基于邊值關系的面電流定義的重構

曹宏遠，宋玲玲

（合肥工業(yè)大學 微電子學院，安徽 合肥230009）

0 引言

在場論中，電流I是一個通量，描述的是單位時間內通過某導體截面的電荷量。為了描述導電媒質中不同點的電荷運動情況，還需要引入電流密度的概念［1］。電流依據(jù)分布形態(tài)可分為體電流、面電流和線電流，相應地有（體）電流密度、面電流密度［1］。其中，體電流密度出現(xiàn)在麥克斯韋方程組第一式（），是磁場的渦旋源；而面電流密度出現(xiàn)在磁場強度的邊值關系上（），它是導致場強切向分量在分界面上發(fā)生突變的場源。

然而，教材中在介紹面電流時，只是由體電流進行類比，然后直接給出面電流密度的公式，并沒有講述引入面電流的原因以及面電流與體電流之間的聯(lián)系［1～3］。上述做法導致學生們認為：面電流就是存在于二維幾何面上的電流，完全不同于體電流，是一個獨立的物理量；當涉及到不同媒質分界面處存在切向電流密度突變時，媒質分界面上面電流密度等于切向電流密度之差。此外，教材中還曾提到，只有理想導體表面存在面電流，那么工程中應用的面電流又是什么呢［4～6］？

關于這些不準確的認識和困惑，本質上是初學者對面電流的定義沒有形成清晰的物理圖像。本文將從場強?邊值關系的推演及面電流應用兩個方面，構建面電流的物理圖像，指出它與體電流的關聯(lián)，為初學者及相關的工程技術人員的正確應用提供理論依據(jù)。

1 磁場強度邊值關系的推演

圖1所示是媒質1和媒質2的分界面。 為分界面法向單位矢量，由介質1指向介質2。場強由1區(qū)穿過分界面進入2區(qū)，在分界面周圍取一個矩形閉合回路，兩個長邊分別在兩種介質內并且與界面平行，長度為Δl（是一個小量，在這個小量上，場強視為常量），兩個短邊與界面垂直，長度為Δh（是一個高階無窮小量）。

圖1 磁場切向分量邊界條件

圖上，與分界面平行的方向都可以稱之為切向，在有面電流存在的情況下，矩形回路所在平面并不一定與垂直，為推導方便，取矩形回路的法向單位矢量為，此處要求垂直，但不要求平行，可寫成［7］。把積分形式的麥克斯韋方程組第一式應用于此閉合路徑，有：

物理上，Δh→0描述的是一個無限靠近二維分界面的鄰域，它是一個空間域，如圖2（a）所示，對應到微觀結構，這個空間域指的是1區(qū)、2區(qū)靠近分界面的幾個分子層厚度的薄層，是媒質分界面的真實形態(tài)。若ΔI≠0，電流是分布在這個薄層里，從微觀看，仍然是體電流，不是分布在二維幾何面（Δh=0）上的電流。由于實驗上所能測量的是宏觀小微觀大的一個區(qū)域內的物理量的平均值，可以將薄層內電荷的運動等效為集中在二維分界面（Δh=0）上的電流，如圖2（b）所示。

圖2 分界面處面電流的形態(tài)

為了更細致的描述它在分界面上運動的特點，引入面電流密度定義：

依據(jù)上述分析可知面電流是一種特殊形式的體電流，二者并不完全獨立，因此，在分界面處不存在電流突變，這是與工程上的認識是一致的。那么，在分界面處是否存在電流密度突變？電流密度突變會是否導致面電流密度的產生？通過對在兩種導電媒質分界面上電場強度的邊值關系再推演，進一步闡述這些問題。

2 兩種導電媒質的分界面

推導電場切向邊值關系時用到了麥克斯韋方程組第二式的積分形式：

（11）式可視為麥克斯韋方程組第一式的特例，即相當于第一式中=0的情況，于是可得：

圖3 電導率有限的導電媒質分界面

積分結果可以表示為I，代表從分界面的鄰域流出的電流。當Δh→0時，被積函數(shù)為有限值，I=0，因此沒有電流從分界面上流出，即不存在面電流。通過上述證明可知切向電流密度突變并不一定會導致面電流密度產生，兩者之間沒有因果關系。

事實上，切向電流密度的突變以及面電流的產生都是由于在物理上常常將分布在媒質表面鄰域內的薄層等效為二維平面所導致的，兩者的區(qū)別在于切向電流密度的突變在兩種導電媒質的分界面必然存在，而面電流必須在理想導體表面才會存在。

3 面電流的應用

電導率σ→∞的理想導體表面，切向電流密度之差趨于無窮大，由（13）式可知理想導體表面存在面電流。雖然理想導體實際上是不存在的，但它卻是一個非常有用的概念，例如電磁波入射到金屬表面時，幾乎是全反射，如果忽略折射到金屬內部的電磁波功率，則金屬表面可以用理想導體表面代替，簡化邊值問題的分析［9］。此時，依據(jù)場強的邊值關系，電磁波在金屬表面就會感應出面電流密度。這種簡化過程，也符合物理實際-趨膚效應。當導體中有交流電或者交變電磁場時，導體內部的電流分布不均勻，若頻率足夠高，且電導率足夠大，電流就會集中在導體外表的薄層，導線內部實際上電流幾乎為0，在宏觀上，可以將其看成面電流分布［1］。

在工程上，面電流是一個廣泛使用的物理量，例如，一個密繞的螺線管中的電流可以看成面電流；通過面電流傳感器測試和研究金屬殼體的電流；構建精確的面電流分布模型實現(xiàn)螺旋線行波管的優(yōu)化設計等等［5～6］。

面電流分布的另一個例子是磁性物質表面的磁化電流［2］。當介質被磁化后，內部分子磁矩都有一定的取向，在磁介質內部，分子電流相互抵消；靠近磁介質表面，分子電流則構成宏觀的磁化電流面分布。磁化面電流實際上是靠近表面相當多分子電流的平均宏觀效應。

4 結語

本文針對現(xiàn)有的一些電磁場教材在講述面電流時有所含混不清的情況，從相關場強的邊值關系的推導出發(fā)，詳細梳理了面電流的由來，構建了面電流清晰的物理圖像，并澄清了不同媒質分界處存在切向電流密度突變時，分界面上面電流密度的情況，有助于讀者對相關知識的深入理解與應用。

物理上常常將媒質表面鄰域的薄層等效為二維平面，將分布在薄層內的體電流等效為二維面電流，面電流密度則強調電荷在面空間上的運動和分布。在不同媒質的分界面上雖然存在切向電流密度突變，但并不一定存在面電流，只有當切向電流密度之差趨于無窮大，即理想導體表面上存在面電流。因此在學習過程中絕不能把切向電流密度之差當作面電流密度的值。雖然理想導體實際上并不存在，但它卻是一個非常有用的概念。在工程上合理使用面電流這一物理量，將簡化實際電磁現(xiàn)象問題的分析。