基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力建模*

余志，許煥挺，何兆成

中山大學智能工程學院，廣東廣州 510006

交叉口一直以來都是車輛運行的瓶頸，為了降低瓶頸帶來的影響，常使用拓寬車道的方式提高通行能力［1］。這種在交叉口處拓寬形成的車道，因存在一定的長度限制、無法當作獨立車道而被稱為短車道［2］。拓寬信號交叉口進口道是提高其通行能力的有效方法，但短車道也是影響通行能力的潛在因素，常導致相關車流互相影響，甚至發生短車道排隊阻塞，這種阻塞被稱為短車道效應［2］。因此，設計手冊規定了短車道的最短長度［3-5］以降低短車道排隊阻塞發生的概率。

短車道效應的發生是道路、交通、管理條件綜合作用的結果，為了探究短車道對交叉口交通運行的影響，Wu［6］指出傳統方法和HCM 對于短車道組通行能力的估計存在高估或是低估的情況，并提出了一種基于概率論的短車道通行能力估計方法。研究表明，帶有短車道的信號控制交叉口的通行能力與短車道長度、車流比例，以及周期時長有很大關系［7］。Wu［8］考慮交通流的隨機性和排隊阻塞對短車道的影響，建立了一個理論-經驗模型來計算短車道組的通行能力。馬萬經等［9-10］考慮相鄰周期排隊作用，建立左轉短車道阻塞概率和通行能力解析模型。以往的研究揭示了短車道通行能力是道路幾何條件、車流比例、信號控制方案等因素綜合作用的結果，在過程中使用了基于概率的修正模型，此類方法考慮了車輛到達及車流互阻塞的隨機性，更接近實際情況，成為當前研究該問題的主流方法。

然而，已有工作大多以周期為粒度，獨立研究短車道和相鄰車道的短車道效應發生概率以及阻塞影響下的通行能力水平，忽略了短車道和相鄰車道車輛運動的耦合性以及連續性。由于不同流向的車輛運動在信號交叉口是根據相位進行劃分的，這種分流向車輛運動的耦合性和連續性將導致當前相位車輛排隊狀態一定程度上依賴于上一相位的排隊狀態，使信號交叉口的阻塞概率和通過量處于動態變化當中。針對上述問題，本文基于概率論和馬爾科夫鏈相關理論，以相位為最小粒度對信號交叉口的短車道組通行能力進行了建模，分析了其在不同交通條件和道路幾何條件下的變化。

1 基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力計算模型

為不失一般性，本文以滯后的受保護左轉相位下直左短車道組進行研究，并且左轉的有效綠燈時間長于短車道最大排隊清空時間，以限制短車道最大容量。本文模型基于兩個假設：1） 車輛到達服從泊松分布；2） 車輛均為標準小汽車。模型的計算流程圖如圖1所示。

1.1 構建相位狀態轉移的馬爾科夫鏈

根據相位設置和短車道組車輛運動情況將周期分成三個階段：排隊階段、直行通行和左轉通行，記為T1、T2、T3，如圖2 所示。將每階段結束時刻短車道車輛排隊狀態視為該階段狀態，狀態空間為｛B，O，S｝。其中，B 表示直行阻塞左轉通行，O表示左轉阻塞直行通行，S表示不阻塞，各狀態如圖3所示。

圖2 信號控制方案周期劃分Fig. 2 Division of signal control scheme

圖3 排隊狀態示意圖Fig. 3 The system status of queue in short lanes

考慮到每個相位階段的車輛排隊狀態只取決于上一階段的狀態，為

其中P(sTi)表示短車道處于sTi狀態的概率，sTi表示Ti階段的狀態，sTi∈{ B，O，S }。

因此，相鄰階段之間狀態轉移過程可以構建成為一條馬爾科夫鏈。對于本模型的馬爾科夫鏈來說，每經過三個階段為一次迭代，使用P(k)表示第k次迭代計算時的短車道組相位狀態概率矩陣，矩陣每一行元素表示一個階段不同狀態的概率，每一列元素表示一種狀態在不同階段的概率。矩陣元素取值范圍為［0，1］，且每一行元素滿足是滿足該約束的隨機矩陣。

1.2 剩余容量矩陣

定義剩余容量為短車道容量與短車道范圍排隊車輛數的差值，根據車道可以分成左轉車道剩余容量和直行車道剩余容量。第k次迭代時，短車道組左轉車道的剩余容量矩陣為

其中為左轉車道在第i階段處于第j狀態的剩余容量。類似的，第k次迭代時直行車道的剩余容量矩陣為

1.2.1 T1 階段剩余容量計算在T1 階段時，直行和左轉車輛都處于排隊狀態，如果在該階段結束的時候，處于S狀態，即車輛順暢通行，則此時短車道剩余容量等于短車道容量N減去平均到達車輛數。到達車輛數服從泊松分布，且達到車輛數小于等于N，所以短車道剩余容量為

其中EL(X，g1) 表示左轉車道到達車輛數期望，g1表示T1 階段綠燈時間；sL表示左轉車輛到達率，由上游車道車輛到達率λ乘上左轉車流比例βL得到，即sL=λβL。同理，直行車道剩余容量為

如果T1 階段結束的時候，處于B 狀態，即直行車排隊阻塞左轉； T1 階段的B 狀態有可能是從T3 階段的B 狀態，也有可能是從T3 階段的S 狀態演變而來，其中T3階段的B狀態和S狀態的概率為和。無論什么狀態，T1 階段直行車道的剩余容量=0。對左轉車道來說，如果從B 狀態演變而來，則T1 剩余容量等于T3 階段B 狀態的剩余容量；若從S 狀態演變而來，則T1 剩余容量等于T3 階段S 狀態的剩余容量減去T1 階段期間在直行阻塞左轉前到達的左轉車輛數。因此，短車道剩余容量為

如果T1 階段結束的時候，處于O 狀態，即左轉車排隊阻塞直行，該狀態只能由T3 階段的S 狀態演變而來。此時，左轉車道剩余容量直行車道剩余容量受上一階段狀態影響，等于T3階段直行車道剩余容量減去T1 階段到達直行車輛數。直行車道剩余容量為

1.2.2 T2 階段剩余容量計算T2 階段出現B 狀態的概率為0，此時的短車道和直行車道的剩余容量都為N，且

其中g2表示T2階段的綠燈時間。

1.2.3 T3 階段剩余容量計算類似T2 階段，T3階段出現O 狀態的概率為0，階段結束時的狀態為B狀態時，直行車道剩余容量，短車道的剩余容量；若T3階段結束的時候狀態為S 時，短車道的剩余容量直行車道剩余容量為

其中g3表示T3階段的綠燈時間。

1.3 馬爾科夫鏈的轉移概率和轉移矩陣

第k次迭代過程中，從上階段到Ti階段狀態轉移概率矩陣用表示。矩陣每個要素表示基于上階段某個狀態下本階段狀態的概率，且

1.3.1 T3 階段到T1 階段轉移矩陣T1 階段直行車和左轉車均排隊，T1 階段結束時處于B 狀態的概率等價于直行車道的到達車輛數先超過其剩余容量的概率，為

T1階段結束時處于O狀態的概率為

T1階段結束時，處于S狀態的概率為

1.3.2 T1 階段到T2 階段轉移矩陣T2 階段處于直行車通行和左轉車排隊相位下，因此T2 階段結束時處于B狀態的概率為0，即ai1=0。

T2 階段結束時處于O 狀態的概率，等價于左轉車道到達車輛數超過其剩余容量的概率，為

T2階段結束時處于S狀態的概率為

1.3.3 T2 階段到T3 階段轉移矩陣T3 階段直行車排隊和左轉車通行，因此T3 階段結束時處于O狀態的概率為0，即ai2=0.

T3階段結束時處于O狀態的概率為

T3階段結束時處于S狀態的概率為

1.4 相位狀態概率矩陣的更新

根據上述計算得到的轉移概率矩陣進行相位狀態概率矩陣的更新，更新公式為

更新停止條件為

1.5 條件通行能力矩陣的計算

條件通行能力是指考慮上一階段狀態下本階段處于某狀態時的通行能力。對于左轉通行能力來說，其通行相位處于T3 階段，因此其條件通行能力矩陣元素為考慮T2 階段各狀態下的通行能力，為

其中矩陣每一列表示T3 階段的一種狀態，每一行表示T2階段的一種狀態。

但T3 階段處于B 狀態時，短車道因為被阻塞無法充分利用。此時，通行能力由上階段結束時短車道排隊車輛數和本階段短車道到達車輛數兩部分組成，為

同理，直行車道條件通行能力矩陣為

且

1.6 通行能力計算

根據相位狀態概率矩陣和條件通行能力矩陣，可以計算短車道組的通行能力。左轉通行能力和直行通行能力分別為

2 模型驗證

為了驗證模型合理性和準確性，本文使用VISSIM 仿真工具進行場景模擬和仿真。選取廣州市獵德大道和花城大道交叉口的東進口作為試驗對象。試驗前，使用晚高峰交叉口的到達率和通過量對仿真場景進行標定工作。試驗場景采取先直行后左轉的相位配置方式，信號控制方案的周期為165 s，直行相位的時間為38 s，左轉相位時長為22 s。交通流參數配置中車輛飽和流率為0. 6 pcu/s，車輛排隊啟動時間為2 s。

記本文模型為模型1，設置對照模型進行對比，記對照模型為模型2。對照模型不使用馬爾科夫鏈計算阻塞概率，根據公式（31） 計算直行車道阻塞概率為

左轉車道阻塞概率的計算同理。

2.1 不同交通需求模式下的模型驗證

交通需求模式在本研究中體現在短車道車流比例上，因此本節研究車流比例下的通行能力水平。根據短車道實際的幾何條件，設置短車道容量為8 pcu，不同車流比例下的通行能力如圖4所示。

由圖4 （a） 可以看出，模型計算結果在不同需求比例下都高于仿真值，但兩者整體趨勢相同，且相對誤差在10% 以下。經秩和檢驗可知，在95% 置信水平下模型與仿真結果無顯著性差異。從圖4 （b） 和（c） 可看出，相較于HCM 計算結果，模型1 和模型2 短車道組的左轉通行能力和直行通行能力都與仿真值的變化趨勢相同，且數值上更加接近。對模型1 與仿真結果進行秩和檢驗，結果表明，在95% 置信水平下，模型1的左轉和直行通行能力與仿真結果無顯著性差異。雖然模型1和模型2整體上誤差較為接近，但從左轉和直行通行能力的誤差上看，明顯模型2的誤差高于模型1。

圖4 短車道車流比例與通行能力的關系Fig. 4 Relationship between flow ratio and traffic capacity of short lanes

2.2 不同短車道幾何條件的模型驗證

短車道的幾何條件變化體現在短車道容納的標準小車數。因此，本節根據實測數據，設置直行需求比例為0. 6，通過調整短車道的容量來驗證本文模型，不同短車道容量下通行能力如圖5所示。

由圖5 （a） 可以看出，短車道組通行能力隨著短車道車容量的增加而增加，模型與仿真值整體趨勢相同，且短車道通行能力模型和仿真值相對誤差在10% 以下。經秩和檢驗可知，在95% 置信水平下模型與仿真結果無顯著性差異。從圖5（b） 和（c） 可看出，模型1和模型2短車道組的左轉通行能力和直行通行能力都與仿真值的變化趨勢相同，且均優于HCM 計算結果。對模型1 進行秩和檢驗，在95% 置信水平下，左轉和直行通行能力在模型與仿真結果上都無顯著性差異。雖然模型2 在整體上的準確性比模型1 高，但是這種準確性是建立在對直行通行能力的高估和左轉通行能力的低估之上。從直行通行能力和左轉通行能力上觀察，可以發現模型1在兩者的準確性都高于模型2。

圖5 短車道容量與通行能力的關系Fig. 5 Relationship between storage and traffic capacity of short lanes

本節通過將本文模型在不同需求比例和短車道幾何條件下與仿真進行對比，得知：基于標定后的仿真運行結果，本模型已有較高的準確性，在整體和部分上均能夠反映實際的通行能力水平。同時，通過與不考慮相位狀態轉移的模型進行對比，發現本文模型能夠在直行和左轉通行能力上具有更高的擬合效果， 證明了本文方法的有效性。

3 結 論

本文提出了一個基于馬爾科夫鏈的短車道通行能力模型。考慮短車道阻塞效應發生的隨機性和動態性，研究不同需求比例和短車道幾何條件下的模型準確性和短車道通行能力特點，得到以下結論：

1） 從需求比例和短車道幾何條件來看，本文提出的模型能夠比較準確地反映短車道組的通行能力，使用馬爾科夫鏈擬合短車道組狀態的動態轉移過程是可行的。

2） 當前相位的阻塞概率確實受到前一相位狀態的影響，考慮相位的狀態轉移有助于得到更加準確的短車道組通行能力。

3） 在短車道組通行能力計算過程中，車流需求比例比短車道容量對結果影響更大。在實際應用過程中，可以考慮控制交叉口的轉向需求，來獲得較高的通行能力。