單磁耦合式壓電振動俘能器的建模與試驗

張忠華 柴君凌 闞君武 林仕杰 王淑云 黃樂帥

1.浙江師范大學精密機械與智能結構研究所，金華，3210042.浙江省城市軌道交通智能運維技術與裝備重點實驗室，金華，321004

0 引言

為滿足無線傳感設備、環境監測系統及定位裝置等微功率設備的自供電需求，減少廢棄化學電池帶來的環境污染問題，秉持可持續發展的理念，基于電磁、靜電及壓電等原理的微型俘能器研究已成為國內外的熱點[1-4]。其中壓電振動俘能器具有結構簡單、易微小化、輸出能量密度大以及不易受天氣影響等優勢，故其適用范圍更廣，研究價值更高。懸臂梁式壓電振動俘能器[5-10]因其結構簡單而被廣泛采用，但在實際環境中其振動頻率及振幅變化范圍大、不穩定，當激勵頻率遠離壓電振子固有頻率時不宜被有效激勵且振幅過大時易造成壓電振子損毀，因此提高俘能器的頻率適應性、有效帶寬以及可靠性是提高其實用性的前提[11]。

目前，用來提高俘能器頻率適應性及頻帶寬度的方式主要分為三類：①預加軸向力式[12]，在簡支梁兩端施加軸向預壓力，可實現俘能器在單、雙穩態間切換從而拓寬頻帶，其主要弊端是需要增加額外的機械配件；②撞擊式[13]，通過設置剛性或彈性擋塊使俘能器具有多段剛度，從而實現拓頻，但會產生較大的噪聲，且撞擊易使裝置損壞；③磁耦合式[14-16]，引入磁力使系統具有兩個或多個穩態，使其在較寬頻帶下更易實現大幅阱間振動，可有效提高環境適應性，但現有的磁耦合式壓電振動俘能器結構中的壓電陶瓷都被直接粘在梁上，工作中受到交替的拉壓應力，而壓電陶瓷受拉易產生裂紋，因此可靠性較低，尤其不適于應用在外界振幅、噪聲等變化較大的環境中[17]。

本文提出的單磁耦合式壓電振動俘能器通過輔助梁激勵預彎的壓電振子來構成組合換能器，實現了壓電振子的單向激勵，解決了壓電振子在工作中承受交替拉壓應力易碎裂的問題，同時利用磁耦合調節俘能器的固有頻率和有效帶寬，從而提高其環境適應性。

1 俘能器結構及原理

單磁耦合式壓電振動俘能器結構如圖1所示，主要由一對壓電振子、輔助梁、動磁鐵、定磁鐵和框架等構成。由銅基板和壓電片組成的壓電振子對稱安裝于輔助梁兩側并施加一定的預壓力，動磁鐵設在輔助梁自由端，定磁鐵安裝于框架上。由圖1可知，當磁鐵的間距、角度、重力以及磁力等系統參數的組合不同時，俘能器的性能會有很大的差異，可通過調節上述參數的大小來調整俘能器的性能。

圖1 俘能器裝置結構示意圖Fig.1 Structure diagram of energy harvester system

在實際工作過程中，該方案的壓電振子僅受到單向的壓應力。當輔助梁向上擺動時，安裝于輔助梁上側的壓電振子受激開始遠離中心平衡位置；當輔助梁向下擺動時，上側壓電振子在自身彈性力的作用下彈回平衡位置?；诖?，在保證壓電振子與輔助梁不分離的情況下，壓電振子僅受到輔助梁的壓應力，以提高俘能器的可靠性。

本文主要通過改變定磁鐵的位置(圖1中磁鐵水平耦合距離d和豎直耦合距離h)和角度(圖1中耦合角α)來改變磁力的大小，進而改變俘能器的幅頻特性。通過改變磁鐵豎直耦合距離以及耦合角能夠給動磁鐵施加磁懸浮力，進而降低動磁鐵重力對俘能器的影響，提高其發電性能。

本文還通過COMSOL仿真及試驗來研究磁鐵水平耦合距離、豎直耦合距離及耦合角對磁鐵磁力、系統勢能及俘能器輸出性能的影響，從而驗證單磁耦合式壓電振動俘能器原理的可行性。

2 模型建立與有限元仿真分析

由俘能器的結構和工作原理可知，當壓電振子的固有頻率高于輔助梁的固有頻率時，壓電振子受激勵后反向回彈過程中其自由端不會與輔助梁脫開，故其最大形變量是由輔助梁決定的，控制輔助梁的振動狀態就間接地控制了壓電振子的振動狀態。為便于分析，將輔助梁視為受彈性力、磁耦合力、重力、阻尼力及機電耦合力作用的彈簧-質量-阻尼模型，如圖2所示。模型參數Meq、ceq、Keq分別為等效質量、等效阻尼和等效剛度，Zm、Zn分別為磁鐵的縱向位移和外界激勵位移，R為外接負載電阻。

圖2 俘能器的集總參數模型Fig.2 Lumped parameter model of energy harvester system

根據牛頓第二定律和基爾霍夫定律，俘能器的動力學方程為[18]

(1)

式中，Fp為等效質量所受的機電耦合力；Cp為壓電片的等效電容；U為R兩端的電壓；αc為機電耦合系數；Z為等效質量的相對位移，Z=Zm-Zn；Fv為動磁鐵所受磁力在豎直方向的分量；A為外界激勵振幅；ω為外界激勵角頻率；t為時間。

根據歐拉-伯努利梁理論，等效剛度Keq可以表示為

Keq=K1+K2=(1+λ)K1

(2)

式中，K1、K2分別為輔助梁和兩個壓電振子的等效剛度；λ為比例系數；E為輔助梁的彈性模量；l為等效梁長；lb、lm分別為輔助梁和磁鐵的長度；I為輔助梁的慣性矩；wb、hb分別為輔助梁的寬度和厚度。

磁力大小由磁鐵間距和角度決定，磁力Fm變化時，俘能器的動力學特性及幅頻特性會發生很大的變化。單磁耦合結構中磁鐵間的關系如圖3所示，動磁鐵振動幅度遠小于輔助梁長度，故將其運動軌跡簡化為豎直上下運動。集總參數模型中兩磁鐵的尺寸相同，假定d、h、α分別為初始時刻下磁鐵的水平耦合距離、豎直耦合距離及耦合角，Zm為某一時刻下動磁鐵的縱向位移，ma、mb分別為磁鐵a和磁鐵b的磁矩，rab為磁鐵a到磁鐵b的方向向量。

圖3 單磁耦合下磁鐵相對位置示意圖Fig.3 Schematic diagram of the magnet’s relative position under single-magnet coupled

以水平耦合距離d=10 mm、豎直耦合距離h=6 mm、耦合角α=10°為例，磁鐵縱向位移和磁力豎直分量關系的仿真曲線和擬合函數曲線見圖4。圖4中曲線表明擬合函數曲線與仿真曲線的變化趨勢基本一致，其殘差模僅為0.4，擬合函數的表達式如下：

Fv=-0.06u9+0.28u8+0.36u7-2u6-0.42u5+

5.1u4-0.9u3-4.9u2+1.7u+0.98

(3)

圖4 磁鐵縱向位移和磁力豎直分量的關系曲線Fig.4 Relationship curve between longitudinal displacement of magnet and vertical component of magnetic force

磁力大小由磁鐵間距和角度等要素決定，由式(1)可知磁力的變化直接影響俘能器的動力學特性，可通過勢能來解釋磁力對俘能器性能的影響。本文利用有限元仿真的方法來研究各參數對系統勢能的影響，仿真所用的參數見表1。

表1 仿真用相關參數Tab.1 Related parameters for simulation

考慮重力、彈性及磁勢能時，俘能器的勢能可表示為[19]

(4)

圖5a給出了豎直耦合距離h=0、耦合角α=0°、水平耦合距離d不同時，勢能Ep與動磁鐵縱向位移Zm的關系曲線。由圖5a可知：當d=24 mm時，勢能曲線為單勢阱，d減小到14 mm時，由單勢阱變為雙勢阱，原點處變為一個非穩定平衡位置，由于重力影響，雙勢阱不完全關于原點對稱。雙勢阱間的跨度隨d減小而增大，各自的阱深隨d減小而加深，當d<10 mm時，阱深隨d減小而大幅加深。由于過深的勢阱不利于拓寬頻帶，因此研究h及α對勢能的影響時，選擇的d介于10～14 mm之間。圖5b給出了d=11 mm、α=0°及h不同時，U與Zm的關系曲線。由圖5b可知：隨h增大，曲線由對稱轉變為非對稱，直至h增大至10 mm時，非對稱的雙勢阱變為單勢阱。圖5c給出了d=14 mm、h=6 mm及α不同時，U與Zm的關系曲線。由圖5c可知：隨α增大，曲線的非對稱度先減小后增大(即其中一個阱深不斷加深，而另一個阱深不斷變淺)，存在較佳耦合角(α=60°)使得勢能曲線趨于對稱雙勢阱。

(a)d不同時勢能與動磁鐵縱向位移的關系曲線

仿真結果表明：通過改變磁鐵水平耦合距離、豎直耦合距離以及耦合角能夠調節俘能器的動態性能。

3 試驗測試與分析

為驗證單磁耦合式壓電振動俘能器原理的可行性，并獲得系統參數對俘能器輸出性能的影響規律，設計制作了圖6所示的試驗樣機和測試系統。測試系統設備主要由DC-1000振動臺、SA-15功率放大器、RC-2000振動控制儀、俘能器及數字示波器等組成。試驗所用器件及參數與仿真時相同，其中預彎壓電振子的長、寬、厚、預彎半徑分別為40 mm、40 mm、0.5 mm、140 mm，激勵磁鐵被安裝在設有角度盤的夾具上，通過夾具可靈活調節磁鐵的位置和角度。試驗施加振幅為1.5 mm、頻率為10～35 Hz的正弦激勵信號，試驗發現上下側壓電振子的幅頻特性基本一致，這里選取上側壓電振子開路電壓的峰峰值Ug來表征俘能器的輸出性能。

圖6 俘能器測試系統Fig.6 Testing platform of energy harvester system

圖7為豎直耦合距離h=0、耦合角α=0°、水平耦合距離d不同時俘能器的幅頻特性曲線，其中d=∞即為無磁耦合(non-magnetic coupling,NMC)情況。由圖7可知：d=11 mm時曲線較為平坦，d=10 mm時存在兩個峰值，其余幅頻特性曲線只有一個峰值，通過調節水平耦合距離得到的俘能器固有頻率和有效頻帶(電壓峰峰值在10 V以上)的調節范圍分別為13～29 Hz和12.7～30 Hz。當d≤10 mm時，隨d減小，固有頻率提高、有效帶寬變寬，且變化明顯；當d≥13 mm時，隨d增大，固有頻率緩慢提高、有效帶寬緩慢變寬；當d=11 mm時固有頻率為13 Hz，有效頻帶為12.7～28.7 Hz，最大電壓峰峰值為15.4 V，該條件下的曲線平緩，且固有頻率較低、有效頻帶較寬，提高了俘能器的可靠性和環境適應性。d太小時俘能器會出現勢能壁壘，從而導致俘能器的發電性能降低，d過大時耦合磁力會大幅減小，這與理論分析相吻合。試驗結果表明，磁鐵水平耦合距離對俘能器發電性能有較大的影響，因此在實際工作中需根據振動情況選擇較佳的水平耦合距離。

圖7 水平耦合距離不同時的幅頻特性曲線Fig.7 Amplitude-frequency characteristic curve under different horizontal coupling distances

圖8為水平耦合距離d=11 mm、耦合角α=0°、豎直耦合距離h不同時俘能器的幅頻特性曲線，其中h=∞即為無磁耦合情況。由圖8可知：h=0時曲線較為平坦，h=1 mm時存在兩個峰值，其余幅頻特性曲線都只出現了一個峰值，且隨h增大，峰值向后推移。通過改變h得到的俘能器固有頻率的調節范圍為13～27 Hz；固有頻率和有效頻帶的最低頻率均隨h增大而提高，且提高的速度逐漸減緩；有效帶寬受h的影響較小，且始終穩定在15.2 Hz附近。相較于無磁耦合情況，當h≤2 mm時，磁耦合式俘能器增加了低頻響應，當h≥4 mm時，該俘能器增加了高頻響應。在h增大過程中動磁鐵受非對稱單勢阱的影響，其擺動幅度會減小，進而會降低俘能器的發電性能，這與理論分析相吻合。因此，在保證磁力能夠抵消動磁鐵重力的條件下，應盡可能地減小磁鐵的豎直耦合距離。

圖8 豎直耦合距離不同時的幅頻特性曲線Fig.8 Amplitude-frequency characteristic curve under different vertical coupling distances

圖9為d=14 mm、h=6 mm、α不同時俘能器的幅頻特性曲線。由圖9可知：耦合角較大或較小時幅頻特性曲線均只出現一個峰值，僅當α=67.5°時，曲線較為平坦。通過調節α得到的俘能器固有頻率和有效頻帶的調節范圍分別為16～23 Hz和15.4～35 Hz。存在較佳耦合角α=67.5°使俘能器固有頻率降低至16 Hz，最大電壓峰峰值減小至22.8 V，有效帶寬拓寬至19.6 Hz，較無磁耦合條件下的有效帶寬13.6 Hz拓寬了6 Hz，α=67.5°條件下的曲線非常平緩，既拓寬了頻帶又提高了可靠性，與仿真得出的較佳耦合角的差值僅為7.5°，此外，該條件下動磁鐵重力被耦合磁力抵消，優化了俘能器的發電性能。因此，在實際環境中應用該俘能器時，可通過調節耦合參數，使其達到較佳的發電性能。

圖9 耦合角不同時的幅頻特性曲線Fig.9 Amplitude-frequency characteristic curve with different coupling angles

為了進一步優化俘能器的輸出性能，研究了不同激勵頻率下負載電阻對輸出功率的影響規律。圖10給出了水平耦合距離d=12 mm、豎直耦合距離h=0、耦合角α=0°、激勵振幅為4.5 mm、激勵頻率f不同時輸出功率Pg與負載電阻R的關系曲線。由圖10中曲線可以看出，每個激勵頻率均對應有一個較佳負載電阻可使裝置的輸出功率最大，且頻率變化對較佳負載電阻的影響不大，負載電阻均在70 kΩ左右；激勵頻率對輸出功率的影響較大，當激勵頻率分別為12 Hz、16 Hz、20 Hz時，最大輸出功率分別為5.27 mW、2.96 mW和1 mW。試驗發現，激勵位置h、d與角度α不變時，通過調節負載電阻使其與俘能器阻抗相匹配，從而可提高俘能器的功率輸出。

圖10 輸出功率與負載電阻的關系Fig.10 Relationship between output power and load resistance

4 結論

(1)改變水平耦合距離、豎直耦合距離及耦合角會影響俘能器的動力學響應；隨水平耦合距離增大，勢能曲線由雙勢阱變為單勢阱，原點處變為一個穩定平衡位置；隨豎直耦合距離增大，曲線由對稱雙勢阱變為非對稱單勢阱；隨耦合角增大，曲線的非對稱度先減小后增大，存在較佳耦合角使得勢能曲線變為對稱雙勢阱。

(2)激勵頻率對俘能器波形影響較大，不同系統參數對應有一個激勵頻率可使俘能器的輸出電壓最大。存在較佳的系統參數組合(d=14 mm、h=6 mm、α=67.5°)使俘能器獲得較低的固有頻率(16 Hz)和較寬的有效帶寬(19.6 Hz)，較無磁耦合時的有效帶寬拓寬了6 Hz。

(3)輸出功率隨激勵頻率提高而增大；存在適合的負載電阻使輸出功率最大；當激勵頻率分別為12 Hz、16 Hz及20 Hz時，最大輸出功率分別為5.27 mW、2.96 mW及1 mW，且最大輸出功率所對應的最佳匹配負載電阻均在70 kΩ左右。