思辨才能深度理解
——由一道選擇題的解答談函數(shù)對稱性質(zhì)及其應(yīng)用

江西師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 (330022) 涂佳微

函數(shù)概念及性質(zhì)是中學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一條主線，而函數(shù)對稱性在函數(shù)性質(zhì)中占據(jù)重要地位，其中函數(shù)自對稱和互對稱性的結(jié)論較多也較抽象，是學(xué)生理解的一大難點(diǎn).本文從一道選擇題的學(xué)生解答出發(fā)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，對函數(shù)對稱性的相關(guān)結(jié)論進(jìn)行探析，以此促進(jìn)學(xué)生對函數(shù)對稱性本質(zhì)的理解.

1.引例

題目對于函數(shù)y=f(x)，若滿足f(x-1)=f(1-x)，則y=f(x)的圖像( ).

A.關(guān)于直線x=0對稱 B.關(guān)于直線x=1對稱

C.關(guān)于直線x=-1對稱 D.以上結(jié)論都正確

解答：生1(換元法)：令t=x-1，則f(t)=f(-t).顯然f(t)為偶函數(shù)，所以f(t)的對稱軸為t=0，由t=x-1可以知道，t=0時，有x=1，所以函數(shù)關(guān)于x=1對稱.故選B.

生2(換元法)：令t=x-1，則f(x)=f(t+1)，由f(t)=f(-t)，知f(t)為偶函數(shù)，f(t)的對稱軸為t=0，所以f(t+1)的對稱軸為t=0-1，因?yàn)閒(x)=f(t+1)，所以f(x)的對稱軸就是f(t+1)的對稱軸.把t=0-1中的t換成x，得x=-1，所以函數(shù)關(guān)于x=-1對稱.故選C.

生4(特例法)：令f(x)=1，顯然滿足f(x-1)=f(1-x)，則f(x)=1的對稱軸有無數(shù)條.故選D.

評析：這是一道典型的易錯題，出現(xiàn)以上幾種常見的解法，其中生3的解法正確，利用了函數(shù)圖像的自對稱性質(zhì)，生1的錯誤出現(xiàn)在“由t=x-1可以知道，t=0時，有x=1，所以函數(shù)關(guān)于x=1對稱”，此時關(guān)于x=1對稱的函數(shù)是f(x-1)，而非f(x)，這里出錯的原因主要是忽略了最后對函數(shù)自變量的整體代換，正確做法是在得到f(t)=f(-t)，f(t)為偶函數(shù)后，由函數(shù)f(t)的對稱軸為t=0知函數(shù)f(x)的對稱軸為x=0；生2的錯誤出現(xiàn)在將t=0-1中的t換成x作為函數(shù)f(x)的對稱軸，錯因主要是混淆了f(x)的對稱軸和f(t+1)的對稱軸，t=0-1為函數(shù)f(t+1)的對稱軸，此時函數(shù)f(x)與f(t+1)的對稱軸并不相同，對于函數(shù)f(x)的自變量是x，而對于f(t+1)的自變量是t，函數(shù)對稱軸描繪的是自變量為某常數(shù)時的直線，x與t+1等效，并非與t等效，正確做法是在得到f(t+1)的對稱軸為t=0-1時，由f(x)中x與t+1等效，得其對稱軸為x=t+1=-1+1=0；生4將充分條件當(dāng)成了充要條件，函數(shù)f(x)=1只是函數(shù)y=f(x)的一個特例，不能說明所有情況.由分析，可見學(xué)生產(chǎn)生錯解的主要原因是對函數(shù)對稱性的本質(zhì)把握不清，不能更好地借助已有的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，從函數(shù)圖像上對稱點(diǎn)的角度理解函數(shù)對稱性的本質(zhì).

2.性質(zhì)

評注：這是函數(shù)自對稱性質(zhì)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式證明的關(guān)鍵是任取圖像上一組對稱點(diǎn)，進(jìn)而表示出其中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)樵摵瘮?shù)圖像是由無數(shù)組對稱點(diǎn)構(gòu)成，所以可借選取對稱點(diǎn)的任意性推出其中點(diǎn)特征，進(jìn)而推出該函數(shù)圖像關(guān)于什么對稱.該性質(zhì)正是本文引例中生3所采用的性質(zhì)，其中a=-1,b=1.

評注：以上兩性質(zhì)都是函數(shù)自對稱性質(zhì)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式證明的關(guān)鍵是任取圖像上一組對稱點(diǎn)，進(jìn)而表示出其中點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)樵摵瘮?shù)圖像是由無數(shù)組對稱點(diǎn)構(gòu)成，所以可借選取對稱點(diǎn)的任意性推出其中點(diǎn)特征，進(jìn)而推出該函數(shù)圖像的對稱性.

評注：以上兩性質(zhì)都是函數(shù)互對稱性質(zhì)，函數(shù)y=f(a+mx)與y=f(b-mx)的圖像可看作由函數(shù)y=f(x)的圖像經(jīng)平移及伸縮變換得到的兩個函數(shù)圖像，y=f(a+mx)的圖像由y=f(x)圖像先向左平移a個單位，再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮m倍后得到，y=f(b-mx)的圖像由y=f(x)圖像先向左平移b個單位，再將圖像關(guān)于y軸對稱，最后將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮m倍后得到.證明中利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式是證明的關(guān)鍵.

3.應(yīng)用

例1 求與函數(shù)y=lg(1+x)的圖像關(guān)于直線x=3成軸對稱的函數(shù)表達(dá)式.

4.結(jié)語

函數(shù)對稱性的性質(zhì)較多且較抽象，學(xué)生常常容易混淆，對其本質(zhì)的理解不夠深刻，導(dǎo)致在對其應(yīng)用時容易出錯，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式有助于學(xué)生理解函數(shù)對稱性的本質(zhì)，進(jìn)而形成穩(wěn)固的知識結(jié)構(gòu).