基于隨機矩陣理論的地下電纜異常檢測方法研究

段晨東， 張偉， 代杰

(長安大學 電子與控制工程學院，陜西 西安 710064)

0 引 言

地下電纜的異常狀態運行不僅影響供電電能質量，還會對輸電線路元器件和用電設備造成損壞，及時準確地發現地下電纜異常狀態尤為重要[1]。

地下電纜檢修復雜，難以及時發現異常。文獻[2]提出阻抗和FFT結合的方法，從頻率響應的角度識別地下電纜的異常，但受線路元器件和非線性負載的影響，頻率響應的方法抗干擾能力差。文獻[3]提出應用S變換和SVM來識別存在異常的地下電纜，但該方法需要較大的數據集，且機器學習方法對信號質量要求高，運算時間較長。

文獻[4]和文獻[5]提出純數據驅動的信號處理方法——隨機矩陣理論，該方法具有不受數據模型限制的優勢。文獻[6]和文獻[7]將隨機矩陣理論引入電力系統異常檢測領域。應用隨機矩陣理論識別異常數據從而實現異常檢測，當前文獻普遍采用平均譜半徑作評價指標，且一般應用于配電網仿真模型異常,分析效果較好。

考慮地下電纜監測數據受負載和環境影響波動大，單一指標誤判率高等問題。本文提出基于隨機矩陣理論(random matrix theory, RMT)和奇異值分解(singular value decomposition, SVD)構造融合指標的地下電纜異常檢測方法。工程驗證結果表明，該融合指標與傳統指標相比，受信號正常波動的干擾較小，誤判率低，具有更好的異常表征效果。

1 地下電纜異常檢測與隨機矩陣理論

1.1 地下電纜異常識別

電力設備發生異常時，電流信號相較于電壓信號對異常更加敏感，因此選擇電流信號作為地下電纜異常識別依據。正常情況下，電流信號由供電工頻分量、非線性元件和負載引起的諧波分量以及采集設備引起的隨機噪聲分量組成，異常出現時，電流信號中會出現異常成分，式(1)和式(2)分別表示正常和異常信號數學模型。

(1)

i1(t)=i0(t)+a(t)

(2)

式中:Ak為電流峰值;k為諧波次數;fr為電流基頻;φk為k次諧波的起始相位;n(t)為隨機噪聲。當系統中含有異常事件a(t)時，系統的運行機制和原有特性將會破壞，采集的系統數據不滿足原有的統計分布規律。

1.2 隨機矩陣理論

隨機矩陣理論反映了系統內部在各種相互作用下的一種平均性質，偏離隨機矩陣理論反映出系統內部含有異常信號引起的特殊屬性，這為異常檢測提供了理論支撐。隨機矩陣理論體系中相對成熟的理論有Marchenko-Pastur(M-P)定律和單環定律。

1.2.1 M-P定律

(3)

對于矩陣元素獨立同分布且滿足μ(x)=0,σ2(x)=d分布的非方陣XN×T(N

(4)

式中:d為矩陣方差;T為矩陣X的列數;XH為矩陣X的共軛轉置矩陣。

由M-P定律可知，樣本協方差矩陣S的經驗譜分布滿足如下概率密度函數：

(5)

1.2.2 單環定律

對于矩陣元素獨立同分布且滿足μ(x)=0,σ2(x)=d分布的非方陣XN×T(N

(6)

式中：U為哈爾酉矩陣。定義其矩陣積為：

(7)

式中：L為奇異值等價矩陣個數。對矩陣Z進行歸一化處理后，矩陣有N個復數特征值，由圓環定律有，其特征值分布滿足式(8)所示概率密度函數。

(8)

圖1反映了正常和異常信號構造高維矩陣時特征值分布的對比情況。

圖1 正常狀態與異常狀態的特征值分布

2 基于RMT_SVD的地下電纜異常檢測

對地下電纜監測數據按時間序列構建高維矩陣，圖2所示為ti時刻N×T高維矩陣構建示意圖。通過隨機矩陣理論提取每個高維矩陣的特征值并統計其特征指標，按時間序列構造特征指標矩陣。

圖2 高維矩陣構建示意圖

應用奇異值分解對特征值矩陣進行降維并構造融合指標，流程如下。

(1) 特征指標矩陣Pn×m(n為構建的高維矩陣個數，m為每個矩陣特征指標個數)按式(9)進行奇異值分解[8]。

(9)

式中：Un×n為左奇異矩陣;Vm×m為右奇異矩陣;λn×m為奇異值矩陣。

(2) 利用式(10)計算各奇異值的貢獻率。

(10)

式中：si為第i個奇異值。

(11)

圖3 RMT_SVD算法流程圖

3 試驗

本文基于地下電纜的分布參數模型搭建如圖4所示的10 kV/50 Hz地下電纜輸電線路。仿真總時長設置為60 s,電纜異常情況設置安排如表1所示。

圖4 仿真模型

表1 仿真設置

每0.02 s記錄一次電流數據，則樣本矩陣S∈c1×3 000。本文設定N=100，T=110采用移動分割窗口對樣本矩陣S構造間序列高維矩陣X(i)∈c100×100(i=1,2,…)。應用隨機矩陣理論的M-P定律和單環定律對矩陣X(i)特征值統計。

圖5為仿真過程中幾個代表時間點的高維矩陣特征值分布情況。

圖5 t=5 s、10 s、15 s、50 s M-P分布

圖5中，在t=5 s時，電纜正常運行，特征值的經驗譜分布近似滿足M-P分布曲線；t=10 s、15 s、50 s時，電纜輸電系統均發生異常，此時構造的高維矩陣特征值分布不滿足M-P分布曲線。

圖6為隨時間序列變化的高維矩陣特征值平均譜半徑統計圖。平均譜半徑計算公式為：

圖6 平均譜半徑統計圖

(12)

式中：λi為圓環定律計算得到的第i個特征值。

由式(8)計算得到圓環的內環半徑和外環半徑分別為0.3和1。正常情況下，高維矩陣的特征值的平均譜半徑穩定在0.63；t=10 s、15 s、50 s時，高維矩陣的特征值平均譜半徑明顯低于內環半徑。

仿真結果驗證了隨機矩陣理論對信號異常領域應用的可行性，信號存在異常時，高維矩陣的性質發生變化，特征值分布不滿足隨機矩陣理論。

4 工程應用

本文采用8 kV交聯聚乙烯(XLPE)地下電纜監測A相電流數據[9]，監測點示意圖如圖7所示。電流頻率60 Hz，采樣頻率3 840 Hz。

圖7 試驗數據監測點示意圖

4.1 特征指標

應用隨機矩陣理論的單環定律對矩陣X∈cN×T進行特征值計算，λi(i=1,2,…,N)為矩陣的N個特征值，利用表2所示的公式構造了6個特征指標，式中max(·)、min(·)、mid(·)分別表示最大值、最小值和中位數。

表2 特征指標構造公式

ti時刻特征指標向量p(i)∈c1×6(i=1,2,…,n)，將計算得到的特征指標向量按時間順序構成多指標矩陣Pn×6，即：

P=[p(1),p(2),…,p(i)]

(13)

應用SVD對矩陣P進行降維，選擇累計貢獻率達到90%的前幾個特征指標構造新的特征指標矩陣，求取新的特征指標的平均值作為融合指標。

4.2 結果分析

如圖8所示為某一時間段A相電流波形。為了得到近似滿足隨機分布的相對平穩的數據集，每50個周期記錄一次電流數據用于構建矩陣。基于單環定律的特征值構造表2列出的6個特征指標，6個特征指標隨時間變化趨勢如圖9所示。其中，指標p1為隨機矩陣理論常用指標平均光譜半徑，將指標p1和SVD處理后獲得的融合指標的變化與電流有效值在圖10中進行對比。

圖8 電流監測信號

圖9 特征指標趨勢圖

圖10 指標對比圖

圖9中，6個指標幅值波動較大，無法用于區別正常狀態和異常狀態。由圖10可以看出，受負載和輸電線路影響，地下電纜在正常運行時電流有效值并不是保持不變，其有效值在3.5 A附近波動，在電流異常點其有效值高達3.9 A。此時，平均光譜半徑遠低于內環半徑，可以判斷電纜在此時存在異常，但受電流波動影響，在電纜正常運行時也會出現平均譜半徑低于內環半徑的現象，造成誤判。本文構造的融合指標在異常點的幅值異常突出，在正常狀態下構造的矩陣的融合特征值具有較好的穩定性，相較于平均譜半徑具有更好的異常表征效果。

5 結束語

用仿真電流采樣點構建高維矩陣發現隨機矩陣理論對模擬信號的異常點具有較好的識別效果。

地下電纜在運行過程中，電流會受負載影響出現一定范圍內的正常波動，隨機矩陣的傳統單一指標對電流的波動較為敏感，容易出現誤判的情況。本文提出的RMT_SVD理論利用奇異值分解構建隨機矩陣的融合指標用于識別地下電纜電流異常信號，研究結果表明，該融合指標在實際監測中抗干擾能力較強，具有更好的異常識別效果。