數列收斂的一個判定定理

杜先云 任秋道

【摘要】本文從新的角度認識收斂數列的漸進性，利用數列各項變化的微小性來判定數列收斂。獲得數列收斂的判定方法：有界數列{xn}收斂的充分條件：？坌？著>0，？堝N∈Z+，當n>N時，有|xn-xn-1|<？著;級數收斂的判定方法：如果級數an有界，且an=0，則級數收斂。并且證明了數列收斂的判定定理與柯西收斂定理等價。

【關鍵詞】數列 ?數列收斂 ?級數收斂

【基金項目】四川省教育廳基金資助（16ZB0314）。

【中圖分類號】O186.1 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2021）05-0034-02

1.引入

本文從新的角度去認識收斂數列的漸進過程：數列極限來源于用一系列近似值去逼近問題的精確值[1-2]。容易知道：收斂數列{xn}從某一項起所有的項在任何精度下都有相同的近似值（實際問題的精確值）[3-4]。我們在中學學過等差數列，公差為零數列是常數數列。如果一個數列{xn}相鄰兩項的差xn-xn-1（n>2），當n無限增大時，無限接近0，它有什么性質？本文利用xn-xn-1趨于0來判斷數列{xn}收斂，給出了數列收斂的一個判定定理，推廣了數列單調收斂準則，并且證明了這個定理與柯西收斂定理等價。

2.數列收斂的判定定理

目前定義法是使用最多的判定數列收斂方法。這個方法首先要知道極限存在，判斷過程抽象，因而該方法本身有不足之處。大學轉變為大眾教育后，很多學生理解能力較低，要理解這個方法就更困難。下面我們給出一個不需要事先知道極限，簡便運算后，便于用描述性定義就能夠直觀判斷數列是否收斂的方法。

定理1與柯西收斂定理等價，可以作為數列收斂的判定定理。有些情況，利用定理1證明命題比利用柯西收斂定理更加方便。

參考文獻：

[1]華東師范大學主編.數學分析（第四版）[M].北京：高等教育版社，1983.11： 36-54.

[2]劉玉璉， 傅沛仁. 數學分析講義[M]. 北京：高等教育出版社， 2001.02.

[3]陳紀修.數學分析（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社， 2004.08.

[4]馬雪雅.關于收斂數列定義與幾個等價命題關系的探討[J]. 昌吉學院學報， 2004（2）：112-113.

作者簡介：

杜先云（1964-），男，漢族，四川三臺縣人，博士，教授，研究方向：應用數學。

任秋道（1965-），男，漢族，四川鹽亭縣人，碩士，教授，研究方向：應用數學。