挖掘函數(shù)中隱含的性質(zhì)巧解題

浙江省寧波市奉化區(qū)溪口中學(xué) (315501) 金 杰

在一些函數(shù)問題中，雖然給出了函數(shù)表達(dá)式，但由于表達(dá)式比較復(fù)雜，不能直接通過函數(shù)式的代入解決問題，而需要對(duì)函數(shù)式進(jìn)行代數(shù)變形，挖掘出函數(shù)的性質(zhì)，再運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)來解題，本文舉例介紹幾個(gè)常見模式，供讀者朋友參考.

一、挖掘函數(shù)的單調(diào)性

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)解函數(shù)不等式問題，由于給出的函數(shù)表達(dá)式比較復(fù)雜，所以通過直接表示出f(x+a)和f(2a-x)后解不等式是不可能實(shí)現(xiàn)的，找到函數(shù)的單調(diào)性才是解決問題的關(guān)鍵.

(i)當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象如圖1所示，從而，f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增，故由a>0?x+a>x?f(x+a)>f(x)，故不符合題意.

圖1 圖2

點(diǎn)評(píng)：本題通過對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分段討論，化解了問題的難點(diǎn)，同時(shí)也顯示此時(shí)有針對(duì)性的畫圖更能清晰地反映函數(shù)的性質(zhì)，找到問題的實(shí)質(zhì).

二、挖掘函數(shù)的奇偶性

點(diǎn)評(píng)：本題的解決是從探求給出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性入手，將一個(gè)隱含關(guān)系變成一個(gè)簡(jiǎn)單的不等式，避免了分類討論和復(fù)雜的代數(shù)運(yùn)算.

點(diǎn)評(píng)：通過對(duì)已給的函數(shù)化簡(jiǎn)分析，再構(gòu)造了一個(gè)奇函數(shù)，這樣問題轉(zhuǎn)化為可利用奇函數(shù)性質(zhì)解決的問題.由于最值是相對(duì)復(fù)雜的問題，具體問題具體分析，抓住特點(diǎn)，順勢(shì)而為.

三、挖掘函數(shù)的周期性

解析：考察所給的分段函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)是一個(gè)周期函數(shù)，由于方程f(x)=x+a有且僅有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，分別畫出函數(shù)y=f(x)和y=x+a如圖3，可看出實(shí)數(shù)a的取值范圍是[3,4).

圖3

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)圖象可直觀地得到一些參數(shù)范圍問題，但對(duì)畫函數(shù)圖象的要求比較高，特別需弄清楚函數(shù)的性質(zhì)及基本走向、經(jīng)過的特殊點(diǎn)及循環(huán)往復(fù)的周期情況等.

例6 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一個(gè)周期圖像的最高點(diǎn)是(2,2)，與它相鄰的最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)是6，求f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)的值.

點(diǎn)評(píng)：欲求一些函數(shù)式若干項(xiàng)的和的問題，找出其式子規(guī)律性(如周期性)是非常重要的思維走向，解題時(shí)有如此的意識(shí)就能抓住機(jī)會(huì)，機(jī)智破題.

四、挖掘函數(shù)的對(duì)稱性

解析：由于y=f(x)+f(2-x)是關(guān)于x=1對(duì)稱，所以只要了解函數(shù)在[1，+∞)上的變化情況就能解決問題.由于f(x)+f(2-x)=

圖4

點(diǎn)評(píng)：通過利用函數(shù)的對(duì)稱性，求出函數(shù)解析式并畫出函數(shù)圖像，再由數(shù)形結(jié)合分析題意，轉(zhuǎn)化求解，就使問題獲得了圓滿的解決，此處分段去絕對(duì)值符號(hào)很重要.

點(diǎn)評(píng)：由于x與2a-x關(guān)于x=a對(duì)稱，所以f(x)與f(2a-x)在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，抓住這個(gè)特殊條件將兩個(gè)函數(shù)式配湊在一起是一個(gè)很好的選擇.