霍亂傳染病行波解的上下解計算*

秦 雙 鈺

(重慶工商大學 數學與統計學院，重慶 400067)

0 引 言

霍亂是一種典型的水源性傳染病，具有多種傳播途徑，包括人與人之間的直接傳播和人與被污染水源之間的非直接傳播。據世界衛生組織統計，每年全世界約有300×104～500×104霍亂病例，有10×104～12×104人因此死亡。尤其是在許多發展中國家，近年來都有不同程度的霍亂爆發。

從20世紀開始到現在，研究學者發表了很多關于水源性傳染病的文章，主要研究其傳染方式、穩定性分析、控制策略等。Capasso和Paveri-Fontana[1]最早在1973年提出一個較為簡單的霍亂模型；隨后，Codeco[2]于2003年首次計算在水源環境中霍亂弧菌的濃度，建立改進的SIRB霍亂模型；Hartley等[3]考慮霍亂多途徑傳播的特點，將霍亂病菌分為高感染階段和低感染階段，結合兩個新的環境元素構建一個高維霍亂傳染病模型，能更精確地描述霍亂傳染病的傳播特點；Mukandavire等[4]再將Hartley的模型進行一些簡化， 采用非線性發生率來描述人與被污染水源之間的傳播；Liao和Yang[5]首次在霍亂模型中引入媒體效應，構造帶媒體效應的多時滯霍亂模型，分析媒體效應和多種不同時滯對霍亂傳播的影響；Wang等[6]研究了一個反應擴散霍亂模型，計算該模型的基本再生數、全局漸近穩定以及圖靈不穩定性。更多的相關研究可參考文獻[7-10]。

行波解是對傳染病進行建模研究的一個關鍵因素，具有重要的研究意義，只要人們離開傳染病源的速度大于行波解的速度， 就不易被傳染，而行波解穩定與否可以直觀反應傳染病的傳播形態會不會發生很大的變化。Tian和Yuan[11]研究一個帶非局部擴散的SEIR模型， 計算最小波速和行波解；Zhang和Liu[12]分析一個SVIR傳染病模型，同樣計算最小波速和行波解；Wang和Wu[13]建立具有非局部時空延遲的擴散傳染病模型， 利用Schauder不動點定理證明行波解的存在性；Chen[14]等研究格微分模型上的最小波速以及行波解的存在性和不存在性。更多的相關文獻可參考文獻[15-18]。

本文擬針對一類方程個數和參數較多的霍亂傳染病模型進行行波解研究，構造一對明確的上下解函數來研究行波解的存在性。

1 建立霍亂模型

霍亂傳染病是一種具有多種傳播途徑的復雜傳染病，本文在文獻[13-14]的基礎上，建立如下帶擴散項的偏微分方程組模型：

其中：S(x，t)，I(x，t)，R(x，t)分別表示易感者、感染者和移出者，在t時刻x處的密度；W(x，t)表示t時刻在水源x處的霍亂病菌濃度；Δ為拉普拉斯算子；參數βW，βI分別表示環境與人之間和人與人之間的傳播率；Λ是自然的人類出生人數/死亡人數；μ是自然的人類出生率/死亡率；u>0是由疾病引起的死亡率；γ是恢復率；ξ是脫落率；δ是細菌死亡率；di(i=1，2，3，4)為正擴散率系數；模型中的所有參數均為正數。

注意到前3個方程中均不含R，即R具有獨立性，故在后面的計算中只考慮前3個方程組。

基本再生數R0為

2 模型行波解的計算

令(S(x，t)，I(x，t)，W(x，t))=(S(θ)，I(θ)，W(θ))，其中θ=x+ct，常數c為波速，則行波方程變為

且系統滿足邊界條件如下：

易得系統在E0處的線性化系統為

令I=ηIeλθ，W=ηWeλθ，其中ηI，ηW為正常數，通過簡單計算可得特征方程：

hI(λ，c)=d2λ2+βIS0-(μ+u+γ)-cλ

hW(λ，c)=d3λ2-δ-cλ

當R0>1，c>c*時，系統滿足邊界條件的非負非平凡解，首先可構造如下形式的上下解：

其中：M1，M2，ε1，ε2均為正參數，且將在后文對這些參數進行進一步討論。任取ε>0，存在常數q1，q2滿足：

hI(λ0+ε，c)q1+βIS0q2<0

hW(λ0+ε，c)q2+δq1<0

Λ-[(βWη3+βIη2)eλ0θ+μ]S0≤0

故引理1得證。

[hI(λ，c)ηI+βWS0ηW]eλ0θ≤0

βWS0(μ+γ-βIS0)+βIS0βWS0-(μ+γ)βWS0≤

故引理2得證。

ξβWS0-δ(μ+γ-βIS0)=0

故引理3得證。

βWS0(1-M1eε1θ)η3e(λ0-ε1)θ-

βIS0(1-M1eε1θ)η2e(λ0-ε1)θ]≥

(βWη3+βIη2)e(λ0-ε1)θ]

即可得證。

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-hI(λ0+ε2，c)M2q1e(λ0+ε2)θ=

eλ0θ[hI(λ0，c)ηI-hI(λ0+ε2，c)M2q1eε2θ]

由前面hI(λ0+ε2，c)<0，可知-hI(λ0+ε2，c)eε2θ必為θ的單調遞增數，必有

又由于

[d2(λ0+ε2)2-c(λ0+ε2)-

(μ+u+γ)+βIS0]M2q1e(λ0+ε2)θ-

βIS0M1eε1θeλ0θ(ηI-M2q1eε2θ)=

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-hI(λ0+ε2，c)M2q1e(λ0+ε2)θ-

βIS0M1ηIe(λ0+ε1)θ+βIS0M1eε1θM2q1e(λ0+ε2)θ=

hI(λ0，c)ηIeλ0θ-βIS0M1ηIe(λ0+ε1)θ-

[hI(λ0+ε2，c)-βIS0M1eε1θ]M2q1e(λ0+ε2)θ

此時，只要

不等式即可成立。故此引理5得證。

[d3(λ0+ε2)2-c(λ0+ε2)-δ]M2q2e(λ0+ε2)θ≥

hW(λ0，c)ηWeλ0θ-hW(λ0+ε2，c)M2q2e(λ0+ε2)θ≥0

[d3(λ0+ε2)2q2-c(λ0+ε2)q2-δq2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥

[(hW(λ0，c)ηW+ξηI)]eλ0θ-

[hW(λ0+ε2，c)q2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥

-[hW(λ0+ε2，c)q2+ξq1]M2e(λ0+ε2)θ≥0

3 結束語

針對一類具有多種傳播途徑的霍亂傳染病，建立帶擴散項的偏微分方程組模型進行研究。為了計算該模型的上下解，克服了模型維度較高以及參數較多的困難，找出了明確的上界和下界函數，并證明了上下界函數滿足邊界條件，這也是本文有別于其他文獻的地方。但是還沒有針對基本再生數小于1時，對行波解的不存在性進行討論，這就是未來的重點工作之一。