三自由度擬人并聯機構的尺度參數優化研究*

羅怡沁,呂興榮

(浙江紡織服裝職業技術學院 機電與軌道交通學院,浙江 寧波 315211)

0 引 言

機器人技術的快速發展,使得機械臂在工業、醫療、航空航天等領域得到了廣泛的應用。

由于串聯機構具有控制簡單、運動靈活、工作空間大等優點,目前的機械臂多采用串聯機構[1]。但串聯機構運動慣性大、結構易震動等缺點又導致機械臂的動態精度較低。由于擬人機械臂要完成一系列仿人操作,應具有結構穩定、承載能力強等特點,而并聯機構正好能滿足這樣的要求。除此以外,并聯機構[2,3]還具有剛度大、運動慣性小、精度高等眾多優勢。

對并聯機構進行尺寸參數優化時,需要確定優化的目標函數,即機構性能指標。通常,并聯機構的性能評價包括運動學與動力學指標,其中動力學分析較為復雜。利用達朗貝爾原理可將動力學能夠轉換為靜力學問題,因此,分析機構的運動學與靜力學指標可實現綜合性能優化。一般可采用雅克比矩陣法[4,5]和影響系數法[6]分析運動學指標,并定義傳遞性能[7-9]、各向同性[10,11]、全域性能[12]、局部評價指標[13]等性能。

基于尺寸參數與性能指標之間的映射關系,篩選出影響機構性能指標的結構參數,并對其進行優化,可提高機構綜合性能。張虎等人[14]運用BP網絡算法與遺傳算法,以工作空間和全局條件指標為目標函數,經綜合優化得到了3-DOF并聯機床較優的尺寸參數。李超等人[15]將目標工作空間內最差性能指標作為優化對象,對球面并聯機構結構參數進行了優化,可避免機構在某些姿態下出現病態雅克比矩陣的情況。李樹平等人[16]以雅可比矩陣條件數最大值定義最差靈巧度,使用差分進化算法,確定了合理的球面并聯機構結構參數。金振林等人[17]針對一種2-DOF并聯行程放大機構,基于機構運動靈活性能評價指標,采用容限加權法確定了一組合理的結構參數。

上述方法均以運動學方面的性能指標作為目標來優化尺寸參數,并未考慮受力時機構對機構性能的影響,因此存在因機構受力或力矩過大,從而導致機構桿件變形甚至斷裂的問題。

針對肘、腕關節,筆者提出一種新型并聯三自由度擬人機械臂;首行分析機構的自由度,建立位置反解方程,并繪制位置工作空間輪廓圖;定義速度與力傳遞、各向同性性能評價指標,給出全域性能圖譜;在此基礎上,建立多目標優化模型,采用加權求和法定義目標函數的權值系數,結合空間模型技術得到合理的結構尺寸參數。

1 運動學分析

由人體解剖學可知[18,19],人臂的骨相當于機械臂的剛性桿件,若干桿件配合組成機構鋼架,關節則相當于鉸接點;肘關節可完成一組伸展-超伸-屈曲運動,其自由度為1;腕關節可完成一組背屈-掌屈垂直運動和一組橈屈-尺屈水平運動,其自由度為2。

根據人體關節運動特點,本文提出一種2PUS-PRRRS(P:移動副,U:虎克鉸副,S:球副,R:旋轉副)三自由度并聯機構,其簡圖如圖1所示。

圖1 擬人機械臂的機構簡圖

圖1中,筆者建立靜坐標系{R}:O1-X1Y1Z1,Y1軸與O1F平行,Z1軸與HO1平行,X1軸由右手定則確定;動坐標系{S}:O2-X2Y2Z2,Y2軸垂直平面ABO2,Z2軸平行平面ABO2并過AB中點,X2軸由右手定則確定;

P1、P2和P3表示肘關節機構的3個直線移動副,移動副之間互相平行,且均固定在機構左端。初始位姿時,機構各個移動副的輸入恒等于零,桿FO2分別與面ABO2垂直。

1.1 基于螺旋理論的自由度分析

該并聯機構(擬人機械臂)具有2個相同分支PUS與一個單支PRRRS。本文建立PUS分支的運動螺旋,如圖2所示。

圖2 并聯機構PUS分支的運動螺旋圖

在初始形位下,PUS分支的運動螺旋系為:

(1)

對分支PUS的運動螺旋進行互易積,可得反螺旋系:

(2)

式(2)表明,在初始形位下,PUS分支對動平臺沒有約束力和約束力偶。

采用相同構圖法,可得PRRRS分支的運動螺旋。由于桿FO1與靜平臺固連,此處將該分支拆為兩個部分,如圖3所示。

圖3 并聯機構PRRRS分支的運動螺旋圖

在初始形位下,圖3(a)中機構的運動螺旋系為:

(3)

對PRRR分支求反螺旋,可得反螺旋系:

(4)

該機構為串聯機構,根據Bennett機構自由度計算方法,空間不相交的3條直線必不相關,因此,其運動螺旋系的最大線性無關數為3。

運動螺旋的反螺旋數為3,公共約束為3,階數為3,機構不存在冗余約束,因此,PRRR機構的自由度為:

(5)

由式(5)知,該串聯單環機構只有1個自由度,即繞X軸轉動方向的自由度,且作用為輔助圖3右側支鏈的運動。

在初始形位下,圖3(b)中的機構運動螺旋系為:

(6)

對RS分支求反螺旋,可得反螺旋系:

(7)

式(7)表明,在初始形位下,RS分支對動平臺施加一個沿X軸和Y軸方向的約束力。

由式(2,7)可知,該機構不存在公共約束,即λ=0,因此,該機構的階數為:

d=6-λ=6

(8)

除去公共螺旋約束,剩余的約束螺旋數t=2,構成一個k(k=2)系的螺旋,由此,可得肘、腕關節機構的冗余約束為:

(9)

可見,機構的3個球鉸存在1個繞Z軸旋轉局部自由度,故ξ=1。

機構的自由度為:

(10)

由機械臂的反螺旋和局部自由度可知:機構的約束為沿X、Y方向的移動和繞Y軸的轉動,即機構能沿Z軸方向移動和繞X、Z軸轉動。

通過分析機構運動可知:3條分支各個運動副的軸線都與初始位姿時動坐標系的X軸或Z軸平行,軸線僅發生位置變化,未改變方向。因此,該并聯機構具有全周自由度,運動性能好,在非奇異位形下,能連續平穩地進行兩轉一移運動。

1.2 位置反解

參考點O2在{S}坐標系中的位置為(0,0,0)T;設參考點O2在{R}坐標系中的位置坐標為(0,y,z)T,姿態為(α,0,γ)T;桿EF與桿FO2的夾角θ為常量,桿FO1長度為n;M、N點關于{R}坐標系的Z1軸對稱分布,桿EF的長度為k,θ1為桿FO2繞F點的轉角。由三角函數可得:

(11)

在動坐標系{S}中,A、B點關于{S}坐標系的Z2軸對稱分布,A、B點的位置矢量為:

(12)

(13)

式中:ci=cosi;si=sini;i=α,β,γ。

A、B兩點在靜坐標系{R}中的位置矢量為:

(14)

通過結構幾何關系,可得4桿FO2、AD、BC和EG的方程式:

(15)

綜合式(14,15),可得肘、腕關節位置反解的表達式:

(16)

其中:

1.3 工作空間分析

設ψ1、ψ2和ψ3分別為桿FO1與O2F、DM與AD、CN與BC之間的夾角;ψ1max、ψ2max、ψ3max與ψ1min、ψ2min、ψ3min分別表示ψ1、ψ2和ψ3的最大值和最小值,肘、腕關節的轉動副約束條件為:

(17)

設Limax和Limin(i=1,2,3)分別為3個直線移動副P1、P2和P3的輸入位移的最大值和最小值,則肘、腕關節的驅動器約束條件為:

Limin≤Li≤Limax

(18)

為直觀地展示機械臂的工作空間,此處假設各參數值為:h=150 mm,m=300 mm,a=150 mm,e=440 mm,d=440 mm,b=300 mm,f=260 mm,c=235 mm,n=440 mm,k=175 mm,L10=200 mm,L20=300 mm,L30=300 mm。

采用坐標搜索法[20]可得到肘、腕關節機構的三維位置工作空間形狀圖,如圖4所示(視圖2通過視圖1繞θ1軸逆時針旋轉90°而得)。

(a)視圖1

(b)視圖2

2 運動學性能分析

2.1 速度雅克比的求解

(19)

式中:φ1—桿EG繞G點的轉角。

Δl1關于時間的導數為v1,θ1關于時間的導數為ω1;通過化簡可得ω1的解析表達式,即桿FO2繞F點轉動的角速度為:

(20)

機構參考點O2的線速度矢量為:

VO2=(VYVZ)=s1dω1

(21)

設機構的A和B點相對于靜坐標系{R}的線速度矢量分別為VA和VB,可得表達式:

(22)

(23)

(24)

經轉化,可得矩陣方程:

(25)

可推出關于ω的表達式為:

ω=Jωv

(26)

其中:ω=(ωXωZ)T。

由于VO2僅受角速度ω1的影響,綜合上式可得關于角速度ω1與ω的表達式為:

(27)

式中:J∈R3×3—肘、腕關節機構的速度雅克比矩陣。

矩陣J的具體表達式為:

(28)

考慮到線、角速度屬于不同量綱,當機構不在奇異位形時,上式可改寫為:

(29)

式中:JV—線速度雅克比矩陣;Jω—角速度雅克比矩陣。

同樣地,可得靜力學雅克比矩陣為:

G=(J-1)T

(30)

2.2 運動學性能評價指標與分布圖

2.2.1 角速度傳遞性能評價指標

當機構不在奇異位形時,Jω可分解出奇異值,存在正交矩陣Cω∈R2×2、Dω∈R3×3,使:

(31)

其中:

在矩陣Λω中,元素δ1ω和δ2ω為Jω的兩個奇異值,設兩元素的關系為δ1ω≤δ2ω。當機構不在奇異位形時,若輸入向量v是單位向量:

vTv=1

(32)

綜合式(31,32),可得到奇異值δ1ω、δ2ω的方程表達式:

(33)

通過定義線速度傳遞性能評價指標KL和角速度傳遞性能評價指標KA,可得到機構的運動性能在工作空間內的分布情況。定義KL和KA為:

(34)

角速度性能評價指標表征機構驅動到動平臺的運動映射關系,其值越大,說明機構的速度傳遞性能越好。

筆者利用MATLAB繪制角速度傳遞性能評價指標KA在工作空間內的分布圖,如圖5所示。

(a)θ1=0 rad (b)θ1=π/6 rad

(c)θ1=π/3 rad

由圖5可知:(1)角速度傳遞性能評價指標在工作空間內的波動小,等高線分布較有規律性;(2)等高線均以α軸對稱軸分布,且在α軸位置處數值較大,說明機構在對稱軸位置的運動學性能較好;(3)在工作空間內,指標數值不存在等于0的情況,表明機械臂的全域傳遞性能較好;(4)隨著自變量θ1的改變,指標數值變化不大,說明機構末端執行器的映射區間較穩定。

同樣地,定義力傳遞性能評價指標KF和力矩傳遞性能評價指標KM,可得到機構在工作空間內的力學性能分布情況。

2.2.2 角速度各向同性性能評價指標

定義機構在輸入速度矢量v為單位向量時,末端輸出速度的最大值ηkmax和最小值ηkmin,可得到機構運動性能在工作空間內的分布情況。

此處給出角速度各向同性性能評價指標為:

Kη=ηkmin/ηkmax

(35)

其中:0

筆者利用MATLAB繪制角速度各向同性性能評價指標Kkη在工作空間內的分布圖,如圖6所示。

(a)θ1=0 rad (b)θ1=π/3 rad

(c)θ1=π/6 rad

由圖6可知:(1)角速度各向同性性能評價指標在工作空間內的波動小,等高線分布較有規律性;(2)等高線均以α軸為對稱軸分布,且在α軸位置數值更接近于1,說明機構在對稱軸位置的運動學各向同性性能較好;(3)隨θ1的增大,機構的角速度各向同性性能逐漸變差。

3 結構尺度參數優化

3.1 空間模型技術

基于擬人特征,機構各關節均以人臂作為參照,且遵循一定尺度與比例。當機構的某部分尺數均被定義時,其他部分可通過比例系數確定;另一方面,根據各項指標與機構參數的映射關系,筆者選定m、a和b作為機構的設計參數。

筆者利用空間模型技術將參數無量綱化[21],即:

(36)

(37)

(38)

綜合上式,筆者繪制上臂無量綱參數的空間模型圖,如圖7所示。

圖7 上臂無量綱參數的空間模型圖

為了便于分析,筆者將上臂無量綱參數空間模型的三維xyz轉為二維的xy坐標,即:

(39)

根據轉換關系,筆者繪制上臂參數的平面映射圖,如圖8所示。

圖8 上臂參數的平面映射圖

圖8中,平面P′Q′S′為肘、腕關節機構上臂參數構建的幾何空間模型形狀。

3.2 全域運動學性能評價

以上述運動學性能評價指標為局部評價空間,無法全面評價機構的運動學性能。因此,本文定義全域線速度傳遞性能評價指標ζ(L)、全域角速度傳遞性能評價指標ζ(A)和全域角速度各向同性性能評價指標ζ(Kη),分別表示線和角速度傳遞性能、角速度各向同性性能在整個機構工作空間內的平均值。

其中,全域線速度傳遞性能評價指標ζ(L)為:

(40)

全域角速度傳遞性能評價指標ζ(A)為:

(41)

全域角速度各向同性性能評價指標ζ(Kη)為:

(42)

機構的全域運動學性能圖譜如圖9所示

(a)ζ(L)/(m·s-1)

(b)ζ(A)/(rad·s-1)

(c)ζ(Kη)

由圖9可得:(1)全域線速度傳遞性能評價指標隨參數增大,數值變化坡度小;(2)全域角速度傳遞、各向同性性能評價指標隨參數增大,數值變化大,等高線垂直落差大;(3)機構上臂的3個參數m、a和b對全域線速度傳遞性能評價指標影響不大,對全域角速度傳遞、各向同性性能評價指標影響較大。

同樣地,本文定義全域力傳遞性能評價指標ζ(F)、全域力矩傳遞性能評價指標ζ(M)和全域力矩各向同性性能評價指標ζ(Sη),分別表示力和力矩傳遞性能、力矩各向同性性能在整個機構工作空間內的平均值。

其中,全域力傳遞性能評價指標ζ(F)為:

(43)

全域力矩傳遞性能評價指標ζ(M)為:

(44)

全域力矩各向同性性能評價指標ζ(Sη)為:

(45)

筆者繪制了全域靜力學性能圖譜,由該圖譜可知:機構上臂的3個參數m、a和b對全域力傳遞性能評價指標影響不大,對全域力矩傳遞、各向同性性能評價指標影響較大。

3.3 多目標參數優化

由于全域線速度、力傳遞性能評價指標受參數影響不大,此處以全域角速度傳遞性能評價指標ζ(A)、全域角速度各向同性性能評價指標ζ(Kη)、全域力矩傳遞性能評價指標ζ(M)和全域力矩各向同性性能評價指標ζ(Sη)作為機構的優化目標;并采用歸一加權求和法,將各優化目標函數權值定義為相同數值,以避免每個優化指標的權重不同。

由性能圖譜可得到的各指標最大值?max和最小值?min,無量綱化參數可表示為:

(46)

式中:?(x)—參數變化范圍內所有的指標值;Fi—無量綱化的目標函數。

目標函數Fi是在參數變化范圍內各個指標所占的比值,可保證各優化指標相對目標函數而言同等重要。筆者建立多目標函數如下:

(47)

在無量綱參數的XY坐標范圍區間內,筆者在X軸均勻取點,設定步長為0.1,得到相應范圍內的Y值。

在工作空間內搜索得到機構的綜合性能優化結果,如圖10所示。

圖10 綜合性能優化結果圖

由圖10可知:上臂無量綱參數在X軸上的數值在1.2～1.3之間,且Y軸上的數值在0.8～1.7之間的區域內,機構的綜合性能最優[22]。

筆者取X=1.2,Y=1.2作為最優值,計算參數優化前后的性能指標,如表1所示。

表1 參數優化前后的性能指標對比表

由表1可知:經優化后,全域角的速度傳遞性能、力矩的傳遞性能和各向同性性能分別提高了16%、80%、40%。

在其他7個參數不變的情況下,筆者選取一組各項性能指標均佳的結構尺寸參數為:m=270 mm,a=100 mm,b=260 mm。

4 結束語

針對并聯機構運動學與靜力學綜合性能的優化問題,本文提出了一種多尺度參數優化方法;首先在分析機構自由度基礎上建立了位置反解方程,繪制了機構三維位置工作空間輪廓圖;然后定義了機構的角速度和力的傳遞、各向同性性能指標,繪制了各指標在工作空間內的分布圖,確定了待優化的機構參數,建立了多目標函數方程,得到了合理的結構尺寸參數;最后結合空間模型技術和歸一加權求和法,對2-PUS/PRRRS機構的參數進行了優化,并通過數值仿真方法對其進行了驗證。

研究結果表明:

(1)2-PUS/PRRRS并聯機構具有兩轉一移自由度,符合人體肘腕關節的運動特性,可實現肘關節的伸展-超伸-屈曲運動以及腕關節的背屈-掌屈垂直運動和橈屈-尺屈水平運動;

(2)2-PUS/PRRRS機構不同類型的結構參數對其性能影響程度不同,其中驅動器之間的位置為主要因素,不同機構在參數優化時可根據具體機構特性合理選取;

(3)優化后全域角的速度傳遞性能、力矩的傳遞性能和各向同性性能分別提高了16%、80%、40%,驗證了該參數優化方法的有效性。

在后續研究工作中,筆者將進一步研究該機構的精度設計問題,建立機構的誤差分析模型,以提高機構的動態精度。