復(fù)雜時(shí)變激勵(lì)下失諧葉盤瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)分析

敬彤，臧朝平,*，張濤，Yevgen Pavlovich PETROV

1. 南京航空航天大學(xué) 能源與動(dòng)力學(xué)院，南京 210016

2. 中國航空發(fā)動(dòng)機(jī)集團(tuán)有限公司 中國燃?xì)鉁u輪研究院，成都 610500

3. 英國薩塞克斯大學(xué)，倫敦 BN1 9RH

葉盤結(jié)構(gòu)，在工作時(shí)受到復(fù)雜的多諧波激勵(lì)，具有密集的共振頻譜，易產(chǎn)生高周疲勞而損傷[1-2]。眾所周知，葉片失諧會(huì)導(dǎo)致葉盤結(jié)構(gòu)的幅值放大效應(yīng)，即失諧葉盤的強(qiáng)迫振動(dòng)幅值高于其諧調(diào)狀態(tài)[3]。在早期，Slater等[4]對(duì)失諧葉盤強(qiáng)迫振動(dòng)問題做了詳細(xì)介紹。其后，Krack等[5]用諧波平衡法計(jì)算了失諧葉盤在周期、穩(wěn)態(tài)激勵(lì)下強(qiáng)迫振動(dòng)和自激振動(dòng)。段勇亮等[6]提出了一種失諧葉盤減縮建模及動(dòng)力響應(yīng)預(yù)測(cè)方法，可以高效精確地預(yù)測(cè)失諧葉盤在諧波激勵(lì)下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。然而，大量的發(fā)動(dòng)機(jī)試車數(shù)據(jù)分析指出，在發(fā)動(dòng)機(jī)的啟動(dòng)和停車過程中，渦輪葉盤亦表現(xiàn)出較為劇烈的振動(dòng)問題。因此，在空間諧波成分復(fù)雜且具有不確定性特征的發(fā)動(dòng)機(jī)階次激勵(lì)，以及變轉(zhuǎn)速服役條件所致時(shí)變激勵(lì)條件下，真實(shí)渦輪葉盤結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)和優(yōu)化，面臨著巨大的挑戰(zhàn)。

Dresig和Fidlin[7]首次通過無阻尼單自由度(SDOF)系統(tǒng)分析了具有時(shí)變頻率成分的復(fù)雜激勵(lì)作用下的瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)預(yù)測(cè)問題。Markert和Seidler[8]利用Faddeeva函數(shù)得到了SDOF系統(tǒng)的瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)解析解。其后，瞬態(tài)響應(yīng)分析方法逐漸拓展應(yīng)用于多自由度葉盤系統(tǒng)。此外，Ayers等[9]提出了一種利用模態(tài)振動(dòng)方程的數(shù)值積分來預(yù)測(cè)高加速度下葉盤瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)的方法。Yasutomo[10]采用模態(tài)疊加法對(duì)葉盤等效彈簧質(zhì)量系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行數(shù)值積分求解，對(duì)經(jīng)過共振區(qū)的失諧葉盤進(jìn)行了瞬態(tài)振動(dòng)分析。Hartung和Hackenberg[11-12]通過數(shù)值仿真預(yù)測(cè)了不同行波掃掠速率和阻尼水平下單葉片瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)幅值，并通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了數(shù)值仿真結(jié)果的正確性。Bonhage等[13-14]提出了一種失諧葉盤瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)的半解析求解方法。數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，失諧葉盤瞬態(tài)振動(dòng)幅值放大因子可能超過穩(wěn)態(tài)振動(dòng)失諧幅值放大因子。Siewert和Stüer[15]基于時(shí)間積分法，將發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速變化的離心力的影響通過添加幾何剛化矩陣和旋轉(zhuǎn)柔度矩陣實(shí)現(xiàn)，對(duì)葉片的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)進(jìn)行了詳細(xì)分析，比較了失諧葉盤的瞬態(tài)振動(dòng)響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)響應(yīng)。

渦輪葉盤結(jié)構(gòu)瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)首先要考慮葉盤結(jié)構(gòu)的氣動(dòng)載荷的確定，發(fā)動(dòng)機(jī)上游導(dǎo)向器葉片或支板的尾流或下游的勢(shì)流擾動(dòng)會(huì)引起高階次激勵(lì)[16-18](High Engine Order excitation, HEO)，這種激勵(lì)通常會(huì)激發(fā)葉盤結(jié)構(gòu)的高節(jié)徑模態(tài)。高階次激勵(lì)的主要諧波成分一般可以根據(jù)葉盤結(jié)構(gòu)前一級(jí)靜子葉片數(shù)目來確定，其實(shí)際激發(fā)的葉盤耦合振動(dòng)模態(tài)與動(dòng)/靜葉柵中的葉片數(shù)有關(guān)。而由航空發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)流動(dòng)對(duì)稱性的損失會(huì)引發(fā)低階次激勵(lì)[19-21](Low Engine Order excitation, LEO)，這在高壓渦輪和低壓渦輪中尤為常見。例如，燃燒器出口流場(chǎng)堵塞，燃燒室出口溫度不均勻變化以及渦輪導(dǎo)向器葉片喉道寬度變化等均可能誘發(fā)形成低階次激勵(lì)。低階次激勵(lì)的主要特征是變化性和不確定性，這給實(shí)驗(yàn)測(cè)試帶來了巨大困難，這也導(dǎo)致低階次激勵(lì)的主要空間諧波成分難以確定。而實(shí)際旋轉(zhuǎn)渦輪葉盤所受氣動(dòng)激勵(lì)是由高階次激勵(lì)和低階次激勵(lì)組合而成的。多級(jí)渦輪上下游導(dǎo)向器產(chǎn)生的高階次激勵(lì)，疊加上具有不確定性本質(zhì)特征的低階次激勵(lì)，使得準(zhǔn)確預(yù)估渦輪葉盤結(jié)構(gòu)在復(fù)雜激勵(lì)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)變得更為困難。

除了氣動(dòng)載荷空間分布的復(fù)雜性外，氣動(dòng)載荷隨時(shí)間變化的復(fù)雜性也是不可避免的。在航空發(fā)動(dòng)機(jī)啟動(dòng)和停車的過程中，隨著轉(zhuǎn)速升高或降低，旋轉(zhuǎn)葉盤結(jié)構(gòu)將承受加速/減速型行波激勵(lì)，其激勵(lì)頻率將隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。加速/減速型行波激勵(lì)頻率的時(shí)變特性取決于發(fā)動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)速控制。這種瞬態(tài)激勵(lì)在旋轉(zhuǎn)渦輪葉盤結(jié)構(gòu)的服役過程中十分常見，但目前仍缺少實(shí)際工況下加速/減速型行波激勵(lì)的實(shí)驗(yàn)測(cè)試或數(shù)值仿真數(shù)據(jù)。

本文提出了在實(shí)際激勵(lì)載荷下預(yù)測(cè)失諧葉盤高保真有限元模型位移響應(yīng)的瞬態(tài)振動(dòng)分析方法。首先，基于傳遞函數(shù)的自由度減縮方法[1]，建立了失諧葉盤結(jié)構(gòu)和諧調(diào)葉盤結(jié)構(gòu)傳遞函數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，并僅選取少量“主節(jié)點(diǎn)”進(jìn)行分析計(jì)算，大幅減少了其他從屬自由度的計(jì)算。其次，考慮復(fù)雜的空間諧波成分和變轉(zhuǎn)速下的氣動(dòng)負(fù)載，用Tyler-Sofrin激勵(lì)模型[22-23]來表示包含HEO和LEO的多諧波激勵(lì)，用3次樣條插值的方法來表示各諧波激勵(lì)頻率和幅值隨葉盤結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)速的變化函數(shù)，同時(shí)考慮轉(zhuǎn)速變化對(duì)葉片的固有頻率和模態(tài)特性的影響。最后，通過推導(dǎo)任意時(shí)變激勵(lì)下失諧葉盤瞬態(tài)響應(yīng)的解析表達(dá)式，以計(jì)算失諧葉盤的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)。以具有170萬自由度以上的渦輪葉盤有限元模型為例，進(jìn)行了分析驗(yàn)證，比較了單諧激勵(lì)和復(fù)雜激勵(lì)下的瞬態(tài)響應(yīng)。并結(jié)合Campbell圖對(duì)葉盤共振的轉(zhuǎn)速區(qū)間和引起共振的激勵(lì)階次成分進(jìn)行分析，研究了不同阻尼條件下，旋轉(zhuǎn)加速度對(duì)失諧葉盤共振響應(yīng)幅值和失諧幅值放大因子的影響。

1 瞬態(tài)響應(yīng)分析方法

復(fù)雜時(shí)變激勵(lì)下失諧葉盤瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)的高效計(jì)算分析，涉及到失諧葉盤的減縮建模、葉片表面復(fù)雜時(shí)變激勵(lì)的描述、具有不確定性的轉(zhuǎn)速變化歷史的數(shù)學(xué)函數(shù)表達(dá)、隨轉(zhuǎn)速變化的固有頻率和振型的描述及瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)的解析表達(dá)式等多方面下文將分別探討。

1.1 失諧葉盤模型減縮方法

受激振力作用的葉盤結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程可以寫成一般形式:

(1)

式中:K=K0+δK,C=C0+δC和M=M0+δM分別是失諧葉盤的剛度矩陣、阻尼矩陣和質(zhì)量矩陣；它們分別被表示成一個(gè)諧調(diào)矩陣(如K0)與一個(gè)失諧攝動(dòng)矩陣(如δK)疊加而成。u(t)是隨時(shí)間變化的葉盤節(jié)點(diǎn)位移離散向量:

u(t)=[u1(t),u2(t), …,uN(t)]T

(2)

其中：N為葉盤結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)總數(shù)。外激勵(lì)矩陣F(t)可以表示為

F(t)=[f1(t),f2(t), …,fN(t)]T

(3)

其中fj(t) (j=1,2,…,N) 是每個(gè)節(jié)點(diǎn)上的激勵(lì)。物理位移則可以通過模態(tài)振型和模態(tài)位移的乘積獲得:

u(t)=Φy(t)

(4)

式中：Φ=[φ1,φ2,…,φNm]為模態(tài)振型；Nm是減縮模型的模態(tài)數(shù)量,y(t)=[y1(t),y2(t),…,yNm(t)]T是模態(tài)位移。

將式(4)代入式(1)并且左乘ΦT，利用振型的正交性和質(zhì)量歸一化，可以得到關(guān)于模態(tài)位移的解耦運(yùn)動(dòng)方程。因此，第m階模態(tài)自由度的受迫響應(yīng)為

(5)

式中：ξm和ωm是m階模態(tài)阻尼和固有頻率；gm(t)是模態(tài)力。

采用參考文獻(xiàn)[6]中提出的方法計(jì)算葉盤結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性，基于循環(huán)對(duì)稱特性，利用調(diào)諧葉盤單個(gè)扇區(qū)的有限元模型計(jì)算整個(gè)調(diào)諧葉盤的模態(tài)特性，用于創(chuàng)建一個(gè)葉盤結(jié)構(gòu)的減縮模型。通過定義特殊的失諧矩陣，模擬實(shí)驗(yàn)測(cè)量的葉片動(dòng)力學(xué)特性，建立葉片失諧模型。根據(jù)這種方法，結(jié)構(gòu)的特征值問題為

(K0+δK)Φ=(M0+δM)ΦΛ

(6)

建立失諧葉盤模態(tài)振型Φ和協(xié)調(diào)葉盤模態(tài)振型Φ0的傳遞函數(shù)：

Φ=Φ0cΦ

(7)

式中:cΦ為傳遞系數(shù)矩陣，將式(7)代入式(6)并左乘ΦT重塑失諧結(jié)構(gòu)的特征值問題，得到：

(Λ0+ΦTδKΦ)cΦ=(I+ΦTδMΦ)cΦΛ

(8)

其中:Λ0為諧調(diào)葉片盤特征值的對(duì)角矩陣。求解這個(gè)方程可得到傳遞系數(shù)矩陣cΦ和失諧結(jié)構(gòu)的特征值Λ，之后利用式(7)可求出失諧葉盤的振型。相比于結(jié)構(gòu)的特征值問題式(6)，重塑后的特征值問題式(8)的求解顯然消耗更少的計(jì)算資源。對(duì)于瞬態(tài)響應(yīng)分析，可通過解析式(5)求解任意時(shí)變載荷下的模態(tài)位移響應(yīng)，再利用這些解和式(4)可計(jì)算出葉片任意節(jié)點(diǎn)處的物理位移響應(yīng)。

1.2 隨時(shí)間變化的模態(tài)力計(jì)算

外激勵(lì)的主要來源是葉盤結(jié)構(gòu)經(jīng)過非均勻流場(chǎng)產(chǎn)生的非定常氣動(dòng)力，該激勵(lì)分布在葉片表面，其力的幅值及分布情況隨轉(zhuǎn)速的變化而變化。Tyler-Sofrin激勵(lì)模型[22-23]可以用來描述外激勵(lì)在柱坐標(biāo)系上的分布。隨時(shí)間變化的外激勵(lì)的一般表達(dá)式則可以寫成如下形式:

(9)

(10)

式中：F(t)為葉盤減縮模型中的所有節(jié)點(diǎn)力，通常可以通過CFD計(jì)算每一時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)力，并將每一時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)力以式(9)的形式表示。然而，通過CFD計(jì)算每一時(shí)刻的節(jié)點(diǎn)力，所需的計(jì)算工作量巨大，這樣計(jì)算外激勵(lì)就需要花費(fèi)大量時(shí)間。因此，本文對(duì)激振力進(jìn)行了適當(dāng)簡化，假設(shè)葉片上的激振力分布隨轉(zhuǎn)速的變化而變化，外激勵(lì)沿周向以傅里葉級(jí)數(shù)展開:

(11)

式中：ω(t)為葉盤轉(zhuǎn)速,在感興趣的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，模態(tài)力可表示為

(12)

k=1,2,…,Nω-1

(13)

1.3 轉(zhuǎn)速變化歷史描述

轉(zhuǎn)速隨時(shí)間的變化歷史是由飛行員在飛行過程中對(duì)燃?xì)廨啓C(jī)的操作決定的。轉(zhuǎn)速在發(fā)動(dòng)機(jī)加速過程中增大，在減速過程中減小。函數(shù)在實(shí)際情況下轉(zhuǎn)速變化是復(fù)雜的，假設(shè)它是已知的并使用分段線性函數(shù)近似，如圖1所示。圖中共NT個(gè)時(shí)間區(qū)間,在第k個(gè)時(shí)間區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi),隨時(shí)間變化的轉(zhuǎn)速可以表示為

圖1 轉(zhuǎn)速隨時(shí)間變化的描述方法Fig.1 Approximation of rotation speed varying with time

ω=ω(tk)+αk(t-tk)

(14)

式中：ω(tk)為時(shí)間tk處的轉(zhuǎn)速；αk為旋轉(zhuǎn)角加速度，在時(shí)間區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi)為常數(shù)。

描述葉盤轉(zhuǎn)動(dòng)引起的激振力相位變化的函數(shù),θ(t),可用如下形式計(jì)算得到：

(15)

式中：θ(tk)為時(shí)間tk處的相位角，可以通過對(duì)t0到tk時(shí)間歷史上的轉(zhuǎn)速進(jìn)行積分獲得：

(16)

1.4 隨轉(zhuǎn)速變化的模態(tài)特性

剛度矩陣包括描述離心力剛化效應(yīng)下的幾何剛化矩陣和由于離心力方向改變影響的旋轉(zhuǎn)軟化矩陣，它隨轉(zhuǎn)速的變化而變化。對(duì)于失諧葉盤的模態(tài)振型φm(ω)和固有頻率ωm(ω)也均與轉(zhuǎn)速有關(guān)。在關(guān)心的轉(zhuǎn)速變化范圍內(nèi)，通過計(jì)算若干轉(zhuǎn)速下葉片的振型和固有頻率，可以確定模態(tài)特性和轉(zhuǎn)速的關(guān)系。

參考轉(zhuǎn)速的個(gè)數(shù)取決于模態(tài)特性對(duì)轉(zhuǎn)速的靈敏度，通常可以選取 2～8個(gè)轉(zhuǎn)速點(diǎn)，使用三次樣條多項(xiàng)式近似描述轉(zhuǎn)速與固有頻率、模態(tài)振型的函數(shù)關(guān)系，從而可計(jì)算出任何轉(zhuǎn)速和時(shí)間下的模態(tài)參數(shù):

ωm(ω(tk)<ω(t)≤ω(tk+1))=

(17)

φm(ω(tk)<ω(t)≤ω(tk+1))=

(18)

圖2 固有頻率隨轉(zhuǎn)速變化的描述方法Fig.2 Approximation of natural frequencies varying with rotation speed

1.5 瞬態(tài)響應(yīng)的計(jì)算方法

運(yùn)用初始條件，受激勵(lì)的單自由度系統(tǒng)的微分方程式(5)在每個(gè)模態(tài)坐標(biāo)下的位移和速度響應(yīng)可以通過杜哈梅積分(Duhamel’s integral)進(jìn)行求解:

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

其中幾個(gè)積分函數(shù)如下所示：

(25)

(26)

在積分求解時(shí)，假定在區(qū)間[tk,tk+1]內(nèi)的轉(zhuǎn)速隨時(shí)間線性變化，并利用式(15)進(jìn)行計(jì)算。此外，在此極小的時(shí)間區(qū)間內(nèi)，假定固有頻率和模態(tài)振型為常數(shù)，并利用式(17)和式(18)給出的三次樣條多項(xiàng)式來計(jì)算。完成對(duì)系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)和模態(tài)力相位的數(shù)學(xué)描述后，可以推導(dǎo)出積分式(25) 和式(26)的解析表達(dá)式:

(27)

(28)

(29)

(30)

其中的一些參數(shù)如下所示:

(31)

(32)

(33)

w(-iz±(tk)))

(34)

(35)

其中:w(x)為Faddeeva函數(shù)[24]，可以表示為

(36)

2 數(shù)值分析與討論

2.1 精度分析

為了評(píng)估本文方法的誤差和合理性，本文以成熟地用于求解非線性常微分方程的Runge-Kutta法作為參考，雖然該方法在計(jì)算大規(guī)模有限元模型時(shí)缺乏經(jīng)濟(jì)性，但在模型規(guī)模較小時(shí)具有精度高和易使用的優(yōu)點(diǎn)。因此，本文采用一個(gè)簡單的2自由度集總質(zhì)量模型來分析新方法的精度，如圖3所示。該結(jié)構(gòu)的質(zhì)量(m1=4和m2=2)和阻尼(c1=0.4和c2=0.2)為不隨時(shí)間變化的常數(shù)，剛度隨轉(zhuǎn)速發(fā)生變化。彈簧k1隨轉(zhuǎn)速升高而減小，用來模擬結(jié)構(gòu)旋轉(zhuǎn)軟化效應(yīng)；彈簧k2隨轉(zhuǎn)速升高而減小，用來模擬結(jié)構(gòu)的應(yīng)力剛化效應(yīng)，如圖4所示。

圖3 2自由度的集總參數(shù)模型Fig.3 Lumped parameter model of 2 degrees of freedom

圖4 隨轉(zhuǎn)速變化的彈簧剛度Fig.4 Spring stiffness varying with rotational speed

首先，分別在轉(zhuǎn)速為0、2.5 r/s，5 r/s，7.5 r/s和10 r/s共計(jì)5處計(jì)算系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)，利用三次樣條函數(shù)來描述轉(zhuǎn)速對(duì)頻率和振型的影響。其次，在質(zhì)量m2上施加頻率為2倍轉(zhuǎn)速的加速行波激勵(lì)。最后，使用本文提出的新方法求解2自由度系統(tǒng)的瞬態(tài)位移響應(yīng)，并與相同外激勵(lì)下Runge-Kutta法計(jì)算的瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示。局部放大觀察發(fā)現(xiàn)，新方法的響應(yīng)計(jì)算結(jié)果與Runge-Kutta法的計(jì)算結(jié)果基本相同。它們之間的相對(duì)誤差，最大誤差不超過0.14%，如圖6所示。

圖5 兩種方法下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.5 Transient responses in both methods

圖6 兩種方法下瞬態(tài)響應(yīng)的相對(duì)誤差Fig.6 Relative error of transient responses in both methods

在新方法中使用三次樣條近似是誤差的主要來源，尤其是為了減少模態(tài)分析的次數(shù)在較大的轉(zhuǎn)速區(qū)間只使用5個(gè)轉(zhuǎn)速點(diǎn)的模態(tài)參數(shù)來擬合時(shí)變的模態(tài)參數(shù)。取點(diǎn)不足導(dǎo)致較大誤差，采用更多的點(diǎn)來構(gòu)建三次樣條函數(shù)可以提高該方法的精度。計(jì)算不同插值點(diǎn)數(shù)目下新方法與Runge-Kutta法的相對(duì)誤差，如圖7所示。結(jié)果表明，隨著插值點(diǎn)數(shù)目從5個(gè)增加到2 000個(gè)，響應(yīng)計(jì)算誤差從0.14%減小至10-6%。因此，可以根據(jù)使用者對(duì)精度和經(jīng)濟(jì)性的需求來選擇插值點(diǎn)的數(shù)目。

圖7 相對(duì)誤差隨插值點(diǎn)數(shù)目的變化Fig.7 Relative error varying with purpose of interpolation points

2.2 渦輪葉盤

本文的計(jì)算模型為有86個(gè)葉片的某渦輪葉盤，其有限元模型如圖8所示，圖8(a)為葉盤整體模型，圖8(b)為單個(gè)扇區(qū)模型。以10節(jié)點(diǎn)187單元?jiǎng)澐志W(wǎng)格，單個(gè)葉片共56 982個(gè)節(jié)點(diǎn)、31 062個(gè)單元。葉盤材料彈性模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3。在數(shù)值分析中，假設(shè)葉片根部與盤之間固支連接，失諧葉盤的結(jié)構(gòu)和氣動(dòng)能量耗散效應(yīng)使用模態(tài)阻尼比來表征，模態(tài)阻尼比假設(shè)默認(rèn)為0.001，如果使用其他阻尼因子值(例如0.003和0.01)，則在文中指出。

圖8 渦輪葉盤Fig.8 Turbine bladed disk analysed

首先，基于諧調(diào)葉盤的循環(huán)對(duì)稱特性，通過單個(gè)扇區(qū)的有限元模型得到諧調(diào)葉盤的固有頻率和相對(duì)應(yīng)的模態(tài)振型，諧調(diào)葉盤的固有頻率與節(jié)徑的關(guān)系如圖9所示。考慮葉盤不同節(jié)徑下的前10階固有模態(tài)，葉盤的節(jié)徑從0變化到43，計(jì)算了葉片前860個(gè)固有頻率和振型，并用于瞬態(tài)力響應(yīng)分析。根據(jù)模態(tài)特性與轉(zhuǎn)速的關(guān)系，對(duì)均勻分布在0～200 r/s頻率范圍內(nèi)的5種轉(zhuǎn)速進(jìn)行模態(tài)分析。為了不顯著增加計(jì)算消耗，著重計(jì)算葉片尖端的瞬態(tài)位移。

圖9 調(diào)諧葉盤的固有頻率Fig.9 Natural frequencies of tuned bladed disk

其次，將分布在葉片表面的質(zhì)量附加到葉片上，使單個(gè)葉片一階固有頻率在±5%范圍內(nèi)發(fā)生偏移，從而模擬葉片的失諧。用于模擬葉片表面的失諧質(zhì)量節(jié)點(diǎn)均勻分布在葉片表面的所有節(jié)點(diǎn)上。失諧排布采用隨機(jī)形式，使葉盤所有葉片發(fā)生不同程度的頻率偏移，如圖10所示。

圖10 隨機(jī)產(chǎn)生的葉片失諧排布形式Fig.10 Randomly generated blade mistuning pattern

2.3 復(fù)雜激勵(lì)

葉盤結(jié)構(gòu)葉片上真實(shí)且復(fù)雜的非定常氣動(dòng)載荷的分布，采用參考文獻(xiàn)[21]中的氣體流動(dòng)計(jì)算數(shù)據(jù)進(jìn)行模擬，為了方便描述葉片表面氣動(dòng)載荷沿葉型分布的函數(shù)，根據(jù)不同弦長和葉高上的位置建立坐標(biāo)系，如圖11所示。

圖11 葉片表面不同弦長和葉高上的位置Fig.11 Positions on different chords and spans of blade surface

不同葉高處的表面壓力幅值沿葉型弦長方向變化實(shí)例如圖12所示。3個(gè)不同葉高的例子在圖中展示，它們分別是30%葉高處，50%葉高處和80%葉高處。用三次樣條擬合來描述這種壓力幅值的變化。

圖12 葉片表面不同弦長和葉高上的非定常激振力分布Fig.12 Unsteady excitation force distribution on different chords and spans of blade surface

在不同的葉高位于弦長20%處選取的3個(gè)節(jié)點(diǎn)。葉盤旋轉(zhuǎn)一周，3個(gè)節(jié)點(diǎn)上隨所承受的氣動(dòng)載荷如圖13(a)所示。不同節(jié)點(diǎn)上的氣動(dòng)載荷都有所不同，這些載荷的諧波組成如圖13(b)所示。在葉盤前方靜子葉柵數(shù)量為24時(shí)，高階次激勵(lì)(HEO)包含：24EO、48EO、72EO、96EO、120 EO、144 EO、168 EO和192 EO等，分別是是轉(zhuǎn)子葉盤前方靜子葉片擾動(dòng)產(chǎn)生的1～8階諧波。低階次激勵(lì)(LEO)包含：2EO、4EO、6EO、8EO和10EO，它們通常是由一些不確定因素產(chǎn)生。基于Tyler-Sofrin模型，將葉片表面上每一個(gè)節(jié)點(diǎn)的激勵(lì)都表示為多個(gè)幅值隨空間坐標(biāo)和時(shí)間變化的加速/減速行波激勵(lì)的線性疊加。之后，將節(jié)點(diǎn)力轉(zhuǎn)化為模態(tài)力施加在減縮模型上進(jìn)行計(jì)算。

圖13 分葉片表面單節(jié)點(diǎn)(1,2,3)非定常激勵(lì)力Fig.13 Unsteady excitation force on one node (1, 2, 3) of blade surface

2.4 共振轉(zhuǎn)速的確定

考慮轉(zhuǎn)速對(duì)固有頻率的影響，共振頻率是根據(jù)Campbell圖確定的。圖14(a)給出了0到200 r/s 的轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)，24節(jié)徑振型模態(tài)族的固有頻率隨轉(zhuǎn)速的變化的Campbell圖。本文重點(diǎn)研究45 r/s到70 r/s轉(zhuǎn)速范圍內(nèi)的共振點(diǎn)，同時(shí)此范圍將被用于瞬態(tài)響應(yīng)分析。可以看到在轉(zhuǎn)速范圍45～70 r/s內(nèi)有一個(gè)共振點(diǎn)由24EO激發(fā)，該模態(tài)為24節(jié)徑模態(tài)族的第1階模態(tài)。圖14(b)展示了38節(jié)徑模態(tài)族的固有頻率，給定的激勵(lì)階次中只有48EO能激起該節(jié)徑模態(tài)，如圖所示在轉(zhuǎn)速范圍45～70 r/s內(nèi)一個(gè)共振點(diǎn)被激發(fā)(第4階模態(tài))。圖14 (c)展示的則是10節(jié)徑振型模態(tài)族的固有頻率，給定的激勵(lì)階次中只有10EO和96EO能激起該節(jié)徑模態(tài)，其中96EO激發(fā)一個(gè)共振點(diǎn)(第4階模態(tài))，而10EO沒有激發(fā)共振。

圖14 轉(zhuǎn)速對(duì)固有頻率和共振的影響Fig.14 Effect of rotation speed on natural frequencies and resonances

2.5 簡諧和復(fù)雜激勵(lì)下的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)

各諧波單獨(dú)激勵(lì)和整體復(fù)雜激勵(lì)下的諧調(diào)葉盤瞬態(tài)響應(yīng)如圖15 (a)所示。此時(shí)阻尼比為0.001，旋轉(zhuǎn)加速度為1 r/s2。通過調(diào)諧葉片圓盤

圖15 旋轉(zhuǎn)加速度1 r/s2下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.15 Transient responses under rotation speed acceleration 1 r/s2

穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)最大振幅值，對(duì)葉盤響應(yīng)振幅進(jìn)行歸一化。由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達(dá)到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.6，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.08)和96EO激起的第4模態(tài)(0.02)。對(duì)于相同激勵(lì)條件下的失諧如圖15 (b)所示，由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達(dá)到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為1，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.1)和96EO激起的第4模態(tài)(0.03)。

轉(zhuǎn)速加速度10 r/s2時(shí)的瞬態(tài)響應(yīng)如圖16 (a)所示。由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達(dá)到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.3，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.03)和96EO激起的第4模態(tài)(0.01)。對(duì)于相同激勵(lì)條件下的失諧如圖16 (b)所示，由24EO激發(fā)的第1模態(tài)的共振峰達(dá)到最高響應(yīng)水平，其歸一化幅值約為0.4，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于由48EO激發(fā)的第2模態(tài)(0.06)和96EO激起的第4模態(tài)(0.02)。

圖16 旋轉(zhuǎn)加速度10 r/s2下的瞬態(tài)響應(yīng)Fig.16 Transient responses under rotation speed acceleration 10 r/s2

2.6 阻尼和旋轉(zhuǎn)加速度對(duì)瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)的影響

考慮阻尼比值分別為0.001、0.003和0.01，旋轉(zhuǎn)加速度分別為1 r/s2和10 r/s2時(shí)，對(duì)葉盤結(jié)構(gòu)瞬態(tài)響應(yīng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，并與穩(wěn)態(tài)振動(dòng)情況下的響應(yīng)進(jìn)行了比較。當(dāng)阻尼比取0.001時(shí)，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的對(duì)比如圖17(a)所示。諧調(diào)葉盤的穩(wěn)態(tài)振動(dòng)的歸一化振幅為1，對(duì)葉盤響應(yīng)振幅歸一化后可以看出，隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅明顯減小為0.25。最大瞬態(tài)響應(yīng)所在的轉(zhuǎn)速相較于穩(wěn)態(tài)最大響應(yīng)從53 r/s 偏移至54 r/s。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖17(b)所示。當(dāng)阻尼比取0.003時(shí)，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的對(duì)比如圖18(a)所示。隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅相對(duì)于穩(wěn)態(tài)振幅減小為0.6。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖18(b)所示。當(dāng)阻尼比提高到0.01，諧調(diào)葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖19(a)所示。隨著旋轉(zhuǎn)加速度增加到10 r/s2，歸一化瞬態(tài)振幅僅僅減小10%。失諧葉盤的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)如圖19(b)所示。

圖17 阻尼比0.001下的歸一化振幅Fig.17 Normalized amplitude with damping ratio of 0.001

圖18 阻尼比0.003下歸一化振幅Fig.18 Normalized amplitude with damping ratio of 0.003

圖19 阻尼比0.01下歸一化振幅Fig.19 Normalized amplitude with damping ratio of 0.01

圖20比較了不同阻尼下，大范圍旋轉(zhuǎn)加速度對(duì)瞬態(tài)響應(yīng)幅值的影響。可以看到當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度小于某一數(shù)值時(shí)，瞬態(tài)響應(yīng)接近于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，超過這一數(shù)值到更高的加速度過程中，歸一化振幅則顯著減小。阻尼比為0.001時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從0.03 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅從1.27減小到0.4，降低了68%左右。

圖20 在轉(zhuǎn)速范圍為46 r/s到60 r/s的高轉(zhuǎn)速下歸一化最大振幅Fig.20 Normalized maximum amplitudes in high rotation speed in rotation speed range from 46 r/s to 60 r/s

阻尼比為0.003時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從0.3 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅從1.4減小到0.9。阻尼比為0.01時(shí)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)加速度從3 r/s2增加到10 r/s2過程中，失諧葉盤的歸一化振幅僅從1.6減小到1.5。在低阻尼的情況下，歸一化振幅隨轉(zhuǎn)速加速度的增大而減小更為顯著。

失諧振幅放大因子，即失諧葉盤與諧調(diào)葉盤的最大振幅的比值，隨旋轉(zhuǎn)加速度的變化如圖21所示。引入瞬態(tài)振幅放大因子與穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析中常使用的放大因子做類比，用于研究不同瞬態(tài)條件對(duì)失諧葉盤振動(dòng)特性的影響。可以觀察到，葉盤的失諧幅值放大因子在瞬態(tài)條件下大于穩(wěn)態(tài)條件下。在阻尼比為0.001時(shí)，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達(dá)到1.67，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.28，增幅超過30%。阻尼比增大為0.003時(shí)，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達(dá)到1.58，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.41，增幅超過12%。阻尼比最大取0.01時(shí)，瞬態(tài)振幅放大因子最大值達(dá)到1.65，而穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為1.60，增幅僅為3%。

圖21 轉(zhuǎn)速范圍為46 r/s～60 r/s的瞬態(tài)振幅放大系數(shù)Fig.21 Transient amplitude amplification factor in rotation speed range from 46 r/s to 60 r/s

3 結(jié) 論

本文提出了一種高效的失諧葉盤瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)分析方法。針對(duì)實(shí)際工業(yè)尺寸的葉盤高保真有限元模型，通過葉盤的模型減縮，極大地減少了自由度數(shù)目，同時(shí)可精確地描述失諧葉盤結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性；采用Tyler-Sofrin激勵(lì)模型和三次樣條近似方法，用簡單的數(shù)學(xué)函數(shù)描述了葉盤變轉(zhuǎn)速工況條件下分布在葉片表面節(jié)點(diǎn)上的氣動(dòng)激勵(lì)和模態(tài)特性；將失諧葉盤位移響應(yīng)在模態(tài)坐標(biāo)下的展開，推導(dǎo)出任意時(shí)變激勵(lì)下失諧葉盤的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)解析式，從而，避免了耗時(shí)的積分運(yùn)算，大幅提高了響應(yīng)預(yù)測(cè)的效率。

以某86個(gè)葉片的渦輪葉盤為例，通過共振分析確定了葉盤共振的轉(zhuǎn)速區(qū)間和引起共振的激勵(lì)階次成分。分別計(jì)算了葉盤加速旋轉(zhuǎn)時(shí)，單諧波激勵(lì)和復(fù)雜多諧波激勵(lì)下諧調(diào)和失諧渦輪葉盤的瞬態(tài)響應(yīng)。對(duì)比分析發(fā)現(xiàn)，復(fù)雜激勵(lì)中引起共振峰的激勵(lì)階次成分與共振分析的結(jié)果一致。

計(jì)算了不同阻尼條件下的葉盤結(jié)構(gòu)在不同旋轉(zhuǎn)加速度下的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)。分析了穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)和不同旋轉(zhuǎn)加速度下失諧葉盤響應(yīng)幅值放大因子的變化。結(jié)果表明，相同阻尼條件下，失諧葉盤的瞬態(tài)強(qiáng)迫響應(yīng)幅值隨旋轉(zhuǎn)加速度升高而降低最多可達(dá)68%，但同時(shí)其失諧幅值放大因子隨旋轉(zhuǎn)加速度升高而增加，增幅超過30%。