威布爾型通用件配置方案評估及優化

徐立，阮旻智，李華，周亮

1. 海軍工程大學 兵器工程學院， 武漢 430033

2. 海軍工程大學 艦船與海洋學院， 武漢 430033

3. 海軍工程大學 艦船綜合電力技術國防科技重點實驗室, 武漢 430033

航空、航天裝備保障活動十分復雜，備件保障能力是影響裝備保障效果的關鍵因素之一。通用件是在不同類型或同類型不同規格的裝備中具有互換性的零部件單元[1]。通用件的使用不僅可縮短新產品設計開發周期，減少專用件的數量，簡化生產制造過程，還可降低供應商提前期的不確定性，提高保障效率。通用件逐漸成為裝備制造與保障領域發展的重點。與此同時，由于通用件使用范圍廣、頻率高，與專用件相比，其短缺會帶來更大范圍的影響[2]。在通用件中，機械類部件如滾珠軸承、繼電器、陀螺、電動機、航空發電機、齒輪等[3-4]部件壽命服從威布爾分布，應用廣泛、需求量大。威布爾型通用件的保障效能——備件滿足率能否滿足裝備保障需求是保障部門關注的重點和難點之一。

備件配置問題長期受到國內外學者的關注，提出了多種備件需求預測方法。一類是基于備件消耗的單項備件預測方法，該方法應用更新過程理論得到不同分布類型部件的平均備件需求量模型[5]，提出了基于需求的多分布類型備件預測方法[6-8]，但是這些模型形式較為復雜，難以通過解析計算得到封閉解，運用較為困難；另一方面，從備件保障效能出發，研究了多種備件配置評估優化模型[9-10]，反映備件配置對裝備保障效能的影響。在裝備實際保障過程中，備件配置方案根據裝備任務特點，通常選用滿足率作為制定備件配置方案的度量指標。文獻[3]針對裝備保障過程需求，給出了備件滿足率的統計定義。程海龍等[11]在備件供應規劃中分析備件滿足率與備件短缺量的數學含義和物理意義，針對部件壽命分布服從指數分布的情況，在METRIC模型尋優方法基礎上，考慮費用的影響，對比驗證備件滿足率和備件短缺量的適用范圍。張志華等[12]針對備件滿足率只有統計定義的問題，研究了單備件滿足率和串聯系統備件滿足率的概率性質，給出了概率模型。Sapna[13]以排隊論方法為基礎，在系統趨于穩態時，得到系統不缺備件的概率。這些模型的求解以解析方法的形式給出，當系統備件種類多、數量大時難以通過解析方式給出備件配置方案與備件滿足率之間的對應關系。在開展非指數部件的備件需求預測時，由于非指數分布部件保障效能計算過程較為復雜，一般采用等效思想將非指數分布部件的壽命等效為指數分布，以此來降低計算難度，提高計算效率。邵松世等[14]通過貝葉斯理論將有壽件的壽命等效為正態分布，提出了一種基于正態等效的有壽件備件方案確定方法。劉任洋等[15]通過可靠度等效方法將系統中的非指數單元轉化為指數單元，將多指數單元表決系統等效為伽瑪系統給出備件需求量解析方法。Perez和Montoro[16]提出一種新的分布位相型分布來替代其他分布，并采用馬爾科夫到達過程預測備件需求。由于通用件使用范圍廣，裝機數量多，在開展備件庫存配置時有其特殊需求。Baker[17]研究了通用件策略對于安全庫存水平的影響，獨立于傳統的Zσ原則給出了通用件儲存策略。Gerchak和Henig[18]在多產品多零部件環境下，考慮產品需求服從一般分布，建立了多周期庫存模型。Ma等[19]研究了多產品、多周期、多級裝配、隨機需求的通用件問題，考慮了通用件成本結構、補貨提前期和裝配時間等因素。Sengupta和Shun[20]綜合部件通用性和供應鏈決策，給出了通用件收益評估方法。Deza等[21]介紹了一種根據部件通用程度進行庫存控制的方法。

綜合以上文獻可知，在威布爾通用備件配置方案評估及優化方面存在以下3個方面的不足：① 備件滿足率只有統計方面的定義，難以建立起威布爾通用備件保障能力評估指標與裝備數量、使用情況及備件配置數量的聯系；② 理論上計算備件數量為k時的備件滿足率涉及單元壽命分布函數的k重卷積計算。而威布爾分布的k重卷積解析式較為復雜，難以推導得出該解析式，實際計算較為繁瑣；③ 進行裝備通用備件的需求量計算時，通常采用分別計算各裝備的備件需求量，再將備件數量之和作為總的備件需求量的方法。這種計算方法容易造成通用備件的過度采購，引起資源浪費。本文針對威布爾通用備件保障能力評估及配置方案優化問題，采用等效原理，將威布爾型部件消耗過程等效為伽瑪沖擊過程，建立威布爾型通用備件滿足率評估模型，并在備件滿足率指標約束下，開展威布爾通用備件的配置方案優化。通過仿真對比驗證本文所建模型及方法的計算精度和適用范圍。為裝備保障部門開展威布爾型通用備件配置方案評估與優化提供理論支撐和決策支持。

1 問題描述及模型假設

1.1 保障過程描述

假設某威布爾型通用件分別在N臺裝備中使用，已知該通用件在裝備n中每年計劃工作時間為Tn,1≤n≤N，當該通用件發生故障時，采用換件維修的方式排除故障。由于各裝備工作時間的差異，裝備n對通用件j會產生不同的備件需求，記為λjn，裝備備件需求關系如圖1所示。現在備件倉庫需配置該通用件數年的備件，備件數量記為s。在整個觀察周期內，備件數量能夠滿足各裝備的備件需求的概率稱為備件滿足率。通常裝備保障部門會對備件滿足率設置指標要求，要求其不得低于門限值P0，要達到精確化保障的目的，需在已知裝備工作計劃的前提下，合理配置備件數量，以求在觀測周期內，備件滿足率不低于相關指標要求。

圖1 通用件需求示意圖Fig.1 Sketch map of demand for component commonality

1.2 模型假設

一般情況下，為使裝備盡快投入使用，降低裝備現場維修時間，裝備使用現場通常對故障部件進行換件維修。另一方面，裝備的部分通用件維修效益較低，不具備維修價值。除此之外，在裝備批次采購部件之間的時間間隔內，開展臨時訂貨周期較長。因此，為了研究的方便，本文在進行建模和優化時做如下假設：① 觀測周期內不考慮通用件的補給；② 裝備部件發生故障僅進行換件維修；③ 更換后的故障部件不進行修理。

2 威布爾型通用件備件滿足率模型

2.1 等效原理

對于部件壽命X服從形狀參數為m,特征壽命為η的威布爾分布，記作X～W(m,η)，則可得其平均壽命為

(1)

方差為

(2)

式中:Γ(·)表示Gamma函數。

根據等效的原則，若需威布爾分布X～W(m,η)等效為伽瑪分布X′～Ga(α,λ)，則需二者的平均壽命與方差相等。伽瑪分布其均值為

(3)

方差為

(4)

聯立方程式(1)、式(2)、式(3)、式(4)可得

(5)

2.2 威布爾型通用備件滿足率模型

對于單個伽瑪型部件，若其壽命X～Ga(α,λ),工作時間為Ti，則其在工作時間內發生故障的概率為

(6)

在可靠性理論中，部件壽命服從伽瑪分布可用沖擊模型進行解釋。假若產品能經受若干次外界沖擊，但當產品受沖擊次數累積到α次時就產生失效。此時，產品壽命T就是第α次沖擊來到的時間[22]。根據伽瑪分布的沖擊理論，若某部件i，其備件配置數量為si,則在任務期間Ti內，在故障率為λ保持不變的情況下，若單個部件受α次沖擊導致故障，相應的，在有si個備件時，其不能承受α(si+1)次沖擊的概率為

(7)

當si=0時，表示對部件i不配置備件。

則備件配置數量為恰能夠滿足裝備需求的概率密度函數為

f(si,Ti)=F(si-1,Ti)-F(si,Ti)

(8)

即為

(9)

當si=0時，表示對部件i不配置備件恰能滿足裝備備件需求的概率。

根據卷積性質，設W與Y為2個相互獨立的隨機變量，其密度函數分別為pW(w)和pY(y)，則其和Z=W+Y的密度函數為

若對于裝備1中部件i，任務時間為T1時，需si1備件滿足其正常運轉；若對于裝備2中部件i，任務時間為T2時，需si2備件滿足其正常運轉；如此類推，對于裝備n中部件i，任務時間Tn，需sin備件滿足其正常運轉。T1至Tn分別表示在觀測期內，裝備1到n的計劃工作時間，相互獨立。則在一定觀測期內，對于不同任務時間、不同裝備，當備件總量為si時，恰能滿足裝備備件需求的概率為

f(si)=f(si1,Ti)*f(si2,Ti)*…*f(sin,Tn)

(10)

式中：“*”號表示卷積，si=si1+si2+…+sin，若si=0，則表示對于裝備1至n均不配置備件時，恰能滿足裝備備件需求的概率。

則對于裝備1到n，配備備件數量為si(si可為0)時，滿足這些裝備備件需求的備件滿足率為

(11)

3 備件配置方案優化方法

備件配置優化采取逐步優化的方法開展，設置滿足率門限值P0。

步驟1初始化備件庫存，令si=0;若部件i壽命服從X～W(m,η)的威布爾分布，根據公式(5)，將其等效為X～Ga(α,λ)的伽瑪分布，求取等效后的α和λ。

步驟2根據式(9)、式(10)、式(11)求取各觀測時間內，裝備在總的備件配置數量為si時的備件滿足率Pm。

步驟3若Pm≥P0,則輸出此時的備件配置方案，即為所求；否則，令si=si+1；轉步驟 2，繼續開展相關迭代，直至Pm≥P0輸出最終優化后的備件配置方案。

4 仿真算法設計與分析

在裝備數量為N，部件壽命服從威布爾分布，參數為m,η，各裝備任務時間T=[T1,T2,…,TN]確認之后，開始仿真，所有部件按照分布規律產生故障。每次故障后，判斷故障發生時機是否在任務時間范圍內。若是在任務時間范圍之外，則認為不需要備件；若是在任務時間范圍內部件發生故障，則產生一次備件需求，此時若有備件，則備件滿足，同時備件庫存量減1，若無備件，則備件滿足失敗。如此，直到各裝備的任務時間均達到觀測周期內的計劃時間，判斷本次仿真備件數量是否滿足需求，如此直至simN次仿真結束，統計成功滿足備件需求的總次數M，仿真過程見圖2。當實驗次數足夠大時，根據大數定律，兩者之比即可作為備件滿足率的近似值，即為

圖2 仿真流程圖Fig.2 Simulation flow chart

(12)

5 算例分析

5.1 仿真分析

選取威布爾型各部件壽命分布參數如表1所示。

表1 各部件壽命分布參數Table 1 Life distribution parameters of each component

假設裝備在觀測周期內的工作時間為400 h，取本文方法、仿真方法和文獻[23]中近似法進行對比，求得數值分別對應圖3至圖8中解析值、仿真值和近似法對應的曲線，對比情況如圖3至圖8 所示。

圖3 方案1不同方法滿足率對比情況Fig.3 Comparison of spare parts fill rates of Component 1 by different methods

圖4 方案2不同方法滿足率對比情況Fig.4 Comparison of spare parts fill rates of Component 2 by different methods

圖5 方案3不同方法滿足率對比情況Fig.5 Comparison of spare parts fill rates of Component 3 by different methods

圖6 方案4不同方法滿足率對比情況Fig.6 Comparison of spare parts fill rates of Component 4 by different methods

圖7 方案5不同方法滿足率對比情況Fig.7 Comparison of spare parts fill rates of Component 5 by different methods

圖8 方案6不同方法滿足率對比情況Fig.8 Comparison of spare parts fill rates of Component 6 by different methods

由圖3至圖8可知，對于不同壽命分布的威布爾型部件，本文方法求得的備件滿足率與仿真結果基本吻合。文獻[23]所示方法在威布爾型部件壽命形狀參數與特征壽命值之比較小時計算得到的備件滿足率與仿真結果較為一致，但誤差仍大于本文方法，如圖3,圖6,圖7,圖8所示；當形狀參數與特征壽命比值較大時，計算得到的備件滿足率與仿真結果誤差較大，如圖4和圖5所示。

當各裝備工作時間不同時，傳統方法難以開展備件滿足率相關運算，而本文方法仍具有較強的適用性。假設有5臺裝備的威布爾型通用件壽命參數如表1所示。在觀測期內的工作時間分別為400、500、300、600、800 h。

針對不同壽命分布部件，采用本文所建模型計算威布爾型通用部件的備件滿足率隨備件數量的變化情況，并與仿真值進行對比，計算結果如圖9 至圖14所示，觀察對比圖形可知，對于不同壽命分布的威布爾型通用備件和不同的備件配置數量，本文所建模型均具有較高的評估精度，可為后續開展通用備件配置方案優化打下良好基礎。

圖9 方案1備件滿足率對比情況Fig.9 Comparison of spare parts fill rates of Component 1

圖10 方案2備件滿足率對比情況Fig.10 Comparison of spare parts fill rates of Component 2

圖11 方案3備件滿足率對比情況Fig.11 Comparison of spare parts fill rates of Component 3

圖12 方案4備件滿足率對比情況Fig.12 Comparison of spare parts fill rates of Component 4

圖13 方案5備件滿足率對比情況Fig.13 Comparison of spare parts fill rates of Component 5

圖14 方案6備件滿足率對比情況Fig.14 Comparison of spare parts fill rates of Component 6

5.2 算例分析

假設5臺不同類型的裝備中都裝備有某同一類型通用件，已知該通用件的壽命服從威布爾分布W(240,2.3),根據裝備年工作計劃，5臺裝備每年的工作時間分別為400、500、300、600、800 h，某倉庫現欲確定該通用件2年的用量，使其備件滿足率不低于0.9。

根據第2節描述的威布爾部件備件滿足率求解方法與第3節所提備件優化方法求解備件的配置數量，與此同時對備件配置情況進行仿真評估，在備件配置數量的迭代過程中，文中備件滿足率計算所得結果與仿真評估結果基本相同，具體對比如表2所示。由該表可知，本文解析方法在備件配置數量較低時，備件滿足率較低，二者相差較大，當備件滿足率在0.1以下時，二者誤差在10%以上，這是由于備件滿足率較低時，若此時計算誤差比值，分母即仿真值較小，解析值與仿真值之間的誤差值對蒙特卡洛仿真值的波動較為敏感，輕微的波動即會帶來誤差比值的變化，體現出誤差較大；隨著備件配置數量的增加，裝備備件滿足率逐漸升高，此時解析方法計算得到的備件滿足率與仿真評估結果基本一致，尤其是在備件配置數量達到21個以上時，二者誤差基本可以忽略不計。而在實際進行備件配置時，備件滿足率較低的方案通常不會采納，僅會考慮備件滿足率在門限值附近或以上的備件配置方案，此時，本文所提方法精度較高，結果可信。

表2 迭代過程中備件滿足率計算結果對比

如果在備件滿足率指標為0.9的前提下，分別計算各裝備獨立的備件需求,可得其備件配置數量如表3所示。

將表2和表3數據對比可知，若單獨考慮各裝備的備件需求而不進行統一考慮時，所需備件數量為每個裝備所需備件數量之和為30個；若將各裝備作為一個整體，考慮其總的備件滿足率，備件數量為26個，這與備件配置過程中的“集聚效應”相一致。也能體現出集中采購通用件在節省備件購置費用的優勢。

表3 單個裝備備件需求量計算結果

對于不同壽命分布的威布爾型部件，壽命分布如表4所示。5臺裝備每年計劃工作時間分別為400、500、300、600、800 h，倉庫現需儲存其2年的用量，欲使其備件滿足率不低于0.9。采用本文所提方法與仿真方法對比情況如表4所示。

由表4可知，對于不同壽命分布的威布爾通用件，本文備件優化配置方法均具有較強的適用性，計算精度較高，可采用該方法作為工程計算威布爾型部件備件配置數量的方法。

表4 不同壽命分布部件備件優化配置結果對比

6 結 論

1) 針對威布爾型通用件備件滿足率評估問題，采用壽命等效原理，將威布爾型備件消耗過程轉換為伽瑪沖擊過程，建立了威布爾型通用備件的滿足率評估模型。通過仿真對比分析，本文所建模型對于不同壽命分布的威布爾型通用備件配置方案，均能夠準確評估其備件滿足率。

2) 在備件滿足率指標約束下，給出了備件配置方案優化方法。在備件方案迭代優化過程中，在裝備保障部門關注的高備件滿足率指標范圍內，各備件配置方案所對應的備件滿足率均能與仿真值較好貼合，優化后的備件配置方案能夠有效滿足裝備備件需求。整體考慮通用備件的配置情況能夠利用備件“集聚效應”減少通用件配置總量，提高備件配置效率。本文威布爾型通用備件配置方案評估及優化方法能夠為保障部門評估威布爾型通用備件配置效果，制定配置方案提供決策支持和理論支撐。