證明命題比利用柯西收斂定理更加方便。

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作者簡介：

杜先云（1964-），男，漢族，四川三臺縣人，博士，教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。

任秋道（1965-），男，漢族，四川鹽亭縣人，碩士，教授，研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。