《二次函數模型的實際應用》教學案例

黃德誠 周之琴

【摘要】本文以《二次函數模型的實際應用》為例，闡述利用生活中見到的拱橋輔助學生學習運用二次函數模型解決實際問題的意識和能力，以及在解決問題的過程中滲透函數、方程等模型思想的具體做法，使學生切身感受數學來源于生活，又能更好地服務于生活，從而激發學生學習數學的熱情和興趣，培養學生的數學應用意識。

【關鍵詞】二次函數模型 模型思想 數形結合

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）29-0084-04

在數學教學中，教師普遍重視數學知識、概念的教學以及技能和算法的培養，但卻常常不太重視對數學思想的滲透和數學能力的培養。學生雖然掌握了比較豐富的數學理論知識，但不能較好地將理論知識和實際應用聯系起來，導致學生數學學習效果低。因此，針對這種現象，筆者試圖以《二次函數模型的實際應用》為例，闡述創設實踐性教學模式，將數學知識與生活中的實際問題結合，調動學生學習興趣的方法，使學生理解數學的價值和建立模型的意義，以便提高學生運用數學知識解決問題的意識和能力。

一、教學背景分析

（一）教學內容分析

二次函數是初中數學學習的重要內容之一，它的應用是本章的教學重點和難點。它是從生活實際問題中抽象出的數學知識，又是在解決實際問題中被廣泛應用的數學工具，因此這部分的教學內容具有重要意義。同時，學好二次函數，并能較好地應用，也是為高中進一步學習各類初等函數作好準備。初中學習的二次函數是比較簡單的函數，也是其他初等函數的基礎。它與一元二次方程緊密聯系，在許多方面也會用到一元二次方程的相關知識。因此，在教學中，教師要讓學生經歷從實際問題情境入手，到抽象出解決問題的數學模型和相關知識的過程，理解二次函數的價值和建立二次函數模型的意義，培養學生運用二次函數解決問題的能力。

（二）學生情況分析

本節課的授課對象是九年級的學生。在此之前，學生已經掌握了求二次函數解析式的方法并理解圖象上的點和圖象函數的關系，也學習了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數，并掌握了運用這些知識解決問題的方法，初步掌握簡單的二次函數的應用知識。在數學課堂上，他們也多次經歷了從實際問題抽象出數學知識，再運用相關知識解決實際問題的過程，因此他們有解決簡單實際問題的基礎知識和基本能力。但是，他們從實際問題中抽象出數學問題的能力以及利用已有的數學知識去解決比較復雜的問題的能力還仍然比較弱。他們對比較抽象的函數知識還是感到比較難掌握，多數學生對函數的應用意識也不強。

二、教學過程

（一）情景導入

播放一組幻燈片，內容如下：

（1）趙州橋;（2）遇龍橋;（3）桂林花橋;（4）解放橋。

師：（提問溫故）圖中的橋洞是什么形狀？有我們學過的數學圖象嗎？

生：二次函數。

師：對了，這就是我們這節課要研究的問題：二次函數模型在拱橋問題中的實際應用。

【設計意圖】這個設計，引入學生熟悉的生活情境，激發學生的學習興趣。

【賞析教法】通過演示法，讓學生感知數學來源于生活。

（二）師生互動，探索新知

師：（用多媒體出示例題）如圖，拋物線形的拱橋，當水面在CD時，拱橋頂E離水面CD為2 m，水面CD寬4 m;當水面下降1 m時，水面寬度AB是多少米？

1.師生共同分析，將實際問題轉化成數學問題

讓學生獨立分析題意，請一名同學口述標圖，將原圖中的拋物線抽象出來，教師板書。

師：將這里的拋物線抽象出來后，已知什么？未知什么？

生：已知EN=2 m，CD=4 m，NM=1 m。未知AB=？m。

師：聯系我們已有的知識，我們可以將線段長度問題轉化成什么？

生：坐標。

師：在學習用坐標表示點的位置時，我們借助了什么工具呢？

生：坐標系。

師：現在沒有坐標系，我們應該怎么做呢？

生：畫一個坐標系。

師：建立坐標系后就能有點的坐標么？

生：不一定。

師：我們來看A、B兩點在哪兒？

生：拋物線上。

師：因此我們需要先求出這個拋物線的解析式，然后再求A、B兩點坐標。

師：（教師初步小結）在研究二次函數時，我們仍然是在坐標系中研究它的圖象以及解析式，因此現在解決問題的關鍵是建立平面直角坐標系。

師：怎樣建立坐標系以求出拋物線的解析式呢？請大家在備用圖上試一試。

【設計意圖】這個設計，通過提問引導，幫助學生分析問題，找到解決問題的關鍵。

【賞析教法】運用問題式教學法，引發學生思考，為解決怎樣建坐標系寫出拋物線的解析式做準備。

2.學生獨立思考后，小組交流并展示

師：（教師巡視指導）請你在建立坐標系時思考以下幾個問題：①怎樣在原圖中建立平面直角坐標系？②建立坐標系后能找到哪些點的坐標？請標在圖中。③可以求出拋物線的解析式嗎？

師：小組交流以下內容：①小組同學共有幾種建坐標系的方法？②所有思路都可以求出拋物線的解析式嗎？怎樣求的？

【設計意圖】這個設計，讓學生獨立思考，再小組合作，各抒己見;使學生在合作中學會傾聽，敢于發表看法。

【賞析教法】教師通過自主探究式學習法和小組討論學習法，增強課堂教學效果。這些方法對學生的學習起到推動作用。

3.學生展示講解，師生共同評判

學生在黑板上展示建立坐標系的方法。

學生代表到黑板展示求解析式的思路，教師和其余學生認真傾聽。

師：同學們請思考以下幾個問題：①以哪個點為原點建坐標系？②建坐標系后能找到哪些點的坐標？怎么得到的？③說明求拋物線解析式的思路，解析式設成什么形式？

師：大家認為這位同學的做法可行嗎？

生：可行（此時學生說在同一種坐標系下，還有其他的表達式形式）。

師：大家做得非常好，大家的方法都能解決問題。

【設計意圖】教師通過交流展示，鍛煉學生的表達能力;通過追問，加深學生對實際量與坐標的對應關系的認識，突破難點，深化建模思想。

【賞析教法】教師通過講授法，對學生不斷地追問，以發展學生智力。

4.同學之間討論

（1）讓學生討論，在這幾個坐標系中，哪個坐標能更加簡便地解決問題？

師：在這幾種方法中，哪一種解決問題的方法更簡便呢？為什么？

生：以點N或M為原點時，點的坐標簡單;以點E為原點時，解析式的形式最簡單。

師：（小結）一般建坐標系時考慮兩個方面：①點的坐標易計算;②解析式形式簡單。這也體現了數學的簡潔美。

【設計意圖】這個設計，讓學生通過對比，使學生既能發散思維，又能體驗解決問題的方法的多樣性。讓學生通過比較，體會建坐標系時要考慮的問題，即如何才能簡化問題。

【賞析教法】教師通過發現式學習法，促進學生學習的積極性，提高課堂教學質量。

（2）讓學生討論，以A點為原點建坐標系的情形。

師：如果以點A為原點建坐標系，那么可不可以呢？

有的學生說可以，有的學生說不可以。

師：（教師在黑板上畫以點A為原點的坐標系）我們是不是發現這樣建坐標系后，點C、D、E的坐標不好表示，也不方便求出解析式？如果這樣建立坐標系，那么就要設未知數表示坐標，再找關系代入解析式求解。這種方法比較繁瑣，但大家不妨試一試。

【設計意圖】設置問題，引發學生思考，明確建坐標系時要注意的問題。

【賞析教法】教師通過發現式學習法，引發學生思考，提高學生的數學思維能力。

5.板書，規范書寫格式

師：（教師在黑板上板書）

設這個二次函數的解析式為

y=ax2（a≠0）

∵拋物線過點D（2，-2）

∴a·22=-2

∴a=-[12]

∴這個拋物線的解析式為y=-[12]x2

當y=-3時， -3=-[12]x2

∴x=±[6]， ∴AB=2[6]

答：當水面下降1m時，水面寬度增加（2[6]-4）m。][注意正負]

【設計意圖】板書以規范書寫格式，培養學生規范書寫的習慣。

【賞析教法】教師通過板書，使學生逐漸養成良好的學習習慣。

6.師生共同小結，教師板書標注

師：（同時呈現PPT）我們一起總結一下解決實際問題的一般步驟：①建坐標系，選擇適當的方式建立直角坐標系;②找點，將已知條件轉化為點的坐標;③求解析式，用待定系數法求二次函數的解析式;④解答，解決具體問題，知x求y，或知y求x，回答實際問題。

師：我們一定要注意點的坐標的正負。

師：實際上，我們通過建坐標系建模將實際問題轉化為數學問題，再運用二次函數的圖象、解析式等知識，去解決數學問題，然后將數學問題的解轉化成實際問題的答案。在這個過程中，體現了什么思想方法？

生：轉化思想、數形結合思想。

師：還運用了建模思想。

【設計意圖】師生共同總結解題步驟、注意要點，以及數學思想，以加深印象。

【賞析教法】教師對本節課進行小結，以幫助學生加深對所學知識的認識。

（三）應用練習

下面請同學們嘗試解決變式的問題。（用多媒體展示變式題目）

變式：今年，桂林正在進行創建全國文明城市活動。某公園要在地面建造一個人工噴泉，人工噴泉有一個豎直的噴水槍AB，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下。噴水口A距地面2 m，水流的最高點P到噴水槍AB所在直線的距離為1 m，且水流的著地點距水槍底部B的距離是3 m。噴出的水流距地面的最大高度是多少？

1.學生獨立審題分析，標圖，嘗試完成解題過程

生：（獨立分析）

師：（巡視指導）

2.展示學生解題過程，師生共同評判

[學生1]（以點B為原點）

解：建立如圖直角坐標系，

可設拋物線的解析式為

y=a（x-h）2+k（a≠0）

∵A（0，2），C（3，0）在拋物線上，

且拋物線對稱軸為x=1

∴[a（0-1）2+k=2a（3-1）2+k=0]

解得[a=-23k=83]

∴解析式為y=-[23]（x-1）2+[83]

當x=1時，y=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m。

[學生2]（以點M為原點）

[可設拋物線的解析式為

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[83]

y=[83]][（2，0）][（-1，2）]

[學生3]（以點A為原點）

[可設拋物線的解析式為

y=ax2+bx（a≠0）

y=-[23]（x-1）2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（3，-2）][（0，0）]

[學生4]（以點O為原點）

[可設拋物線的解析式為

y=ax2+k（a≠0）

y=-[23]x2+[23]

y=[23]

∵地面是BC

∴PM=[83]][（2，-2）][（-1，0）]

[師]（總結）注意實際量與坐標系中的點的對應關系，建坐標系后的點的坐標放在第一象限時不容易出錯。

【設計意圖】學生通過變式練習，鞏固所學方法，提高學生運用數學知識解決問題的能力。

【賞析教法】教師通過反饋訓練教學法，可根據學生解題情況來了解學生對知識的掌握情況，以便及時解決存在的問題。

3.思考拓展

師：（多媒體呈現拓展）一個身高1 m的小孩如果不想被水流噴到，那么他在這個水池內的地面上的活動范圍有多大？

師：（提示）想要不被水流噴到，說明他左右的活動范圍是怎樣的？你可以描述一下嗎？這個1 m的小孩恰好被水流噴到時，他的位置是怎樣的？

生：（小組討論得出）只需將y=1代入到解析式當中，求x的值，即拋物線與x軸交點坐標，結果取正;這個x值在坐標系所對應的點是他可以向右走動的極限點。因為水流完全相同，所以左右邊完全對稱，即在左邊的最遠距離與右邊的相同。

[當x=1時，y0=[83]

∴水流距水平面的最大高度是[83]m.

當y=1時，-[23]（x-1）2+[83]=1

∴（x-1）2=[52]

∴x=1±[102]

∴S=[π]r2=[π]（1+[102]）2

∴他活動的范圍是以B為圓心，（1+[102]）為半徑的圓形區域，

最大面積是[π]（1+[102]）2平方米。]

【設計意圖】思考題旨在開闊學生思維，供本節課學有余力的同學在課上思考。

【賞析教法】教師通過設置思考題，以開闊學生的數學思維。

（四）課堂總結

師：本節課你的收獲是什么？

生：運用二次函數解決實際問題。

師：解決有關二次函數的實際問題的一般步驟是什么？

生：（1）建坐標系：選擇適當的方式建立直角坐標系;（2）找點：將已知條件轉化為點的坐標;（3）求解析式：用待定系數法求二次函數的解析式;（4）解答：解決具體問題，知x求y，或知y求x，回答實際問題。

師：建坐標系時需要考慮什么問題？

生：在平面直角坐標系中坐標可以表示出來。

師：求解析式和坐標時需要注意什么就可以避免出現錯誤？

生：注意坐標的正負。

師：本節課運用了哪些數學思想？

生：轉化思想、建模思想、數形結合思想。

（五）作業

【基礎】完成學案，課本P33 A1和B5。

【提高】課時作業P20～21。

三、教學反思

本節課的授課對象是九年級的學生。此前，學生已經掌握了求二次函數解析式的方法并理解圖象上的點和圖象的關系，而且是在學習了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函數的應用，以及二次函數的初步應用，經歷了多次從實際問題抽象出數學知識，再運用相關知識解決實際問題的過程的基礎上。他們具備了解決簡單的實際問題的基礎知識和基本能力。但是，由于二次函數知識的抽象性、綜合性，多數學生在學習中運用二次函數的意識不強，方法不夠熟練。同時，學生從實際問題中抽象出數學問題的能力以及利用已有的數學知識去解決問題的能力也是比較弱，因此，教師從生活中最常見的橋梁問題入手，很好地吸引學生的注意力。

在本節課中，筆者從學生身邊的橋梁入手，引出了二次函數在生活中的應用問題。在解決問題的過程中，恰到好處地滲透了函數、方程等模型思想，讓學生切身感受數學來源于生活，又能更好地指導我們建設美好生活，從而激發學生學習數學的熱情和興趣，培養學生的數學應用意識。在授課過程中，教師適時利用希沃白板系統展示學生的解答過程;學生積極參與，互相幫助，共同進步;師生互動活動多，相處融洽，圓滿地安成了教學任務。

【作者簡介】黃德誠，男，廣西陽朔人，中學高級教師，1992年畢業于廣西師大數學系，現任桂林市寶賢中學教務處主任，2009年起被廣西師大、廣西民族師院、賀州學院、桂林師專等多所高校聘為“國培計劃”培訓專家，研究方向為初中數學教學。周之琴，女，廣西靈川人，2021年畢業于北部灣大學數學系，優秀畢業生，現就職于桂林市寶湖中學。

（責編 李 唐）